A Kontsevich invariáns , (vagy a Kontsevich integrál [1] ) egy bizonyos típusú orientált keretes hivatkozás invariánsa. Ez egy univerzális Vasziljev-invariáns [2] abban az értelemben, hogy a Kontsevich-invariáns minden együtthatója véges típusú invariáns , és fordítva, bármely véges típusú invariáns ábrázolható ilyen együtthatók lineáris kombinációjaként . Ez a hivatkozásszám [3] egyszerű integrálképletének messzemenő általánosítása .
Az invariánst Maxim Lvovich Kontsevich határozta meg 1992-ben a Vasziljev-Koncevics tétel bizonyítása során.
A Kontsevich-invariáns univerzális kvantuminvariáns abban az értelemben, hogy bármely kvantuminvariáns megkapható, ha megfelelő súlyrendszert helyettesítünk a Jacobi- diagramba .
A Koncevics-invariánst úgy definiáljuk, mint a Knizhnik -Zamolodchikov kapcsolat monodrómiáját a C n -beli átlós hipersíkok uniója mellett [4] .
Jelentsük meg a háromdimenziós teret egy z koordinátájú komplex egyenes és egy t koordinátájú valós egyenes szorzataként . Beágyazzuk a hivatkozást a térbe úgy, hogy a t koordináta Morse-függvény legyen L -en . Ez azt jelenti, hogy minden olyan ponton, ahol t egy paraméter függvényében a görbén nulla deriválttal rendelkezik, a második deriváltja nem tűnhet el, és t értékei minden ilyen ponton (kritikus értékek) különböznek egymástól. [5] . Kiderült, hogy az összekapcsolási szám kiszámítható a következő képlettel:
A K csomó (eredeti) Kontsevich integrálja az akkorddiagramok algebra befejezésének következő eleme [5] :
A képlet magyarázatát lásd S. V. Duzhin cikkében . Ha H -val jelölünk egy triviális csomót, amelynek a térbe ágyazása két maximumot és két minimumot ad, akkor [6] :
,ahol c a t függvény kritikus pontjainak száma K- n .
Megmutatható, hogy az integrál egyrészt a fent jelzett módon konvergál a térben elhelyezkedő bármely csomóra, másrészt nem változik a csomó sima izotópiáinál, amelyeknél a t függvény kritikus pontjainak száma megmarad . Mivel a csomópont zárt görbe, a kritikus pontok csak párban jelenhetnek meg és tűnhetnek el.
végső Kontsevich-integrálnak nevezzük
A Kontsevich-integrál meglehetősen összetett objektum, és évekig senki sem tudta kiszámítani a végső Kontsevich-integrált még egy triviális csomóra sem. Csak néhány akkorddiagram együtthatója volt ismert végtelen összegben.
1997-ben megjelent D. Bar-Nathan és munkatársai [7] sejtése (1998-ban bebizonyosodott [8] ), hogy [9]
,itt O egy nem csomó (kör) egyenértékű H-val, módosított Bernoulli-számok, és kerekek , azaz. diagramok kör alakú sugárirányú szakaszokkal. A keréktermékeket diagramok diszjunkt egységeként értelmezzük, magukat a kerekeket pedig Feynman diagramok lineáris kombinációiként értelmezzük (lásd alább).
Az n fokú Feynman-diagram egy 2n csúcsú összefüggő háromértékű gráf , amelyben egy orientált ciklust különböztetünk meg, amelyet Wilson-huroknak neveznek [10] . Az akkorddiagram a Feynman-diagramok speciális esete (minden háromértékű csúcsuk a Wilson hurkon fekszik). A Feynman-diagram fokszáma a gráf összes csúcsszámának a fele. A Feynman-diagramot összekapcsoltnak nevezzük , ha a megfelelő gráf a Wilson-hurok elvetése után is összekapcsolt marad [3] .
Legyen X egy kör (ami egy 1-dimenziós sokaság, és Wilson hurokként fog szolgálni ). Ahogy a jobb oldali ábrán látható, az n rendű Jacobi -diagram egy 2n csúcsú gráf, amelyben a külső kört (Wilson-hurkot) egy folytonos vonal ábrázolja, a szaggatott vonalakat pedig belső gráfnak nevezzük, ami kielégíti a következő feltételek:
Az 1 értékű csúcsokat gyakran univalensnek, a 3 értékű csúcsokat trivalensnek nevezik [11] . Az univalens csúcsok multiplicitás nélkül kapcsolódnak a külső körhöz, és a kör tájolása szerint vannak rendezve. A Jacobi diagram szétválasztható, és minden kapcsolt komponensnek legalább egy univalens csúcsa van [11] . A G éleit akkordoknak nevezzük . Jelöljük A -val ( X ) az X -en lévő összes Jacobi-diagram által alkotott kommutatív csoport hányadosterét a következő összefüggésekkel:
(AS arány) + = 0 (IHX reláció) = − (STU reláció) = − (FI arány) = 0.Ha G bármely összefüggő komponensének van egy 3 értékű csúcsa, akkor a Jacobi-diagramot akkorddiagrammá alakíthatjuk az STU reláció rekurzív alkalmazásával. Ha az akkorddiagramokra szorítkozunk, akkor a fenti négy reláció a következő két relációra redukálódik:
(Négytagú reláció) − + − = 0. (FI arány) = 0.Megjegyzés: Több él és akasztóhurok megengedett a Jacobi diagramokban [12] .
A Wilson-hurok univalens csúcsokhoz való ragasztásának minden módja számtani átlagát figyelembe véve bármely Jacobi-diagram átalakítható Feynman-diagramok lineáris kombinációjává [11] .
Kényelmesebb a Jacobi-diagramokkal dolgozni, mint a Feynman-diagramokkal, mivel a csúcsok felével történő általános osztályozáson kívül két további osztályozás is létezik: az összekapcsolt komponensek száma és az univalens csúcsok száma [13]. ] .
Más szóval, a morfizmusok tenzorszorzata diszjunkt egyesülés, a kompozíció pedig a határ megfelelő részeinek összeragasztása [14] .
A Jacobi-diagramokból pozitív számokra történő leképezést súlyrendszernek nevezzük . Az A ( X ) -re kiterjesztett leképezést súlyrendszernek is nevezzük. A rendszerek a következő tulajdonságokkal rendelkeznek:
A Jacobi-diagramokat a Feynman-diagramokkal analóg módon vezették be, amikor Kontsevich az 1990-es évek első felében a csomóinvariánsokat többszörös integrálok formájában határozta meg [16] . Az egyes pontokat akkordként ábrázolta, ezért csak akkorddiagramokkal dolgozott. D. Bar-Nathan később egy- és háromértékű gráfokként fogalmazta meg őket, tanulmányozta algebrai tulajdonságaikat, és cikkében [17] "kínai karakterdiagramoknak" nevezte őket . Különféle kifejezéseket használtak ezekre a diagramokra, beleértve az "akkorddiagramokat" és a "Feynman-diagramokat", de körülbelül 2000 óta Jacobi-diagramoknak hívják őket, mivel az IHX-reláció megfelel a Lie algebrák Jacobi-azonosságának .