Kontsevich invariáns

A Kontsevich invariáns , (vagy a Kontsevich integrál [1] ) egy bizonyos típusú orientált keretes hivatkozás invariánsa. Ez egy univerzális Vasziljev-invariáns [2] abban az értelemben, hogy a Kontsevich-invariáns minden együtthatója véges típusú invariáns , és fordítva, bármely véges típusú invariáns ábrázolható ilyen együtthatók lineáris kombinációjaként . Ez a hivatkozásszám [3] egyszerű integrálképletének messzemenő általánosítása .

Az invariánst Maxim Lvovich Kontsevich határozta meg 1992-ben a Vasziljev-Koncevics tétel bizonyítása során.

A Kontsevich-invariáns univerzális kvantuminvariáns abban az értelemben, hogy bármely kvantuminvariáns megkapható, ha megfelelő súlyrendszert helyettesítünk a Jacobi- diagramba .

Definíció

A Koncevics-invariánst úgy definiáljuk, mint a Knizhnik -Zamolodchikov kapcsolat monodrómiáját a C n -beli átlós hipersíkok uniója mellett [4] .

A legegyszerűbb Kontsevich-típusú integrál

Jelentsük meg a háromdimenziós teret egy z koordinátájú komplex egyenes és egy t koordinátájú valós egyenes szorzataként . Beágyazzuk a hivatkozást a térbe úgy, hogy a t koordináta Morse-függvény legyen L -en . Ez azt jelenti, hogy minden olyan ponton, ahol t egy paraméter függvényében a görbén nulla deriválttal rendelkezik, a második deriváltja nem tűnhet el, és t értékei minden ilyen ponton (kritikus értékek) különböznek egymástól. [5] . Kiderült, hogy az összekapcsolási szám kiszámítható a következő képlettel: $\mathbb {R} ^{3}$ $\mathbb {C}$ $\mathbb {R}$ $L=K\cup K'$ $\mathbb {R} ^{3}=z\times t$

lk(K,K')={\tfrac {1}{2\pi }}\int _{m}^{M}\sum _{j}{\varepszilon _{j}{\frac { d(z_{j}(t)-z'_{j}(t))}{z_{j}(t)-z'_{j}(t)}}}

Kontsevics képlete

A K csomó (eredeti) Kontsevich integrálja az akkorddiagramok algebra befejezésének következő eleme [5] : ${\displaystyle {\bar {\mathcal {A))))$

Z(K)=\sum _{m=0}^{\infty }{{\tfrac {1}{(2\pi i)^{m))}\int _{t_{min}< t_{1}<\lpontok <t_{m}<t_{max}}{\sum _{P=\left\{(z_{j},z'_{j})\right\}}{(- 1)^{\downarrow }D_{p}\bigwedge _{j=1}^{m}{\frac {dz_{j}-dz'_{j}}{z_{j}-z'_{j }}}}}}

A képlet magyarázatát lásd S. V. Duzhin cikkében . Ha H -val jelölünk egy triviális csomót, amelynek a térbe ágyazása két maximumot és két minimumot ad, akkor [6] :

{\displaystyle I(K)={\frac {Z(K)}{Z(K)^{c/2))))

ahol c a t függvény kritikus pontjainak száma K- n .

Megmutatható, hogy az integrál egyrészt a fent jelzett módon konvergál a térben elhelyezkedő bármely csomóra, másrészt nem változik a csomó sima izotópiáinál, amelyeknél a t függvény kritikus pontjainak száma megmarad . Mivel a csomópont zárt görbe, a kritikus pontok csak párban jelenhetnek meg és tűnhetnek el. $Z(K)$

$I(K)$ végső Kontsevich-integrálnak nevezzük

A Kontsevich-integrál meglehetősen összetett objektum, és évekig senki sem tudta kiszámítani a végső Kontsevich-integrált még egy triviális csomóra sem. Csak néhány akkorddiagram együtthatója volt ismert végtelen összegben.

1997-ben megjelent D. Bar-Nathan és munkatársai [7] sejtése (1998-ban bebizonyosodott [8] ), hogy [9]

I(O)=\exp \sum _{n=1}^{\infty }{b_{2n}w_{2n))

itt O egy nem csomó (kör) egyenértékű H-val, módosított Bernoulli-számok, és kerekek , azaz. diagramok kör alakú sugárirányú szakaszokkal. A keréktermékeket diagramok diszjunkt egységeként értelmezzük, magukat a kerekeket pedig Feynman diagramok lineáris kombinációiként értelmezzük (lásd alább). ${\displaystyle b_{2n))$ $w_{2n}$

Jacobi diagram

Feynman diagram és akkorddiagram

Az n fokú Feynman-diagram egy 2n csúcsú összefüggő háromértékű gráf , amelyben egy orientált ciklust különböztetünk meg, amelyet Wilson-huroknak neveznek [10] . Az akkorddiagram a Feynman-diagramok speciális esete (minden háromértékű csúcsuk a Wilson hurkon fekszik). A Feynman-diagram fokszáma a gráf összes csúcsszámának a fele. A Feynman-diagramot összekapcsoltnak nevezzük , ha a megfelelő gráf a Wilson-hurok elvetése után is összekapcsolt marad [3] .

