Karatsuba, Anatolij Alekszejevics

Az oldal jelenlegi verzióját még nem ellenőrizték tapasztalt közreműködők, és jelentősen eltérhet a 2021. december 31-én felülvizsgált verziótól ; az ellenőrzések 3 szerkesztést igényelnek .

Karatsuba Anatolij Alekszejevics

Születési dátum

1937. január 31

Születési hely

Groznij

Halál dátuma

2008. szeptember 28. (71 évesen)

A halál helye

Moszkva , Oroszország

Ország

Szovjetunió , Oroszország

Tudományos szféra

matematika

Munkavégzés helye

MIAN , Moszkvai Állami Egyetem

alma Mater

Moszkvai Állami Egyetem (Mekhmat)

Akadémiai fokozat

a fizikai és matematikai tudományok doktora

tudományos tanácsadója

Korobov N. M.

Diákok

Voronin S. M. , Chubarikov V. N. ,

Arkhipov G.I.

Díjak és díjak

Díj nekik. P. L. Csebisev, a Szovjetunió Tudományos Akadémia

Díj nekik. I. M. Vinogradov RAS

Médiafájlok a Wikimedia Commons oldalon

Anatolij Alekszejevics Karatsuba ( 1937. január 31., Groznij – 2008. szeptember 28. , Moszkva) - szovjet és orosz matematikus . A matematika történetének első gyors módszerének megalkotója - a nagy számok szorzásának módszere [1] [2] ( Karatsuba szorzás ).

Tanulj és dolgozz

Anatolij Karatsuba 1944-1954 között a Groznij város 6. számú férfiiskolájában tanult, és ezüstéremmel érettségizett. Már korai éveiben kivételes képességekről tett tanúbizonyságot a matematikából, olyan feladatokat oldott meg alsó tagozaton, amelyeket matematikus körben kaptak a középiskolások.

1959 -ben szerzett diplomát a Moszkvai Állami Egyetem Mechanikai és Matematikai Karán. Lomonoszov . 1962 - ben a fizikai és matematikai tudományok kandidátusa lett "Speciális forma racionális trigonometrikus összegei és alkalmazásaik" (témavezető - N. M. Korobov ) tézisével, és a Moszkvai Állami Egyetem karán kezdett dolgozni. 1966 - ban védte meg doktori disszertációját "Trigonometrikus összegek és átlagértéktételek módszere", és a Szovjetunió Tudományos Akadémia (MIAN) Matematikai Intézetének tudományos munkatársa lett.

1983 óta a Szovjetunió és Oroszország számelméleti szakterületének vezető szakembere, a Moszkvai Eredmények Intézete Számelméleti Tanszékének ( 1983 -ban alapították ) vezetője, a Moszkvai Számelméleti Tanszék professzora. 1970 óta Állami Egyetem, 1980 óta pedig a Moszkvai Állami Egyetem ( 1962 -ben alapított) Matematikai Analízis Tanszékének professzora . Kutatási területei a trigonometrikus összegek és integrálok , a Riemann-zéta-függvény , a Dirichlet-karakterek , az állapotgép , a hatékony algoritmusok voltak .

A.A. Karatsuba 15 PhD hallgatót irányított; közülük hét később a tudomány doktora lett. Állami kitüntetésekkel és címekkel rendelkezik.

Díjak és címek

1981 : a Szovjetunió Tudományos Akadémia P. L. Csebisev-díja
1999. június 4 .: Az Orosz Föderáció tiszteletbeli tudósa
2001 : Az Orosz Tudományos Akadémia I. M. Vinogradov-díja

Korai munka a számítástechnikában

A Moszkvai Állami Egyetem hallgatójaként. Lomonoszov, A. A. Karatsuba részt vett A. N. Kolmogorov szemináriumának munkájában, és megoldást talált a Kolmogorov által felvetett két problémára, amelyek lendületet adtak az automataelmélet fejlődésének, és egy új irány kezdetét jelentette a matematikában - a gyors algoritmusok elmélete. .

Automata

Edward Moore "Spekulatív kísérletek szekvenciális gépeken" [3] című cikkében az automatát (vagy gépet) olyan eszközként definiálják, amely állapotokkal, bemeneti szimbólumokkal és kimeneti szimbólumokkal rendelkezik. Kilenc tételt bizonyítunk a szerkezetről és kísérleteket -val . Az ilyen gépek később Moore automaták néven váltak ismertté . A cikk végén, az „Új problémák” fejezetben Moore megfogalmazza a 8. és 9. tételben általa kapott becslések javításának problémáját: $(n;m;p)$ $S$ $n$ $m$ $p$ $S$ $S$ $S$

8. tétel (Moore). Adjunk meg egy tetszőleges gépet , amelynek minden két állapota megkülönböztethető egymástól, akkor van egy hosszúsági kísérlet, amely beállítja (megkeresi) a kísérlet végén az állapotot.

(n;m;p)

S

n(n-1)/2

S

1957 -ben Karatsuba bebizonyított két olyan tételt, amelyek teljesen megoldották Moore-nak a kísérlet hosszára vonatkozó becslésének javítására vonatkozó problémáját a 8. tételében .

A tétel (Karatsuba). Ha van olyan gép, amelynek minden két állapota megkülönböztethető egymástól, akkor van egy legfeljebb hosszú elágazó kísérlet, amellyel a kísérlet végén meg lehet állapítani (megtalálni) az állapotot.

S

(n;m;p)

(n-1) (n-2)/2+1

S

B tétel (Karatsuba). Létezik egy gép, amelynek minden két állapota kölcsönösen megkülönböztethető úgy, hogy a gép állapotát megállapító legrövidebb kísérlet hossza a kísérlet végén .

(n;m;p)

(n-1) (n-2)/2+1

Ez a két tétel képezte az alapját Karatsuba 4. éves „Az automataelméleti problémáról” című tanulmányának, amely a Mechanikai és Matematikai Kar hallgatói munkáinak versenyén dicséretes (vagyis nem túl magas) értékelést kapott. a Moszkvai Állami Egyetemen. Lomonoszov 1958 -ban . A cikket Karatsuba 1958 decemberében nyújtotta be az Uspekhi matematicheskikh nauknak , és csak 1960 júniusában jelent meg [4] . Mindeddig azonban a Karatsuba ezen eredménye, amely később Moore–Karatsuba tételként vált ismertté, az egyetlen egzakt (az egyetlen pontos nemlineáris kiértékelési sorrend) nemlineáris eredmény mind az automataelméletben, mind az elmélet hasonló problémáiban. a számítási bonyolultság. [egy]

Gyors algoritmusok

A gyors algoritmusok a számítási matematikának egy olyan ága , amely egy adott függvény adott pontosságú, lehető legkevesebb bitművelet felhasználásával történő kiszámítására alkalmas algoritmusokat vizsgál. Feltételezzük, hogy a számok kettes számrendszerben vannak felírva, amelyek 0 és 1 előjeleit biteknek nevezzük . Az egybites művelet a 0, 1, plusz, mínusz, zárójelben lévő karakterek beírása; két bit összeadása, kivonása és szorzása. A számítások bitkomplexitásával kapcsolatos problémák első megfogalmazásai A. N. Kolmogorovhoz tartoznak . A szorzási összetettség a bitműveletek száma, amely elegendő a kétjegyű számok szorzatának kiszámításához ezzel az algoritmussal. $M(n)$ $n$

Két n -jegyű számot a szokásos iskolai módon "egy oszlopban" megszorozva felső korlátot kapunk . 1956 -ban A. N. Kolmogorov azt feltételezte, hogy bármely szorzási módszer alsó korlátja egyben sorrendi érték is, vagyis lehetetlen két n -jegyű szám szorzatát gyorsabban kiszámítani, mint a műveleteknél (az úgynevezett „hipotézis ”). A hipotézis megalapozottságát jelezte, hogy a matematika létezésének teljes ideje alatt az emberek sorrendi összetettséggel szaporodtak , és ha lett volna gyorsabb szorzási módszer, akkor valószínűleg már megtörtént volna. megtalált. $M(n)=O(n^{2})$ $M(n)$ $n^{2}$ $n^{2}$ $n^{2}$ $n^{2}$ $O(n^{2})$

1960 -ban a Moszkvai Állami Egyetem Mechanikai és Matematikai Karán A. N. Kolmogorov vezetésével egy szeminárium kezdett működni a kibernetika matematikai kérdéseiről, ahol egy „hipotézist ” fogalmaztak meg, és számos problémát vetettek fel a komplexitás felmérésére. más hasonló számításokból. Anatolij Karatsuba abban a reményben, hogy alsó korlátot kaphat -re, új módszert talált két n -jegyű szám szorzására, amelyet ma Karatsuba-szorzásnak neveznek , és egy összetettségi becsléssel. $n^{2}$ $M(n)$

M(n)=O(n^{{\log_{2}3)))=O(n^{{1,58496\lpont }}),

és ezzel megcáfolta azt a hipotézist $n^{2}$ , amelyet a szeminárium következő ülése után Kolmogorovnak jelentett. A szeminárium következő ülésén ezt a módszert maga Kolmogorov ismertette, és a szeminárium abbahagyta a munkáját. [5] Az első, a Karatsuba szorzást leíró cikket maga Kolmogorov készítette, ahol két tanítványának két különböző és egymással nem összefüggő eredményét mutatta be. [6] Bár a cikkben Kolmogorov egyértelműen megjegyezte, hogy az egyik tétel (nem a gyors szorzással kapcsolatban) Yu. Ofman, egy másik tétel (a valaha első gyorsszorzással) pedig A. Karatsube-nak köszönhető, ez a két szerző publikációja. sokáig megzavarta az olvasókat, akik úgy vélték, hogy mindkét szerző hozzájárult a gyors szorzási módszer megalkotásához, sőt ezt a módszert két néven is nevezték. A Karatsuba módszert ezt követően általánosították az oszd meg és uralkodj paradigmára , amelynek további fontos példái bináris particionálási módszerkeresés , a felező módszer stb .

