Napóleon feladata

A Napóleon-probléma  a híres iránytűépítési probléma . Ebben a feladatban egy kör és középpontja adott. A probléma az, hogy a kört négy egyenlő ívre kell osztani egy iránytű segítségével . Napóleon híres matematikus volt, de nem tudni, hogy ő találta ki vagy oldotta meg ezt a problémát. Napóleon barátja, az olasz matematikus , Lorenzo Mascheroni korlátozást állított fel arra, hogy a geometriai konstrukciókban csak az iránytűt (vonalzót nem használva) használjunk. Valójában azonban a fenti probléma egyszerűbb, mint az igazi napóleoni probléma , amely szerint a kör középpontját csak egy iránytű segítségével kell megtalálni. Az alábbiakban mindkét probléma megoldását és a bizonyítékokat közöljük.

Georg Mohr 1672-ben megjelent „Euklides Danicus” című könyve előrevetítette Mascheroni ötletét, de csak 1928-ban fedezték fel.

Adott kör középpontjának megkeresése

Épület

Legyen adott egy C kör , melynek középpontját meg kell találni. Vegyük fel a C bármely A pontját .

A C 1 középpontú kör (bármilyen sugarú, lásd lentebb) metszi a C -t a B és B' pontokban .

Két B és B' középpontú , AB sugarú C 2 kör metszi egymást a C pontban .

A C 3 kör középpontjával a C pontban és AC sugárral metszi a C 1 -et a D és D' pontokban .

Két C 4 kör , amelyek középpontja a D és D' pontokban van és azonos AD sugarú, metszi egymást az A és O pontokban , a C kör kívánt középpontjában .

Megjegyzés: A szerkezet működéséhez a C 1 kör sugara nem lehet sem túl kicsi, sem túl nagy. Pontosabban, ennek a sugárnak valahol a C kör sugarának fele és az átmérője között kell lennie. Ha a sugár nagyobb, mint a C átmérő , akkor C 1 nem metszi C -t . Ha a C 1 sugár kisebb, mint a C kör sugarának fele , akkor a C pont A és O között lesz, és C 3 nem metszi C -t .

Bizonyítás

A konstrukció lényege, hogy a b²/a hosszt egy iránytűvel találjuk meg, ha a és b hossza ismert, és ugyanakkor a/2 ≤ b ≤ 2a.

A jobb oldali ábrán egy a sugarú kört rajzolunk , amelynek középpontja az O pontban van . Kijelölünk rajta egy A pontot, és a B és B' pontokat ábrázoljuk , amelyek A -tól b távolságra helyezkednek el . Az A' pont A -val szemben található , de nem szükséges megépíteni (itt egy vonalzóra lenne szükség). Hasonlóképpen jelöljünk egy (képzetes) H pontot az AA' és BB' metszéspontjában . B sugarú körök rajzolásával a C pontot megtalálhatjuk B -ből és B' -ből .

Az ABA' háromszögnek derékszöge van a B pontban, a BH szakasz pedig merőleges az AA'- ra , tehát:

Hol kapjuk és .

A fenti buildben ez a konfiguráció kétszer fordul elő:

Tehát O a C kör középpontja.

Adott kör felosztása négy egyenlő ívre

Rajzoljunk egy ívet, amelynek középpontja tetszőleges X pontja van az O középponton átmenő C körön , amely a C -t a V és Y pontokban metszi . Tegyük ugyanezt az Y ponttal , megkapjuk a C kör metszéspontjait az X és Z pontokban . Figyeljük meg, hogy az OV, OX, OY, OZ, VX, XY és YZ szakaszok hossza azonos, megegyezik a C kör sugarával .

Rajzoljunk most egy V középpontú ívet , amely átmegy Y -n, és egy Z középpontú ívet, amely átmegy X -en, és ezeknek az íveknek a metszéspontját jelöljük T -vel. Vegyük észre, hogy a VY és XZ távolságok megegyeznek a C kör sugarával .

Rajzoljunk egy OT sugarú ívet ( C kör sugara ) és középpontja a Z pontban lesz, a C kört az U és W pontokban metszi . Az UVWZ egy négyzet, ezért a C kör ívei UV, VW, WZ és ZU egyenlőek egymással, és a C kör negyedei .

Lásd még

Irodalom