Definíció

Legyen X egy kör (ami egy 1-dimenziós sokaság, és Wilson hurokként fog szolgálni ). Ahogy a jobb oldali ábrán látható, az n rendű Jacobi -diagram egy 2n csúcsú gráf, amelyben a külső kört (Wilson-hurkot) egy folytonos vonal ábrázolja, a szaggatott vonalakat pedig belső gráfnak nevezzük, ami kielégíti a következő feltételek:

Az irány csak a külső hurkon van feltüntetve.
1-es vagy 3-as értékű csúcsok. A 3-as értékű csúcsok az óramutató járásával megegyező vagy azzal ellentétes irányban kapcsolódnak a másik (fél)élhez, amint azt egy kis orientált kör ábrázolja.

Az 1 értékű csúcsokat gyakran univalensnek, a 3 értékű csúcsokat trivalensnek nevezik [11] . Az univalens csúcsok multiplicitás nélkül kapcsolódnak a külső körhöz, és a kör tájolása szerint vannak rendezve. A Jacobi diagram szétválasztható, és minden kapcsolt komponensnek legalább egy univalens csúcsa van [11] . A G éleit akkordoknak nevezzük . Jelöljük A -val ( X ) az X -en lévő összes Jacobi-diagram által alkotott kommutatív csoport hányadosterét a következő összefüggésekkel:

(AS arány) + = 0 (IHX reláció) = − (STU reláció) = − (FI arány) = 0.

Ha G bármely összefüggő komponensének van egy 3 értékű csúcsa, akkor a Jacobi-diagramot akkorddiagrammá alakíthatjuk az STU reláció rekurzív alkalmazásával. Ha az akkorddiagramokra szorítkozunk, akkor a fenti négy reláció a következő két relációra redukálódik:

(Négytagú reláció) − + − = 0. (FI arány) = 0.

Megjegyzés: Több él és akasztóhurok megengedett a Jacobi diagramokban [12] .

Tulajdonságok

A Wilson-hurok univalens csúcsokhoz való ragasztásának minden módja számtani átlagát figyelembe véve bármely Jacobi-diagram átalakítható Feynman-diagramok lineáris kombinációjává [11] .

Kényelmesebb a Jacobi-diagramokkal dolgozni, mint a Feynman-diagramokkal, mivel a csúcsok felével történő általános osztályozáson kívül két további osztályozás is létezik: az összekapcsolt komponensek száma és az univalens csúcsok száma [13]. ] .

A Jacobi-diagram fokszáma vagy sorrendje a csúcsok számának fele. Ez a szám mindig egész szám, és egyenlő a Jacobi-diagramból [12] kapott akkorddiagramban szereplő akkordok számával .
A szövésekhez hasonlóan a Jacobi-diagramok is monoidális kategóriát alkotnak . A morfizmusok összetételét és tenzorszorzatát a "box stacking" módszerrel határozzuk meg:

Más szóval, a morfizmusok tenzorszorzata diszjunkt egyesülés, a kompozíció pedig a határ megfelelő részeinek összeragasztása [14] .

- Abban a speciális esetben, amikor X az I intervalluma , A ( X ) kommutatív algebra lesz. Ha A ( S1 ) -t egy összefüggő összegként definiált szorzású algebrának tekintjük , A ( S1 ) izomorf A ( I ) -vel .
A Jacobi-diagram felfogható a Lie algebrák által generált tenzoralgebra reprezentációjának absztrakciójaként, amely lehetővé teszi néhány művelet definiálását a Hopf-algebrák koszorzataival, egységeivel és antipódusaival analóg módon .
Mivel a Vasziljev -invariánsok (véges típusú invariánsok) szorosan kapcsolódnak az akkorddiagramokhoz, az S 1 -en lévő G húrdiagramból szinguláris csomót lehet alkotni . K n az összes n fokú szinguláris csomó által alkotott teret jelöli , minden ilyen G egy egyedi elemet határoz meg K m / K m +1 - ben .

Súlyrendszer

A Jacobi-diagramokból pozitív számokra történő leképezést súlyrendszernek nevezzük . Az A ( X ) -re kiterjesztett leképezést súlyrendszernek is nevezzük. A rendszerek a következő tulajdonságokkal rendelkeznek:

Legyen g egy félig egyszerű Lie algebra és ρ a reprezentációja. Súlyrendszert úgy kapunk, hogy a g invariáns tenzort a Jacobi-diagram húrjába , a ρ -t pedig a Jacobi-diagram X bázissokaságába "helyettesítjük" .
- A Jacobi-diagramok háromértékű csúcsait tekinthetjük a Lie algebra zárójeles szorzatának, a folytonos vonal nyilait a
ρ tér reprezentációjának, az univalens csúcsokat pedig a Lie algebra műveleteinek.
Az IHX reláció és az STU reláció megfelel a Jacobi azonosságnak és a reprezentáció definíciójának

ρ ([ a , b ]) v = ρ ( a ) ρ ( b ) v − ρ ( b ) ρ ( a ) v .