Ezt követően A. Karatsuba [5] [7] [8] ötlete alapján sok gyors algoritmus készült, amelyek közül a leghíresebbek a közvetlen általánosításai, mint például a Schoenhage-Strassen szorzási módszer. [9] , a Strassen-mátrixszorzási módszer [10] és a gyors Fourier-transzformáció .

Jean-Paul Delaye francia matematikus és filozófus [11] Karatsuba szorzási módszerét "a matematika egyik leghasznosabb eredményének" nevezte.

Anatolij Karatsuba algoritmusát szinte minden modern számítógépben megvalósítják, nem csak szoftver, hanem hardver szinten is.

Alapkutatás

A Karatsuba professzor matematikai munkásságáról szóló cikkükben [12] , amelyet A. A. Karatsuba 60. évfordulója alkalmából szenteltek, tanítványai, G. I. Arkhipov és V. N. Chubarikov a következőképpen írják le A. A. Karatsuba tudományos munkásságának jellemzőit:

A figyelemre méltó tudósok munkáinak bemutatásakor természetes, hogy kiemeljük munkájuk néhány jellegzetes és szembetűnő vonását. Karatsuba professzor tudományos tevékenységének ilyen megkülönböztető jellemzői a kombinatorikus találékonyság, az alaposság és az eredmények bizonyos teljessége.

A. A. Karatsuba főbb tanulmányait több mint 160 tudományos cikkben és monográfiában publikálják. [13] [14] [15] [16]

Trigonometrikus összegek és trigonometrikus integrálok

p -adic metódus

A. A. Karatsuba új -adic módszert konstruált a trigonometrikus összegek elméletében. Az általa kapott becslések a forma úgynevezett -összegeire $p$ $L$

S=\sum _{{x=1}}^{P}e^{{2\pi i(a_{1}x/p^{n}+\pontok a_{n}x^{n}/p )}},\quad (a_{s},p)=1,\quad 1\leq s\leq n,

új korlátokhoz vezetett a nulla -Dirichlet sorozat modulo számára, amely egyenlő egy prímszám hatványával, a forma Waring-összehasonlítási számának aszimptotikus képletének levezetéséhez $L$

x_{1}^{{n}}+\pontok +x_{t}^{{n}}\equiv N{\pmod {p^{k}}},\quad 1\leq x_{s}\leq P,\quad 1\leq s\leq n,\quad P<p^{k},

egész együtthatós polinom törtrészeinek eloszlási feladatának megoldása modulo . A. A. Karatsuba volt az első, aki megvalósította [18] az Euler-Vinogradov „beágyazási elvet” -adic formában, és a Vinogradov-számoknak -adic analógját állította össze, amikor Waring-típusú összehasonlítás megoldásainak számát becsülte meg. $p^{k}$ $p$ $p$ $u$

Hadd

x_{1}^{{n}}+\pontok +x_{t}^{{n}}\equiv N{\pmod {Q}},\quad 1\leq x_{s}\leq P,\quad 1\leq s\leq t,\quad (1)

és

P^{r}\leq Q<P^{{r+1)),\quad 1\leq r\leq {\frac {1}{12)){\sqrt {n)),\quad Q=p ^{k},\quad k\geq 4(r+1)n,

hol van egy prímszám. A. A. Karatsuba bebizonyította, hogy ebben az esetben bármely természetes számra létezik olyan, amely bármely természetes számra leírható az (1) alakban -ra , és létezik olyan, hogy az (1) összehasonlítás eldönthetetlen. $p$ $n\geq 144$ $p_{0}=p_{0}(n)$ $p_{0}>p_{0}(n)$ $N$ $t\geq 20r+1$ $t<r$ $N$

Ez az új megközelítés, amelyet A. A. Karatsuba talált meg , I. M. Vinogradov átlagérték-tételének új -adikus bizonyításához vezetett, amely központi szerepet játszik Vinogradov trigonometrikus összegezési módszerében. $p$

A. A. Karatsuba -adic módszerének másik eleme az ismeretlenek lokális -adikus változása miatti átmenet a hiányos egyenletrendszerekről a teljesekre . [19] [20] $p$ $p$

Legyen tetszőleges természetes szám, , és legyen az egész szám az egyenlőtlenségekkel definiálva . Tekintsük az egyenletrendszert $r$ $1\leq r\leq n$ $t$ $m_{t}\leq r\leq m_{{t+1}}$

{\begin{cases}x_{1}^{m_{1}}+\pontok +x_{k}^{m_{1}}=y_{1}^{m_{1}}+\pontok +y_{k}^{m_{1}},\\\qquad \qquad \qquad \qquad \vdots \\x_{1}^{m_{s}}+\dots +x_{k}^{m_{ s}}=y_{1}^{m_{s}}+\pontok +y_{k}^{m_{s}},\\x_{1}^{n}+\pontok +x_{k}^ {n}=y_{1}^{n}+\pontok +y_{k}^{n}.\end{cases}}

1\leq x_{1},\dots ,x_{k},y_{1},\dots ,y_{k}\leq P,\quad 1\leq m_{1}<m_{2}<\dots < m_{s}<m_{{s+1}}=n.

A. A. Karatsuba bebizonyította, hogy ennek az egyenletrendszernek a megoldásainak száma kielégíti a becslést $én_{k}$ $k\geq 6rn\log n$

I_{k}\ll P^{{2k-\delta }},\quad \delta =m_{1}+\pontok +m_{t}+(s-t+1)r.

A nem teljes egyenletrendszereknél, amelyekben a változók kis prímosztókkal rendelkező számok felettiek, A. A. Karatsuba a változók multiplikatív eltolását alkalmazta. Ez a trigonometrikus összegek minőségileg új becsléséhez és egy új középérték-tételhez vezetett az ilyen egyenletrendszerekhez.

Hua Lo-ken problémája a Terry-probléma szinguláris integráljának konvergenciájának kitevőjéről

$p$ A. A. Karatsuba -adic módszere magában foglalja a kis függvényértékekkel rendelkező pontok halmazának mérésére szolgáló módszereket a paraméterek értékei alapján (együtthatók stb.), és fordítva, ezeknek a paramétereknek a becslését. a halmaz mértéke valós és -adic metrikákban. A. A. Karatsuba módszerének ez az oldala különösen a trigonometrikus integrálok értékelésében nyilvánult meg, ami a Hua Lo-ken probléma megoldásához vezetett . 1979 -ben A. A. Karatsuba tanítványaival, G. I. Arkhipovval és V. N. Chubarikovval együtt teljesen megoldotta [21] Hua Lo-ken 1937 -ben felvetett problémáját , amely az integrál konvergencia indexének meghatározásából állt: $p$

\vartheta _{0}=\int \limits _{{-\infty }}^{{+\infty }}\cdots \int \limits _{{-\infty }}^{{+\infty }}{ \biggl |}\int \limits _{{0}}^{{1}}e^{{2\pi i(\alpha _{{n}}x^{{n}}+\cdots +\alpha _{{1}}x)}}dx{\biggr |}^{{2k}}d\alpha _{{n}}\ldots d\alpha _{{1}},

hol van egy fix szám. $n\geq 2$

Ebben az esetben a konvergenciaindex egy olyan érték , amely -nél konvergál, és -nél divergál , ahol tetszőlegesen kicsi. Megállapítást nyert, hogy az integrál -nál konvergál, és -nél divergál . $\gamma$ $\vartheta _{0}$ $2k>\gamma +\varepszilon$ $2k<\gamma -\varepszilon$ $\varepsilon >0$ $\vartheta _{{0}}$ $2k>{\tfrac {1}{2}}(n^{{2}}+n)+1$ $2k\leq {\tfrac {1}{2}}(n^{{2}}+n)+1$

Ezzel egyidejűleg az integrál esetében is megoldódott egy hasonló probléma

\vartheta _{1}=\int _{{-\infty }}^{{+\infty }}\cdots \int _{{-\infty }}^{{+\infty }}{\biggl |} \int _{{0}}^{{1}}e^{{2\pi i(\alpha _{n}x^{n}+\alpha _{m}x^{m}+\cdots + \alpha _{r}x^{r))}}dx{\biggr |}^{{2k}}d\alpha _{{n}}d\alpha _{{m}}\ldots d\alpha _ {{r}},

hol vannak a feltételeknek megfelelő egész számok $n,m,\ldots ,r$

1\leq r<\lpont <m<n,\quad r+\ldots +m+n<{\tfrac {1}{2}}(n^{2}+n).

