Kerék (algebra)

A Wheel (az angol Wheel theory -ból - „theory of wheels”, néha „roller” [1] ) az algebra egyik fajtája , ahol mindig az osztási műveletet határozzák meg. Különösen a nullával való osztásnak van értelme bennük. A valós számok kiterjeszthetők egy kerékre, akárcsak bármely kommutatív gyűrű .

A Riemann gömb egy kerékre is kiterjeszthető, ha hozzáadjuk az elemet ahol . A Riemann-gömb a komplex sík elem általi kiterjesztése , ahol bármely komplex esetén . Ez azonban nem a Riemann-szférában van meghatározva, hanem a kerékre való kiterjesztésében. $\bot$ $0/0=\bot$ $\infty$ $z/0=\infty$ $z\neq 0$ $0/0$

A kerék kifejezést egy topológiai piktogram ihlette, amely egy projektív vonalat és egy extra pontot jelent . [2] $\odot$ $\bot =0/0$

Definíció

A kerék egy algebrai szerkezet (ahol a művelet / unáris ), amely kielégíti: $(W,0,1,+,\cdot ,/)$

Az összeadás és a szorzás egyszerre kommutatív és asszociatív , és mindkettő semleges eleme . $0$ $egy$
$//x=x$
$/(xy)=/x/y$
$xz+yz=(x+y)z+0z$
${\megjelenítési stílus (x+yz)/y=x/y+z+0y}$
$0\cdot 0=0$
$(x+0y)z=xz+0y$
$/(x+0y)=/x+0y$
$0/0+x=0/0$

Kerekek algebra

A kerekek a hagyományos osztást ( egy bináris operátor , a szorzás fordítottja) egy unáris operátorra cserélik , amely egyetlen argumentumra vonatkozik: " ". Ez hasonló a reciprok definíciójához , de nem azonos azzal . A kerekekben az algebra szabályainak rövidítésévé válik, és úgy változtatja meg az algebra szabályait $/x$ $x^{{-1}}$ $a/b$ $a\cdot /b=/b\cdot a$

$0x\neq 0$ általában
$xx\neq 0$ általában
$x/x\neq 1$ általános esetben, mivel nem esik egybe a szorzós inverzével . $/x$ $x$

Ha van olyan elem , hogy , akkor lehetségessé válik a negáció ( ellentétes szám ) és a kivonás definiálása . $a$ $1+a=0$ $-x=ax$ $xy=x+(-y)$

Néhány következmény:

$0x+0y=0xy$
${\displaystyle xx=0x^{2))$
$x/x=1+0x/x$

Aztán az és megkapjuk a szokásosat $x$ $0x=0$ $0/x=0$

$xx=0$
$x/x=1$

Ha a negációt a fentiek szerint definiáljuk, akkor a kerék egy részhalmaza egy kommutatív gyűrű , ráadásul bármely kommutatív gyűrű valamely kerék ilyen részhalmaza. Ha egy kommutatív gyűrű invertálható eleme, akkor . Így, ha van értelme (normál inverzeként ) , akkor egyenlő -vel , de a művelet mindig definiálva van, még a -ra is . $\{x\mid 0x=0\}$ $x$ $x^{-1}=/x$ $x^{{-1}}$ $/x$ $/x$ $x=0$

Jegyzetek

↑ S. L. BLUMIN. A „SZÁM” FOGALOM FEJLESZTÉSE. NÉHÁNY MODERN FOGALOM Archív másolat 2020. március 31-én a Wayback Machine -nél , Lipetsk: 2005 – 13-17. o. „A SZÁM FOGALMÁNAK FEJLESZTÉSE A NULLÁVAL OSZTÁS ELŐTT ÉS A FORGALMAZÁS PROBLÉMÁI” in Education: International Electronic DISTRIBUTION (New Technologies) Tudományos Konf. Tudományos művek gyűjteménye - Voronyezs: VSPU, 2001. - P.52-54.) (orosz)
↑ Carlström, 2004 .

Linkek

Setzer, Anton (1997), Wheels , < http://www.cs.swan.ac.uk/~csetzer/articles/wheel.pdf > (vázlat)
Carlström, Jesper (2004), Wheels – On Division by Zero , Mathematical Structures in Computer Science ( Cambridge University Press ). — V. 14 (1): 143–184 , DOI 10.1017/S0960129503004110 ( online változat is ).
Eugene Kapinos. A nullával való osztás a norma. 1. rész , 2. rész , 2015 (orosz)