A súlyrendszer lényeges szerepet játszik a Mervin-Morton-sejtés [15] bizonyításában, amely kapcsolatot létesít az Alexander -polinomok és a Jones-polinomok között .

Történelem

A Jacobi-diagramokat a Feynman-diagramokkal analóg módon vezették be, amikor Kontsevich az 1990-es évek első felében a csomóinvariánsokat többszörös integrálok formájában határozta meg [16] . Az egyes pontokat akkordként ábrázolta, ezért csak akkorddiagramokkal dolgozott. D. Bar-Nathan később egy- és háromértékű gráfokként fogalmazta meg őket, tanulmányozta algebrai tulajdonságaikat, és cikkében [17] "kínai karakterdiagramoknak" nevezte őket . Különféle kifejezéseket használtak ezekre a diagramokra, beleértve az "akkorddiagramokat" és a "Feynman-diagramokat", de körülbelül 2000 óta Jacobi-diagramoknak hívják őket, mivel az IHX-reláció megfelel a Lie algebrák Jacobi-azonosságának .

Jegyzetek

↑ Chmutov, Duzhi, 2012 .
↑ Kontsevich, 1993 , p. 137.
↑ 1 2 Duzhin, 2010 , p. 101.
↑ Duzhin, 2011 , p. 26.
↑ 1 2 Duzhin, 2010 , p. 102.
↑ Duzhin, 2010 , p. 104.
↑ Bar-Natan, Garoufalidis, Rozansky, Thurston, 2000 , p. 217-237.
↑ Bar-Natan, Le, Thurston, 2003 , p. 1-31.
↑ Duzhin, 2010 , p. 105.
↑ Duzhin, 2010 , p. 100.
↑ 1 2 3 Duzhin, 2010 , p. 107.
↑ 1 2 Chmutov, Duzhin, Mostovoy, 2012 , p. 127.
↑ Duzhin, 2010 , p. 108.
↑ román, 2013 , p. 1128–1149.
↑ Bar-Natan, Garoufalidis, 1996 , p. 103-133.
↑ Kontsevich, 1993 , p. 137-150.
↑ Bar-Natan, 1995 , p. 423-472.

Irodalom

Szergej Vasziljevics Duzhin. VASILJEV VÁLTOZÓK ELMÉLETÉNEK KOMBINATORIÓS SZEMPONTJAI. - Szentpétervár, 2011. - (dolgozat).
D. A. Rumynin. Lie algebrák szimmetrikus monoid kategóriákban // Sib. matematika. folyóirat .. - 2013. - T. 54 , sz. 5 .
S. Chmutov, S. Duzhin, J. Mostovoy. Bevezetés a Vassiliev Knot Invariants-ba (más néven CDBooK) . - Cambridge University Press, 2012. - ISBN 978-1-107-02083-2 .
D. Bar-Natan, S. Garoufalidis. A Melvin-Morton-Rozansky sejtésről // Inventiones Mathematicae. - 1996. - Kiadás. 125 .
D. Bar-Natan, S. Garoufalidis, L. Rozansky, D. Thurston. Kerekek, kerekezés és az unknot Kontsevich-integrálja // Israel Journal of Mathematics .. - 2000. - T. 119 . - arXiv : q-alg/9703025 .
D. Bar-Natan, TQT Le, D. P Thurston. Az elemi csomóelmélet két alkalmazása Lie algebrákra és Vasziljev-invariánsokra // Geometry and Topology.. - 2003. - Vol . 7(1) .
S.V. Duzhin. Vasziljev–Gusarov invariánsok // A XX. század matematikája. Kilátás Szentpétervárról / A.M. Vershik. - Moszkva: MTSNMO, 2010. - S. 87 -116. — ISBN 978-5-94057-586-3 .
Szergej Csmutov, Szergej Duzsi. Kontsevich Integral // Mathworld / Eric W. Weisstein. — Wolfram webes forrás, 2012.
D. Bar-Natan. A Vasziljev csomóinvariánsokról // Topológia. - 1995. - T. 34 . - S. 423-472 .
Maxim Koncevics. Vasziljev csomóinvariánsai // Adv. Szovjet matematika. - 1993. - T. 16 , sz. 2 . - S. 137 .
Tomotada Ohtsuki. Kvantum-invariánsok – Csomók, 3-sokalak és halmazaik tanulmányozása . - 2001. - ISBN 9789810246754 .