A. A. Karatsuba és tanítványai azt találták, hogy az integrál akkor konvergál, és eltér, ha . $\vartheta _{1}$ $2k>n+m+\lpont+r$ $2k\leq n+m+\ldots+r$

Integrálok és felmerülnek az úgynevezett Terry -probléma (Terry-Escott probléma) megoldásában. A. A. Karatsuba és tanítványai számos új eredményt értek el Terry problémájának többdimenziós analógjával kapcsolatban. Konkrétan megállapították, hogy az if polinom az alak ( ) változóiban $\vartheta _{0}$ $\vartheta _{1}$ $F$ $r$ $r\geq 2$

F(x_{{1}},\ldots ,x_{{r}})\,=\,\sum \limits _{{\nu _{{1}}=0}}^{{n_{{1 }}}}\cdots \sum \limits _{{\nu _{{r}}=0}}^{{n_{{r}}}}\alpha (\nu _{{1}}),\ ldots ,\nu _{{r)))x_{{1}}^{{\nu _{{1}}}}\ldots x_{{r}}^{{\nu _{{r}}} } ,

nulla szabad együtthatóval, , együtthatókból álló -dimenziós vektor , akkor az integrál $m=(n_{{1}}+1)\ldots (n_{{r}}+1)-1$ ${\bar {\alpha }}$ $m$ $F$

\vartheta _{{2}}=\int \limits _{{-\infty }}^{{+\infty }}\cdots \int \limits _{{-\infty }}^{{+\infty } }{\biggl |}\int \limits _{{0}}^{{1}}\cdots \int \limits _{{0}}^{{1}}e^{{2\pi iF(x_ {{1)),\ldots ,x_{{r))))}}dx_{{1}}\ldots dx_{{r}}{\biggr |}^{{2k}}d{\bar {\ alfa }}

konvergál a , ahol a legnagyobb a számok közül . Ez az eredmény, bár nem végleges, új irányt adott a trigonometrikus integrálok elméletében, a konvergenciaindex határainak finomításával kapcsolatban (I. A. Ikromov, M. A. Chakhkiev és mások). $2k>mn$ $n$ $n_{1},\ldots ,n_{r}$ $\vartheta _{2}$

Több trigonometrikus összeg

1966-1980-ban A. A. Karatsuba megalkotta [22] [23] [14] (tanítványai, G. I. Arkhipov és V. N. Chubarikov részvételével) H. Weyl többszörös trigonometrikus összegeinek elméletét , vagyis a forma összegeit.

S=S(A)=\összeg _{{x_{1}=1}}^{{P_{1}}}\pontok \összeg _{{x_{r}=1}}^{{P_{r }}}e^{{2\pi iF(x_{1},\pontok ,x_{r})}}

hol , $F(x_{1},\pontok ,x_{r})=\sum _{{t_{1}=1}}^{{n_{1}}}\pontok \sum _{{t_{r}= 1}}^{{n_{r}}}\alpha (t_{1},\pontok ,t_{r})x_{1}^{{t_{1}}}\pontok x_{r}^{{ t_{r}}}$

$A$ a valós együtthatók halmaza . Ennek az elméletnek, valamint I. M. Vinogradov trigonometrikus összegek elméletének központi pontja a következő átlagérték tétel . $\alpha (t_{1},\pontok,t_{r})$

Legyenek természetes számok, , . Legyen továbbá egy -dimenziós kocka az alak euklideszi terében

n_{1},\pontok ,n_{r},P_{1},\pontok ,P_{r}

P_{1}=\min(P_{1},\pontok ,P_{r})

m=(n_{1}+1)\pontok (n_{r}+1)

\Omega

m

0\leq \alpha (t_{1},\pontok ,t_{r})<1

. _

0\leq t_{1}\leq n_{1},\pontok ,0\leq t_{r}\leq n_{r}

és

J=J(P_{1},\pontok ,P_{r};n_{1},\pontok ,n_{r};K,r)={\underset {\Omega }{\int \dots \int } }|S(A)|^{{2K}}dA

. Ezután bármelyikre és a mennyiség kielégíti a becslést

\tau \geq 0

K\geq K_{{\tau }}=m\tau

J

J\leq K_{{\tau }}^{{2m\tau }}\varkappa ^{{4\varkappa ^{2}\Delta (\tau )}}2^{{8m\varkappa \tau }}( P_{1}\dots P_{r})^{{2K}}P^{{-\varkappa \Delta (\tau )}}

, ahol , , , és természetes számok olyanok, hogy:

\varkappa =n_{1}\nu _{1}+\pontok +n_{r}\nu _{r}

\gamma \varkappa =1

\Delta (\tau )={\frac {m}{2}}(1-(1-\gamma )^{{\tau }})

P=(P_{1}^{{n_{1}}}\pontok P_{r}^{{n_{r}}})^{{\gamma }}

\nu _{1},\pontok ,\nu _{r}

-1<{\frac {P_{s}}{P_{1}}}-\nu _{s}\leq 0

, .

s=1,\pontok,r

Az átlagérték tétel és a többdimenziós paralelepipedonok metszéspontjainak többszörösére vonatkozó lemma alapozza meg az A. A. Karatsuba által kapott többszörös trigonometrikus összeg becslését (a kétdimenziós esetet G. I. Arkhipov szerezte [24] ). Ha a feltétellel a számok legkisebb közös többszörösével jelöljük , akkor a esetén megvan a becslés $Q_0$ $q(t_{1},\pontok,t_{r})$ $t_{1}+\pontok t_{r}\geq 1$ $Q_{0}\geq P^{{1/6}}$

|S(A)|\leq (5n^{{2n}})^{{r\nu (Q_{0})}}(\tau (Q_{0}))^{{r-1}}P_ {1}\dots P_{r}Q^{{-0.1\mu }}+2^{{8r}}(r\mu ^{{-1}})^{{r-1}}P_{1 }\dots P_{r}P^{{-0,05\mu }}

ahol a szám osztóinak száma , és a szám különböző prímosztóinak száma . $\tau (Q)$ $K$ $\nu (Q)$ $K$

A Hardy-függvény becslése Waring problémájában

Az általa megszerkesztett Hardy-Littlewood-Ramanujan-Vinogradov körkörös módszer -adic alakját olyan trigonometrikus összegek becslésére alkalmazva, amelyekben az összegzést kis prímosztókkal rendelkező számokon hajtják végre, A. A. Karatsuba új becslést kapott [25] a kútra. -ismert Hardy -függvény a Waring problémában (a esetén ): $p$ $G(n)$ $n\geq 400$

G(n)<2n\log n+2n\log \log n+12n.

A Waring-probléma többdimenziós analógja

A Waring-problémával kapcsolatos további tanulmányaiban A. A. Karatsuba [26] [27] a következő kétdimenziós általánosítást kapta a problémáról:

Tekintsük az egyenletrendszert

x_{1}^{{ni}}y_{1}^{i}+\pontok +x_{k}^{{ni}}y_{k}^{i}=N_{i}

. _

i=0,1,\pontok ,n

ahol adott pozitív egész számok azonos növekedési sorrendben, , és ismeretlenek, de pozitív egészek is. Ez a rendszer megoldható, ha , és ha , akkor vannak olyanok, amelyekre a rendszernek nincs megoldása. $N_{i}$ $N_{0}\to +\infty$ $x_{{\varkappa }},y_{{\varkappa }}$ $k>cn^{2}\log n$ $k<c_{1}n^{2}$ $N_{i}$

Artin problémája a nulla lokális reprezentációjával kapcsolatban

A nullának tetszőleges fokos formával való -adikus ábrázolásával kapcsolatos Artin - probléma tanulmányaiban A. A. Karatsuba eredményei azt mutatták, hogy a nulla nem triviális ábrázolására a korábban feltételezett hatványtörvény-növekedés helyett a változók száma. Egy forma szerint ennek a változószámnak szinte exponenciálisan kell növekednie a mértéktől függően. A. A. Karatsuba tanítványával, G. I. Arkhipovval együtt bebizonyította [28] , hogy bármely természetes számra létezik olyan , amelyiknél létezik egy nál kisebb fokforma , egész együtthatókkal, amelynek változóinak száma , , $p$ $r$ $n_{0}=n_{0}(r)$ $n\geq n_{0}$ $F(x_{1},\pontok,x_{k})$ $n$ $k$ $k\geq 2^{u}$

u={\frac {n}{(\log _{2}n)(\log _{2}\log _{2}n)\dots \underbrace {(\log _{2}\dots \log _ {2}n)}_{r}\underbrace {(\log _{2}\dots \log _{2}n)^{3}}_{{r+1}}}}

és a nullának csak triviális reprezentációja van 2-adikus számokban, és hasonló eredményt kapott egy tetszőleges páratlan prímmodulra is . $p$

Becslések rövid Kloosterman összegekre

A. A. Karatsuba megalkotta [29] [30] [31] (1993-1999) egy új módszert a rövid Kloosterman-összegek , azaz a forma trigonometrikus összegeinek becslésére.

\sum \limits _{{n\in A}}\exp {{\biggl (}2\pi i\,{\frac {an^{{*}}+bn}{m}}{\biggr )} },

ahol a koprímszámok halmazán fut át -val , amelyekben az elemek száma lényegesen kisebb, mint a , és a szimbólum a maradékot jelöli a modulo : inverzére . $n$ $A$ $m$ $\|A\|$ $m$ $n^{{*}}$ $n$ $m$ $nn^{{*}}\equiv 1(\mod m)$

Egészen az 1990-es évek elejéig. az ilyen típusú becslések főként olyan összegekről ismertek, amelyekben a kifejezések száma meghaladta ( G. D. Kloosterman , I. M. Vinogradov , G. Salie, L. Karlitz , S. Uchiyama, A. Weil ). Kivételt képeztek a speciális formájú modulok , ahol fix prímszám van, és a kitevő korlátlanul növekszik (ezt az esetet A. G. Postnikov I. M. Vinogradov módszerével vizsgálta ). Karatsuba módszere lehetővé teszi olyan Kloosterman-összegek becslését, amelyek tagjainak száma nem haladja meg a -t, sőt esetenként még a -t is , ahol egy tetszőlegesen kis fix szám. A. A. Karatsuba utolsó cikke ebben a témában [32] halála után jelent meg. ${\sqrt {m))$ $m=p^{{\alpha ))$ $p$ $\alpha$ $m^{{\varepszilon ))$ $\exp {\{(\ln m)^{{2/3+\varepszilon }}\}}$ $\varepsilon >0$

A. A. Karatsuba módszerének különböző aspektusai alkalmazásra találtak az alábbi analitikus számelméleti problémák megoldásában:

aszimptotikumok keresése az alak törtrészeinek összegeire ${\sum _{{n\leq x}}}'{\biggl \{}{\frac {an^{{*}}+bn}{m}}{\biggr \}},{\sum _{ {p\leq x}}}'{\biggl \{}{\frac {ap^{{*}}+bp}{m}}{\biggr \}},$

ahol egymást követő egész számokon fut végig a feltétellel , és olyan prímszámokon fut át, amelyek nem osztják a modult (A. A. Karatsuba);

n

(n,m)=1

p

m

alsó korlát megtalálása az alaki egyenlőtlenségek megoldásainak számára $\alpha <{\biggl \{}{\frac {an^{{*}}+bn}{m}}{\biggr \}}\leq \beta$

egész számokban , , együttprím -val , (A. A. Karatsuba);

n

1\leq n\leq x

m

x<{\sqrt {m}}

egy szegmensből származó tetszőleges valós szám közelítésének pontossága az alak törtrészeivel $[0,1]$ ${\biggl \{}{\frac {an^{{*}}+bn}{m}}{\biggr \}},$

ahol , , (A. A. Karatsuba);

1\leq n\leq x

(n,m)=1

x<{\sqrt {m}}

az állandó finomítása a Brun-Titchmarsh egyenlőtlenségben $c$ $\pi (x;q,l)<{\frac {cx}{\varphi (q)\ln {\frac {2x}{q)))),$

ahol az aritmetikai sorozatot meg nem haladó és ahhoz tartozó prímek száma ( J. Friedlander , G. Ivanets );

\pi (x;q,l)

p

x

p\equiv l{\pmod {q}}

az alábbi alakú számok szorzatának legnagyobb prímosztójának alsó korlátja: $n^{{3}}+2$ , ( D. R. Heath-Brown ); $N<n\leq 2N$

a forma prímszámai végtelenségének bizonyítása ( J. Friedlander , G. Ivanets ); $a^{{2}}+b^{{4}}$

számhalmaz kombinatorikus tulajdonságai , (A. A. Glibichuk). $n^{{*}}{\pmod {m}}$ $1\leq n\leq m^{{\varepszilon }}$

Riemann zéta függvény

A. Selberg hipotézise

1984-ben A. A. Karatsuba megállapította [33] [34] [35] , hogy egy fix feltételű , kellően nagy és , esetén az intervallum tartalmazza a Riemann zéta-függvény legalább valós nulláit . $\varepsilon$ $0<\varepszilon<0,001$ $T$ $H=T^{{a+\varepszilon }}$ $a={\tfrac {27}{82}}={\tfrac {1}{3}}-{\tfrac {1}{246}}$ $(T,T+H)$ $cH\ln T$ $\zeta {\Bigl (}{\tfrac {1}{2))+it{\Bigr )}$

Ezt az állítást 1942-ben A. Selberg [36] sejtéseként fogalmazta meg, aki maga bizonyította érvényességét az esetre . A. Selberg és A. A. Karatsuba becslései a növekedési sorrendben javíthatatlanok . $H\geq T^{{1/2+\varepsilon }}$ $T\to +\infty$

A Riemann-zéta-függvény nulláinak eloszlása a kritikus egyenes rövid szakaszain

A. A. Karatsuba számos eredménnyel is hozzájárult a nullák eloszlásához a kritikus vonal "rövid" intervallumaiban [37] . Bebizonyította, hogy a Selberg-sejtés analógja „majdnem minden” intervallumra érvényes , , ahol egy tetszőlegesen kis fix pozitív szám. A. A. Karatsuba új megközelítést dolgozott ki (1992) a Riemann-zéta-függvény nulláinak tanulmányozására a kritikus vonal "ultrarövid" intervallumaiban, vagyis azokon az intervallumokon, amelyek hossza lassabban növekszik, mint bármely, akár tetszőlegesen kicsi fok. . Konkrétan bebizonyította, hogy bármely adott szám esetén a feltétellel szinte minden intervallum tartalmazza a függvény legalább nulláját . Ez a becslés nagyon közel áll a Riemann-hipotézisből következőhöz . $\zeta (s)$ $(T,T+H]$ $H=T^{{\varepszilon ))$ $\varepsilon$ $(T,T+H]$ $H$ $T$ $\varepsilon$ $\varepszilon_{1}$ $0<\varepsilon ,\varepsilon _{{1}}<1$ $(T,T+H]$ $H\geq \exp {\{(\ln T)^{{\varepszilon }}\}}$ $H(\ln T)^{{1-\varepszilon _{{1}}}}$ $\zeta {\bigl (}{\tfrac {1}{2}}+it{\bigr )}$

A Dirichlet el-sorozat lineáris kombinációinak nullái

A. A. Karatsuba új módszert hozott létre [38] [39] [40] a Dirichlet-sorozat lineáris kombinációjaként ábrázolható függvények nulláinak tanulmányozására . Az ilyen típusú függvény legegyszerűbb példája a Davenport - Heilbronn függvény , amelyet az egyenlőség határoz meg. $L$

f(s)={\tfrac {1}{2}}(1-i\kappa )L(s,\chi )+{\tfrac {1}{2}}(1\,+\,i\kappa )L(s,{\bar {\chi )))

ahol egy nem fő karakter modulo ( , , , , , bármely esetén ), $\chi$ $5$ $\chi(1)=1$ $\chi (2)=i$ $\chi (3)=-i$ $\chi(4)=-1$ $\chi(5)=0$ $\chi (n+5)=\chi (n)$ $n$

\kappa ={\frac {{\sqrt {10-2{\sqrt {5}}}}-2}{{\sqrt {5}}-1}}.

Ugyanis a Riemann-hipotézis hibás, azonban a kritikus vonal ennek ellenére rendellenesen sok nullát tartalmaz. $f(s)$ $Re\ s={\tfrac {1}{2}}$

A. A. Karatsuba megállapította (1989), hogy a , , intervallum tartalmaz legalább $(T,T+H]$ $H=T^{{27/82+\varepszilon }}$

H(\ln T)^{{1/2}}e^{{-c{\sqrt {\ln \ln T))))

függvény nullák . Hasonló eredményeket kapott A. A. Karatsuba is tetszőleges (véges) számú tagot tartalmazó lineáris kombinációkra; a kitevőt csak a lineáris kombináció típusától függően kisebb szám helyettesíti . $f{\bigl (}{\tfrac {1}{2}}+it{\bigr )}$ ${\tfrac {1}{2))$ $\beta$

A zéta-függvény és a többdimenziós Dirichlet-osztó probléma nulla korlátja

A. A. Karatsuba egy alapvetően új eredményre [41] jutott a Dirichlet-osztók többdimenziós problémájában, amely a természetes számok egyenlőtlenségének megoldására vonatkozik . Mert van egy aszimptotikus képlete az alaknak $x\to +\infty$ $D_{{k}}(x)$ $x_{{1}}*\ldots *x_{{k}}\leq x$ $x_{{1}},\ldots ,x_{{k}}$ $D_{{k}}(x)$

D_{{k}}(x)=xP_{{k-1}}(\ln x)+R_{{k}}(x)

amelyben egy harmadfokú polinom , amelynek együtthatói függenek és explicit módon megtalálhatók, és egy maradék tag, amelynek minden ismert (1960 előtt) becslése ilyen alakú volt $P_{{k-1}}(u)$ $(k-1)$ $k$ $R_{{k}}(x)$

|R_{{k}}(x)|\leq x^{{1-\alpha (k)}}(c\ln x)^{{k}}

ahol és vannak abszolút pozitív állandók. $\alpha ={\frac {1}{ak+b}}$ $ABC$

A. A. Karatsuba pontosabb becslést kapott , amelyben az érték egy nagyságrendű volt , és sokkal lassabban csökkent, mint a korábbi becsléseknél. A. A. Karatsuba becslése egységes és ; különösen a magnitúdó nőhet, ahogy nő (a logaritmus valamely hatványaként ). (Hasonló, de gyengébb eredményt ért el 1960-ban H. E. Richert német matematikus, akinek munkája legalább a hetvenes évek közepéig ismeretlen maradt a szovjet matematikusok előtt). $R_{{k}}(x)$ $\alpha (k)$ $k^{{-2/3}}$ $\alpha (k)$ $x$ $k$ $k$ $x$ $x$

A becslés levezetése számos olyan állításon alapul, amelyek lényegében ekvivalensek a Riemann-zéta-függvény nullák határára vonatkozó tételével, amelyet I. M. Vinogradov módszerével kaptunk meg , vagyis azon tétellel, aminek nincs nullája a régióban. $R_{{k}}(x)$ $\zeta (s)$

Re\ s\geq 1-{\frac {c}{(\ln |t|)^{{2/3}}(\ln \ln |t|)^{{1/3}}}},\ quad|t|>10

A. A. Karatsuba [42] [43] (2000) fordított összefüggést hozott létre a mennyiségek becslései és az egyenes közeli viselkedés között . Konkrétan bebizonyította, hogy ha egy tetszőleges nemnövekvő függvény a feltétellel , úgy, hogy minden becslésre $R_{{k}}(x)$ $\zeta (s)$ $Re\s=1$ $\alpha (y)$ $1/y\leq \alpha (y)\leq 1/2$ $k\geq 2$

|R_{{k}}(x)|\leq x^{{1-\alpha (k)}}(c\ln x)^{{k}}

akkor nincs nulla a régióban $\zeta (s)$

Re\ s\geq 1-c_{{1))\,{\frac {\alpha (\ln |t|)}{\ln \ln |t|}},\quad |t|\geq e^{ {2}}

( abszolút állandók). $c,c_{{1}}$

A zéta-függvény maximális modulusának alsó határai a kritikus sáv kis régióiban és a kritikus egyenes kis intervallumaiban

A. A. Karatsuba bemutatta és tanulmányozta [44] [45] az egyenlőségek által meghatározott és meghatározott függvényeket $F(T;H)$ $G(s_{{0}};\Delta )$

F(T;H)=\max _{{|tT|\leq H}}{\bigl |}\zeta {\bigl (}{\tfrac {1}{2}}+it{\bigr )}{ \bigr |},\quad G(s_{{0}};\Delta )=\max _{{|s-s_{{0}}|\leq \Delta }}|\zeta (s)|.

Itt van egy kellően nagy pozitív szám, , , , . Az alsó határok és azt mutatják meg, hogy mekkora (abszolút értékben) értékek vehetnek fel a kritikus vonal rövid szakaszait vagy a kritikus sávban elhelyezkedő pontok kis környezetében . Az esetet korábban Ramachandra vizsgálta; az az eset , amikor egy kellően nagy állandó, triviális. $T$ $0<H\ll \ln \ln T$ $s_{{0}}=\sigma _{{0}}+iT$ ${\tfrac {1}{2}}\leq \sigma _{{0}}\leq 1$ $0<\Delta <{\tfrac {1}{3}}$ $F$ $G$ $\zeta (s)$ $0\leq Re\s\leq 1$ $H\gg \ln \ln T$ $\Delta >c$ $c$

A. A. Karatsuba különösen bebizonyította, hogy ha a mennyiségek és meghaladnak néhány kellően kis állandót, akkor a becslések $H$ $\Delta$

F(T;H)\geq T^{{-c_{{1}}}},\quad G(s_{{0}};\Delta )\geq T^{{-c_{{2}}} },

hol van néhány abszolút állandó. $c_{{1}},c_{{2}}$

A zéta függvény argumentumának viselkedése a kritikus vonalon

A. A. Karatsuba számos új eredményt [46] [47] kapott a függvény viselkedésével kapcsolatban , amelyet a Riemann-zéta-függvény kritikus egyenesen lévő argumentumának neveznek (itt egy tetszőleges folytonos ág növekedése a pontokat összekötő szaggatott vonal mentén és ). Ezek között vannak egy függvény átlagértékére vonatkozó tételek és a valós egyenes szakaszaira vonatkozó antideriválták , valamint az a tétel, amely szerint bármely intervallum legalább $S(t)={\frac {1}{\pi }}\arg {\zeta {\bigl (}{\tfrac {1}{2}}+it{\bigr )))$ $\arg {\zeta {\bigl (}{\tfrac {1}{2}}+it{\bigr )))$ $\arg \zeta (s)$ $2.2+it$ ${\tfrac {1}{2}}+it$ $Utca)$ $S_{{1}}(t)=\int _{{0}}^{{t}}S(u)du$ $(T,T+H]$ $H\geq T^{{27/82+\varepsilon }}$

H(\ln T)^{{1/3}}e^{{-c{\sqrt {\ln \ln T))))

a függvény előjelének változási pontjai . Korábban hasonló eredményeket állapított meg A. Selberg az esetre vonatkozóan . $Utca)$ $H\geq T^{{1/2+\varepsilon }}$

Dirichlet karakterei

Becslések a véges mezőkben lévő karakterek rövid összegére

Az 1960-as évek végén A. A. Karatsuba a karakterek rövid összegeinek becslése közben egy új módszert hozott létre [48] , amely lehetővé tette, hogy véges mezőkben szereplő rövid karakterösszegekre nemtriviális becsléseket kapjunk . Legyen fix egész szám, legyen a racionális számok mezeje felett irreducibilis polinom, legyen az egyenlet gyöke , legyen a mező kiterjesztése , legyen az , , , alapja . Legyen továbbá egy kellően nagy prímszám ahhoz, hogy modulo irreducibilis legyen , legyen Galois-mező bázissal , és legyen a mező nem fő Dirichlet karaktere . Legyen végül néhány nem negatív egész szám, legyen a Galois mező elemeinek halmaza , $n\geq 2$ $F(x)=x^{{n}}+a_{{n-1}}x^{{n-1}}+\ldots +a_{{1}}x+a_{{0}}$ $\mathbb {Q}$ $\theta$ $F(\theta )=0$ ${\mathbb {Q}}(\theta )$ $\mathbb {Q}$ $\omega _{{1}},\ldots ,\omega _{{n}}$ ${\mathbb {Q}}(\theta )$ $\omega _{{1}}=1$ $\omega _{{2}}=\theta$ $\omega _{{3}}=\theta ^{{2}},\ldots ,\omega _{{n}}=\theta ^{{n-1}}$ $p$ $F(x)$ $p$ ${\mathrm {GF}}(p^{{n}})$ $\omega _{{1}},\omega _{{2}},\ldots ,\omega _{{n}}$ $\chi$ ${\mathrm {GF}}(p^{{n}})$ $\nu _{{1}},\ldots ,\nu _{{n}}$ $D(X)$ ${\bár {x}}$ ${\mathrm {GF}}(p^{{n}})$

{\bar {x}}=x_{{1}}\omega _{{1}}+\ldots +x_{{n}}\omega _{{n}}

úgy, hogy bármely , esetén a következő egyenlőtlenségek teljesüljenek: $én$ $1\leq i\leq n$

\nu _{{i}}<x_{{i}}<\nu _{{i}}+X

A. A. Karatsuba bebizonyította, hogy minden rögzített , , és tetszőleges feltételre $k$ $k\geq n+1$ $x$

p^{{{\frac {1}{4}}+{\frac {1}{4k}}}}\leq X\leq p^{{{\frac {1}{2}}+{\frac {1}{4k}}}}

igazságos értékelés:

{\biggl |}\sum \limits _{({\bar {x}}\in D(X)))\chi ({\bar {x}}){\biggr |}\leq c{\Bigl ( }X^{{1-{\frac {1}{k))))p^{({\frac {1}{4k))+{\frac {1}{4k^{{2)))) }}{\Bigr )}^{{\!\!n}}(\ln p)^{{\gamma }}),

ahol , és a konstans csak és az alaptól függ . $\gamma ={\frac {1}{k}}(2^{{n+1}}-1)$ $c$ $n$ $\omega _{{1}},\ldots ,\omega _{{n}}$

A karakterek lineáris összegére vonatkozó becslések eltolt prímszámokban

A. A. Karatsuba számos új trükköt dolgozott ki, amelyek alkalmazása, valamint I. M. Vinogradov prímszámokkal történő összegbecslési módszere lehetővé tette számára, hogy 1970-ben becslést kapjon [49] [50] a nem-értékek összegére. főkarakter modulo prímszám eltolt prímek sorozatán, nevezetesen az alak becslése $q$

{\biggl |}\sum \limits _{{p\leq N}}\chi (p+k){\biggr |}\leq cNq^{{-{\frac {\varepsilon ^{{2}}} {1024}}}},

ahol egy egész szám a feltétellel , egy tetszőlegesen kis fix szám, és a konstans csak attól függ . $k$ $k\not \equiv 0{\pmod {q}}$ $\varepsilon$ $N\geq q^{{1/2+\varepsilon }}$ $c$ $\varepsilon$

Ez az állítás jelentősen megerősíti I. M. Vinogradov becslését, amely nem triviális . $N\geq q^{{3/4+\varepsilon }}$

1971- ben, az I. M. Vinogradov születésének 80. évfordulója alkalmából rendezett számelméleti nemzetközi konferencián Yu. V. Linnik akadémikus a következőket jegyezte meg:

Nagyon fontosak I. M. Vinogradov tanulmányai az eltolt prímszámú Dirichlet-karakterek aszimptotikája terén , amelyek hatványtörvényes csökkenést adtak a már , -nél lévőhöz képest , ahol a karakter modulusa van. Ez a becslés alapvető jelentőségű, hiszen mélységében felülmúlja azt, amit a kiterjesztett Riemann-hipotézis közvetlen alkalmazása ad , és úgy tűnik, ebben az irányban mélyebb az igazság, mint a jelzett hipotézis (ha a hipotézis helyes). A közelmúltban A. A. Karatsubának sikerült javítania ezen a becslésen. $\sum \limits _{{p\leq N}}\chi (p+k)$ $N$ $N\geq q^{{3/4+\varepsilon }}$ $\varepsilon >0$ $q$

Ezt az eredményt A. A. Karatsuba vitte át arra az esetre, amikor a prímszámok egy aritmetikai sorozaton mennek keresztül, amelynek különbsége a modulussal nő . $p$ $q$

Karakterösszegekre vonatkozó becslések polinomokban egyszerű argumentummal

A. A. Karatsuba [48] [51] egy sor becslést kapott a másodfokú polinomok Dirichlet-karaktereinek összegére arra az esetre, amikor a polinom argumentuma egy rövid, egymást követő prímsorozaton fut. Legyen például egy kellően nagy prímszám, , ahol és azok az egész számok, amelyek kielégítik a feltételt , és jelölje a Legendre szimbólumot , majd bármely rögzített feltételre és az összegre , $q$ $f(x)=(xa)(xb)$ $a$ $b$ $ab(ab)\not \equiv 0{\pmod {q}}$ $\left({\frac {n}{q}}\jobb)$ $\varepsilon$ $0<\varepszilon <{\tfrac {1}{2}}$ $N>q^{{3/4+\varepsilon }}$ $S_{{N}}$

S_{{N}}=\sum \limits _{{p\leq N}}{\biggl (}{\frac {f(p)}{q}}{\biggr )},

igazságos értékelés:

|S_{{N}}|\leq c\pi (N)q^{{-{\frac {\varepszilon ^{{2}}}{100}}}}

(itt egymást követő prímek futnak át, a prímek száma nem haladja meg a -t , és csak -től függő konstans ). $p$ $\pi (N)$ $N$ $c$ $\varepsilon$

Hasonló becslést kapott A. A. Karatsuba arra az esetre is, amikor egy aritmetikai sorozathoz tartozó prímszámok sorozata fut át, amelyek különbsége a modulussal nőhet . $p$ $q$

A. A. Karatsuba sejtette, hogy az összeg nem triviális becslése , amely "kicsi" -hez képest , akkor is érvényes marad, ha egy tetszőleges fokú polinomra cseréljük , amely nem négyzetmodulo . Ez a hipotézis még nem bizonyított. $S_{{N}}$ $N$ $q$ $f(x)$ $n$ $q$

A polinomok karaktereinek összegének alsó határai

A. A. Karatsuba megszerkesztette [52] prímek végtelen sorozatát és fokszámú polinomok sorozatát egész együtthatókkal, amelyek nem tökéletes négyzetmodulo , $p$ $f(x)$ $n$ $f(x)$ $p$

{\frac {4(p-1)}{\ln p}}\leq n\leq {\frac {8(p-1)}{\ln p)),

és azok, amelyek

\sum \limits _{{x=1}}^{{p}}\left({\frac {f(x)}{p}}\right)=p.

Más szóval, bármely érték esetén ez egy négyzetes maradék modulo . Ez az eredmény azt mutatja, hogy A. Weyl becslése $x$ $f(x)$ $p$

{\biggl |}\sum \limits _{{x=1}}^{{p}}\left({\frac {f(x)}{p}}\right){\biggr |}\leq ( n-1){\sqrt{p))

nem lehet túl sokat javítani, és lecserélni az utolsó egyenlőtlenség jobb oldalát, mondjuk az értékre , ahol egy abszolút állandó. $C{\sqrt {n}}{\sqrt {p}}$ $C$

Karakterösszegek additív szekvenciákon

A. A. Karatsuba egy új módszert javasolt [53] [54] , amely lehetővé teszi, hogy nagyon pontos becsléseket találjunk a nem fő Dirichlet-karakterek értékeinek összegére additív szekvenciákon, azaz olyan sorozatokon, amelyek formájú számokból állnak , ahol a változók és egymástól függetlenül futnak, illetve egyes halmazok és . $x+y$ $x$ $y$ $A$ $B$

Az ilyen jellegű eredmények legszembetűnőbb példája a következő állítás, amely a Dirichlet-karakterek értékeinek összegzésével kapcsolatos problémák széles osztályának megoldásában talál alkalmazást. Legyen egy tetszőlegesen kicsi fix szám, legyen egy kellően nagy prímszám, és legyen egy nem fő karakter modulo . Legyenek továbbá a maradékok modulo teljes rendszerének tetszőleges részhalmazai , amelyek csak a , feltételeket teljesítik . Ezután a következő becslés történik: $\varepsilon$ $0<\varepszilon <{\tfrac {1}{2}}$ $q$ $\chi$ $q$ $A$ $B$ $q$ $\|A\|>q^{{\varepszilon ))$ $\|B\|>q^{{1/2+\varepszilon }}$

{\biggl |}\sum \limits _{{x\in A}}\sum \limits _{{y\in B}}\chi (x+y){\biggr |}\leq c\|A\ |\cdot \|B\|q^{{-{\frac {\varepsilon ^{{2}}}{20}}}},\quad c=c(\varepsilon )>0.

A. A. Karatsuba módszere lehetővé teszi az ilyen típusú összegek nem triviális becslését, és bizonyos esetekben, amikor a fenti feltételeket a halmazokon és másokkal helyettesítik , például: $A$ $B$ $\|A\|>q^{{\varepszilon ))$ ${\sqrt {\|A\|}}\cdot \|B\|>q^{{1/2+\varepsilon }}.$

Abban az esetben, ha és a szegmensek prímszámainak halmazai , illetve , , van egy becslés a következő alakra: $A$ $B$ $(1,X]$ $(1,Y]$ $X\geq q^{{1/4+\varepsilon }}$ $Y\geq q^{{1/4+\varepsilon }}$

{\biggl |}\sum \limits _{{p\leq X}}\sum \limits _{{p'\leq Y}}\chi (p+p'){\biggr |}\leq c\pi (X)\pi (Y)q^{{-c_{{1}}\varepsilon ^{{2}}}},

ahol a prímek száma nem haladja meg a , -t , és valami abszolút állandó. $\pi (Z)$ $Z$ $c=c(\varepsilon )>0$ $c_{{1}}$

Hatványmaradékok és primitív gyökök megoszlása ritka sorozatokban

A. A. Karatsuba [55] [56] (2000) nem triviális becsléseket kapott a Dirichlet-karakterek „súllyal” értékeinek összegére, vagyis a formájú tagok összegeire , ahol a természetes argumentum függvénye. Az ilyen típusú becsléseket a hatványmaradékok (nem maradékok), valamint a különféle sorozatokban a primitív gyökök eloszlásával kapcsolatos számelméleti problémák széles körének megoldására használják. $\chi (n)f(n)$ $f(n)$

Legyen egész szám, legyen elég nagy prímszám, , , , ahol , és legyen végül, $k\geq 2$ $q$ $(a,q)=1$ $|a|\leq {\sqrt {q}}$ $N\geq q^{{{\frac {1}{2}}-{\frac {1}{2(k+1)}}+\varepszilon }}$ $0<\varepszilon <\min {\{0.01,{\tfrac {2}{3(k+1)}}\}}$

D_{{k}}(x)=\sum \limits _{{x_{{1}}*\ldots *x_{{k}}\leq x}}1=\sum \limits _{{n\leq x}}\tau _{{k}}(n)

(az aszimptotikus kifejezést lásd fent, a Dirichlet-osztók többdimenziós problémájával foglalkozó részben). Azokra az összegekre és mennyiségekre kiterjesztett értékekre , amelyeknél a számok négyzetes maradékok (illetve nem maradékok) modulo , A. A. Karatsuba a következő alakú aszimptotikus képleteket kapta $D_{{k}}(x)$ $V_{{1}}(x)$ $V_{{2}}(x)$ $\tau _{{k}}(n)$ $n\leq x$ $(n+a)$ $q$

V_{{1}}(x)={\tfrac {1}{2}}D_{{k}}(x)+O{\bigl (}xq^{{-0,01\varepszilon ^{{2}} }}{\bigr )},\quad V_{{2}}(x)={\tfrac {1}{2}}D_{{k}}(x)+O{\bigl (}xq^{{ -0,01\varepsilon ^{{2)))){\bigr )}

Hasonlóképpen az összeset átvett értékek összegére , amelyre egy primitív gyök modulo , a forma aszimptotikus kifejezését kapjuk $V(x)$ $\tau _{{k}}(n)$ $n\leq x$ $(n+a)$ $q$

V(x)=\left(1-{\frac {1}{p_{{1))))\right)\ldots \left(1-{\frac {1}{p_{{s)))) \jobbra)D_{{k))(x)+O{\bigl (}xq^{{-0,01\varepszilon ^{{2)))){\bigr )}

hol van minden főosztója . $p_{{1}},\ldots ,p_{{s}}$ $q-1$

Az A. A. Karatsuba által kidolgozott módszert a hatványmaradékok (nem maradékok) eltolt prímszámok sorozataiban való eloszlásának problémáira is alkalmazta, alakszámok stb . $p+a$ $x^{{2}}+y^{{2}}+a$

Az elmúlt évek munkái

Az elmúlt években a számelméleti kutatások mellett (lásd Karatsuba-effektus [57] [58] ) az elméleti fizika egyes problémáival [59] foglalkozott , többek között a kvantumtérelmélet területén is . Az ATS -tétel és néhány más számelméleti megközelítés alkalmazásával új eredményekre jutott [60] [61] a kvantumoptikában a Jaynes-Cummings-modellben .

Család és hobbi

Felesége a Moszkvai Állami Egyetem Mechanikai és Matematikai Karának osztálytársa Diana Vasziljevna Szencsenko (született 1936), a Moszkvai Állami Egyetem Közgazdaságtudományi Karának Gazdasági Analízis Matematikai Módszerei Tanszékének docense . Ekaterina lánya (született 1963-ban) – a fizikai és matematikai tudományok doktora, a Számítástechnikai Központ vezető kutatója. A. A. Dorodnitsyna RAS [62] .

Anatolij Karatsuba egész életében a sporttal foglalkozott: első éveiben súlyemelés és birkózás, majd hegymászás, [63] sziklamászás, barlangkutatás és hegyi turizmus. Áthaladt Ai-Petri , Kush-Kai , Opolznevoy, Foros és még sokan mások krími falai mellett, részt vett az Anakopia (Új Athos) , Kaskadnaya, Nazarovskaya barlangok barlangjaiban tartott barlangkutatásokon.

Tizenegyszer mászott fel több mint 7000 méter magasra, meghódítva a csúcsokat

a kommunizmus csúcsa (a Szovjetunió legmagasabb csúcsa) 1977-ben és 1985-ben;
Lenin-csúcs 1968-ban és 1979-ben;
Korzsenevszkaja csúcsa 1980-ban, 1982-ben, 1983-ban, 1985-ben, 1986-ban, 1988-ban és 1991-ben,

Négyszer meghódította Elbrust . Utazásokat tett a Kaukázus hegyeiben , a Pamírban , és különösen élete utolsó éveiben a Tien Shanban a kirgiz Ala-Too- ban, Zailijszkij Alatau -ban, Terskey -ben és Kungei Ala-Too-ban .

Lásd még

Jegyzetek

↑ 1 2 S. A. Gritsenko, E. A. Karatsuba, M. A. Koroljev, I. S. Rezvyakova, D. I. Tolev, M. E. Changa. Anatolij Alekszejevics Karatsuba tudományos eredményei. Matematika és Informatika, 1. // Anatolij Alekszejevics Karatsuba születésének 75. évfordulóján . - Modern. prob. Mat.. - 2012. - T. 16. - S. 7-30.
↑ Knut D. A számítógépes programozás művészete. - 1. kiadás - M . : Mir (kiadó), 1977. - T. 2. - S. 315. - 724 p.
↑ Moore, E.F. Gedanken-kísérletek szekvenciális gépeken // Automata Studies, Annals of Mathematical Studies, Princeton University Press, Princeton, NJ,. - 1956. - 34. sz . - S. 129-153 .
↑ Karatsuba, A. A. Egy probléma megoldása a véges automaták elméletéből // Uspekhi Mat. - 1960. - 15. szám: 3 . - S. 157-159 .
↑ 1 2 Karatsuba A. A. Számítási összetettség // Tr. MIAN. - 1995. - T. 211 . - S. 186-202 .
↑ Karatsuba A., Ofman Yu. Többértékű számok szorzása automatákon // A Szovjetunió Tudományos Akadémiájának jelentései. - 1962. - T. 145 , 2. sz .
↑ Karacuba A. Berechnungen und die Kompliziertheit von Beziehungen (német) // Elektronische Informationsverarbeitung und Kybernetik. - 1975. - Bd. 11 .
↑ Knut D. A programozás művészete. - 3. kiadás - M .: Williams , 2007. - V. 2. Megszerzett algoritmusok. — 832 p. — ISBN 0-201-89684-2 . .
↑ Schönhage A., Strassen V. Schnelle Multiplikation großer Zahlen // Számítástechnika. - 1971. - 7. sz . - P. 281-292.
↑ Strassen V. A Gauss-elimináció nem optimális // Szám . Math / F. Brezzi - Springer Science + Business Media , 1969. - Vol. 13, Iss. 4. - P. 354-356. — ISSN 0029-599X ; 0945-3245 - doi:10.1007/BF02165411
↑ Jean-Paul Delahaye. Mathematiques et philosophie (francia) // Pour la Science. - 2000. - 277. sz . - P. 100-104 .
↑ G. I. Arhipov; V. N. Csubarikov. Karatsuba A. A. professzor matematikai munkásságáról // Proceedings of MIAN . - 1997. - T. 218 . - S. 7-19 .
↑ Karatsuba A. A. Az analitikus számelmélet alapjai // Moszkva: Nauka. – 1975.
↑ 1 2 Arkhipov G.I., Karatsuba A.A., Chubarikov V.N. Többszörös trigonometrikus összegek elmélete // M.: Nauka. – 1987.
↑ Voronin S. M., Karatsuba A. A. Riemann zeta function // Moszkva: Fizmatlit. – 1994.
↑ Karatsuba AA Komplex elemzés a számelméletben // London, Tokió: CRC. – 1995.
↑ Karatsuba, A. A. Egy speciális forma trigonometrikus összegeinek becslései és alkalmazásaik // Dokl. Szovjetunió Tudományos Akadémia: folyóirat. - 1961. - No. 137:3 . - S. 513-514 . (Orosz)
↑ Karatsuba, A. A. Waring-probléma egy prímszám modulo a hatványának összehasonlításához // Vestn. Moszkvai Állami Egyetem: folyóirat. - 1962. - 1. szám: 4 . - S. 28-38 . (Orosz)
↑ Karatsuba, A. A. Néhány egyenlet megoldási számának becsléséről // Dokl. A Szovjetunió Tudományos Akadémia. - 1965. - 165. szám: 1 . - S. 31-32 .
↑ Karatsuba, A. A. Waring típusú összehasonlítási és egyenletrendszerek // Dokl. A Szovjetunió Tudományos Akadémia. - 1965. - 1. szám: 4 . - S. 274-276 .
↑ Arkhipov G. I., Karatsuba A. A., Chubarikov V. N. Trigonometrikus integrálok // Izvesztyija RAN. Matematikai sorozat. . - 1979. - T. 43 , 5. sz . - S. 971-1003 . (Orosz)
↑ Karatsuba, A. A. Átlagérték tételek és teljes trigonometrikus összegek // Izv. A Szovjetunió Tudományos Akadémia. Ser. matematika. : magazin. - 1966. - 30. szám: 1 . - S. 183-206 . (Orosz)
↑ Vinogradov I. M., Karatsuba A. A. A trigonometrikus összegek módszere a számelméletben // Proceedings of MIAN. - 1984. - 168. sz . - S. 4-30 .
↑ Arkhipov, G. I. A tétel többszörös trigonometrikus összeg modulusának középértékéről // Matem. jegyzetek: folyóirat. - 1975. - 17. szám: 1 . - S. 143-153 . (Orosz)
↑ Karatsuba, A. A. A G(n) függvényről a Waring problémában // Izvestiya RAN. Matematikai sorozat. . - 1985. - 49. szám: 5 . - S. 935-947 . (Orosz)
↑ Arkhipov G. I., Karatsuba A. A. A Waring-probléma többdimenziós analógja // Dokl. A Szovjetunió Tudományos Akadémia. - 1987. - No. 295:3 . - S. 521-523 .
↑ Karatsuba AA Waring problémája több dimenzióban // Matem. Forschungs, Oberwolfach, Tagungsbericht. - 1988. - 42. sz . - 5-6 . o .
↑ Arkhipov G. I., Karatsuba A. A. A nulla helyi ábrázolásáról formával // Izv. A Szovjetunió Tudományos Akadémia. Ser. Mat.. - 1981. - No. 45:5 . - S. 948-961 .
↑ Karatsuba, A. A. Kloosterman-összegek analógjai // Izvesztyija RAN. Matematikai sorozat. . - 1995. - No. 59:5 . - S. 93-102 . (Orosz)
↑ Karatsuba, A. A. A hiányos Kloosterman összegek analógjai és alkalmazásaik // Tatra Mountains Math. Publ.. - 1997. - 11. sz . - S. 89-120 .
↑ Karatsuba, A. A. Dupla Kloosterman összegek // Matem. jegyzetek. - 1999. - 66. szám: 5 . - S. 682-687 .
↑ Karatsuba, A. A. Új becslések rövid Kloosterman összegekre // Matem. jegyzetek. - 2010. - No. 88:3 . - S. 384-398 .
↑ Karatsuba, A. A. A ζ(s) függvény nulláin a kritikus vonal rövid időközein // Izvestiya RAN. Matematikai sorozat. : magazin. - 1984. - No. 48:3 . - S. 569-584 . (Orosz)
↑ Karatsuba, A. A. A ζ(1/2 + it) függvény nulláinak eloszlása // Izvesztyija RAN. Matematikai sorozat. . - 1984. - No. 48:6 . - S. 1214-1224 . (Orosz)
↑ Karatsuba, A. A. A Riemann-zéta-függvény nulláiról a kritikus vonalon // Trudy MIAN. - 1985. - 167. sz . - S. 167-178 .
↑ Selberg, A. A Riemann-féle zéta-függvény nulláiról // Shr. Norske Vid. Akad. Oslo. - 1942. - 10. sz . - S. 1-59 .
↑ Karatsuba, A. A. A Riemann-zéta-függvény nulláinak számáról, amelyek a kritikus egyenes szinte minden rövid intervallumán fekszenek // Izvesztyija RAN. Matematikai sorozat. : magazin. - 1992. - 56. szám: 2 . - S. 372-397 . (Orosz)
↑ Karatsuba, A. A. A kritikus vonalon fekvő Davenport–Heilbronn függvény nulláin // Izvesztyija RAN. Matematikai sorozat. : magazin. - 1990. - 54. szám: 2 . - S. 303-315 . (Orosz)
↑ Karatsuba, AA A Davenport–Heilbronn függvény nulláin // Proc. Amalfi konf. Analitikus számelmélet. - 1992. - S. 271-293 .
↑ Karatsuba, A. A. Az Euler-terméket nem tartalmazó aritmetikai Dirichlet-sorozatok nulláiról // Izvestiya RAN. Matematikai sorozat. : magazin. - 1993. - No. 57:5 . - 3-14 . o . (Orosz)
↑ Karatsuba, A. A. A maradék tag egységes becslése a Dirichlet-osztók problémájában // Izv. A Szovjetunió Tudományos Akadémia. Ser. matematika. : magazin. - 1972. - No. 36:3 . - S. 475-483 . (Orosz)
↑ Karatsuba, AA A többdimenziós Dirichlet-osztóprobléma és a nulla szabad régiók a Riemann-zéta-függvényhez // Functiones et Approximatio : Journal. - 2000. - Nem. XXVIII . - P. 131-140 .
↑ Karatsuba, A. A. A Dirichlet-osztók többdimenziós problémájának kapcsolatáról a nullák ζ(s) határával // Matem. jegyzetek: folyóirat. - 2001. - 70. szám: 3 . - S. 477-480 . (Orosz)
↑ Karatsuba, A. A., A ζ modulus(ok) maximumának alsó határain a kritikus sáv kis tartományaiban, Mat. jegyzetek: folyóirat. - 2001. - 70. szám: 5 . - S. 796-798 . (Orosz)
↑ Karatsuba, A. A. A Riemann zéta-függvény maximális modulusának alsó határairól a kritikus vonal rövid intervallumaiban // Izvesztyija RAN. Matematikai sorozat. : magazin. - 2004. - 68. szám: 8 . - S. 99-104 . (Orosz)
↑ Karatsuba, A. A. Sűrűségtétel és a Riemann-zéta-függvény argumentumának viselkedése // Matem. jegyzetek. - 1996. - 60. szám: 3 . - S. 448-449 .
↑ Karatsuba, A. A. Az S(t) függvényről // Izvesztyija RAN. Matematikai sorozat. . - 1996. - 60. szám: 5 . - S. 27-56 . (Orosz)
↑ 1 2 Karatsuba, A. A. Karakterek és primitív gyökerek összegei véges mezőben // Dokl. Szovjetunió Tudományos Akadémia: folyóirat. - 1968. - No. 180:6 . - S. 1287-1289 . (Orosz)
↑ Karatsuba, A. A. A karakterek összegének becsléséről // Izv. A Szovjetunió Tudományos Akadémia. Ser. Mat.. - 1970. - No. 34:1 . - S. 20-30 .
↑ Karatsuba, A. A. Karakterek összegei prímszámokkal // Izv. A Szovjetunió Tudományos Akadémia. Ser. Mat.. - 1970. - No. 34:2 . - S. 299-321 .
↑ Karatsuba, A. A. Karakterek összegei eltolt prímek sorozatán és alkalmazásaik // Math. jegyzetek: folyóirat. - 1975. - 17. szám: 1 . - S. 155-159 . (Orosz)
↑ Karatsuba, A. A. A polinomok karakterösszegeinek alsó határairól // Matem. jegyzetek. - 1973. - 14. szám: 1 . - S. 67-72 .
↑ Karatsuba, A. A. Erőmaradékok és nem maradékok eloszlása additív szekvenciákban // Dokl. Szovjetunió Tudományos Akadémia: folyóirat. - 1971. - No. 196:4 . - S. 759-760 . (Orosz)
↑ Karatsuba, A. A. Dirichlet-karakterek értékeinek megoszlása additív szekvenciákon // Dokl. Szovjetunió Tudományos Akadémia: folyóirat. - 1991. - No. 319:3 . - S. 543-545 . (Orosz)
↑ Karatsuba, AA Karakterek összegei prímszámokkal és alkalmazásaik // Tátra Math. Publ. : folyóirat. - 2000. - Nem. 20 . - P. 155-162 .
↑ Karatsuba, A. A. Karakterek összege súlyokkal // Izvesztyija RAN. Matematikai sorozat. . - 2000. - 64. szám: 2 . - S. 29-42 . (Orosz)
↑ Karatsuba, A. A. A prímszámok halmazának tulajdonságáról // Uspekhi Matematicheskikh Nauk. - 2011. - T. 66 , 2. szám (398) . - 3-14 . o .
↑ Karatsuba, A. A. A prímszámok halmazának egyik tulajdonságáról a természetes sorozat multiplikatív alapjaként // A Tudományos Akadémia jelentései: folyóirat. - 2011. - T. 439 , 2. sz . - S. 1-5 . (Orosz)
↑ AA Karatsuba, EA Karatsuba. Fizikai matematika a számelméletben // Funkcionális analízis és egyéb matematika. - 2010. - doi : 10.1007/s11853-010-0044-5 .
↑ Karatsuba AA, Karatsuba EA Az ATS alkalmazása kvantum-optikai modellben // Analysis and Mathematical Physics: Trends in Mathematics. - 2009. - S. 211-232 .
↑ Karatsuba AA, Karatsuba EA A Jaynes–Cummings-modell összeomlásának és újjáéledésének újraösszegzési képlete // J. Phys . V: Matek. Theor. : folyóirat. - 2009. - Nem. 42 . - P. 195304, 16 . - doi : 10.1088/1751-8113/42/19/195304 .
↑ Ekaterina Karatsuba . Letöltve: 2018. április 25. archiválva az eredetiből: 2018. június 8. (határozatlan)
↑ Baskirov Vlagyimir Leonidovics: Berszerk Baskirov. Első rész. . Letöltve: 2011. március 15. Az eredetiből archiválva : 2014. május 19. (határozatlan)

Linkek

Tudományos közlemények listája a MIAN honlapján (Elérés dátuma: 2009. szeptember 24.)
Tudományos érdeklődésre, oktatásra és szakmai tevékenységre vonatkozó adatok (Hozzáférés dátuma: 2009. szeptember 24.)
Arhipov G. I. , Chubarikov V. N. Anatolij Alekszejevics Karatsuba

Tematikus oldalak

Bibliográfiai katalógusokban
BIBSYS: 90293228 BNF : 124713866 GND : 1024789535 ICCU : UFIV062685 ISNI : 0000 0001 0902 4998 J9U : 987007423961405171 LCCN : n80106990 NKC : jx20061125010 NTA : 084809418 NUKAT : n98022568 SUDOC : 033903808 VIAF : 54247158 WorldCat VIAF : 54247158