Az irracionalitás bizonyítéka e

Az e számot Jacob Bernoulli fedezte fel 1683-ban. Több mint fél évszázaddal később Euler , aki Jakob öccsének, Johannnak a tanítványa volt , bebizonyította, hogy e irracionális , vagyis nem fejezhető ki két egész szám arányával.

Euler bizonyítása

Euler 1737-ben bizonyította először e irracionalitását, magát a bizonyítékot hét évvel később publikálták [1] [2] [3] . Megtalálta az e egy folyamatos tört reprezentációját

e=[2;1,2,1,1,4,1,1,6,1,1,8,1,1,\ldots ,2n,1,1,\ldots ].

Mivel ez a folytonos tört végtelen, és a racionális számok folyamatos törtrésze véges, akkor e irracionális. A fenti egyenlőség rövid bizonyítékait találtuk [4] [5] . Mivel az e folytonos tört nem periodikus , ez azt bizonyítja, hogy e nem lehet racionális együtthatós másodfokú polinom gyöke, ami azt jelenti, hogy e 2 is irracionális.

Fourier-bizonyítás

A leghíresebb bizonyítás a Fourier -bizonyítás , amely ellentmondásból [6] épül fel, és e végtelen sorozattal való ábrázolásán alapul.

e=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {1}{n!)}}\cdot

Tegyük fel , hogy e egy a/b alakú racionális szám , ahol a és b egész számok. A b szám nem lehet egyenlő 1-gyel, mert e nem egész szám. A fenti végtelen sorozatból kimutatható, hogy e szigorúan 2 és 3 között van:

2=1+{\tfrac {1}{1!}}<e=1+{\tfrac {1}{1!}}+{\tfrac {1}{2!)}}+{\ tfrac {1}{3!}}+\cdots <1+\left(1+{\tfrac {1}{2}}+{\tfrac {1}{2^{2}}}+{\tfrac { 1 }{2^{3}}}+\cdots \right)=3.

Határozzuk meg a számot

x=b!\left(e-\sum _{n=0}^{b}{\frac {1}{n!)}}\jobbra).

Mutassuk meg, hogy x egész szám. Ehhez helyettesítse e =abebbe az egyenlőségbe

x=b!\left({\frac {a}{b}}-\sum _{n=0}^{b}{\frac {1}{n!)}}\right)=a ( b-1)!-\sum _{n=0}^{b}{\frac {b!}{n!}}.

Az első tag egy egész szám, és az összegben minden tört is egész szám, mivel n ≤ b minden, az összegjel alatti számra. Ezért x egész szám.

Most bizonyítsuk be, hogy 0 < x < 1 . Annak bizonyítására, hogy x > 0 , behelyettesítjük e soros ábrázolását x definíciójába

x=b!\left(\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {1}{n!)}}-\sum _{n=0}^{b}{\ frac {1}{n!}}\right)=\sum _{n=b+1}^{\infty }{\frac {b!}{n!)}}>0,

mivel az összegben szereplő összes tag szigorúan pozitív.

Most bizonyítsuk be, hogy x < 1. Minden n ≥ b + 1 tagra megvan a felső becslés

{\frac {b!}{n!}}={\frac {1}{(b+1)(b+2)\cdots (b+(nb))))\leq {\frac {1 }{(b+1)^{nb}}}.

Ez az egyenlőtlenség szigorú bármely n ≥ b + 2 esetén. Ha az összegzési indexet k = n – b -re változtatjuk , és a végtelen geometriai sorozat képletét használjuk , megkapjuk

x=\sum _{n=b+1}^{\infty }{\frac {b!}{n!)}}<\sum _{n=b+1}^{\infty }{ \ frac {1}{(b+1)^{nb}}}=\sum _{k=1}^{\infty }{\frac {1}{(b+1)^{k}}}= { \frac {1}{b+1}}\left({\frac {1}{1-{\frac {1}{b+1))))\right)={\frac {1}{b } }<1.

Mivel nincs x egész szám szigorúan 0 és 1 között, ezért ellentmondáshoz jutottunk, ezért e - nek irracionálisnak kell lennie. QED

Egyéb bizonyítékok

Fourier bizonyításából egy másik bizonyítást nyerhetünk [7] , ha megjegyezzük, hogy

(b+1)x=1+{\frac {1}{b+2}}+{\frac {1}{(b+2)(b+3)))+\cdots <1+ {\frac {1}{b+1}}+{\frac {1}{(b+1)(b+2)))+\cdots =1+x,

ami egyenértékű azzal, hogy bx < 1. Természetesen ez lehetetlen, mivel b és x természetes számok.

Egy másik bizonyíték [8] [9] nyerhető az egyenlőségből

{\frac {1}{e}}=e^{-1}=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {(-1)^{n}}{n! }}\cdot

Határozzuk meg így: $s_{n}$

s_{n}=\sum _{k=0}^{n}{\frac {(-1)^{k}}{k!}}.

Akkor

e^{-1}-s_{2n-1}=\sum _{k=0}^{\infty }{\frac {(-1)^{k}}{k!)}}- \ sum _{k=0}^{2n-1}{\frac {(-1)^{k}}{k!}}<{\frac {1}{(2n)!}},

honnan következik

0<(2n-1)!\left(e^{-1}-s_{2n-1}\right)<{\frac {1}{2n))\leq {\frac {1}{ 2}}

bármely egészhez $n\geq 2.$

Vegye figyelembe, hogy ez mindig egész szám. Tételezzük fel, hogy egy racionális alak , ahol a koprímszámok és kiválasztható úgy , hogy egész szám legyen, például, ha a Forma ilyen különbsége és között egy egész szám lesz. De a fenti egyenlőtlenség miatt ennek az egésznek 1/2-nél kisebbnek kell lennie, ami lehetetlen. Ellentmondás keletkezik, ezért irracionális, és így irracionális is. $(2n-1)!s_{2n-1}$ ${\displaystyle e^{-1))$ $e^{-1}={\tfrac {p}{q))$ $p,q$ $q\neq 0.$ $n$ ${\displaystyle (2n-1)!e^{-1))$ $n\geq {\tfrac {q+1}{2)).$ $n$ ${\displaystyle (2n-1)!e^{-1))$ $(2n-1)!s_{2n-1}$ ${\displaystyle e^{-1))$ $e$

Általánosítások

Liouville 1840-ben publikált egy bizonyítékot e 2 irracionalitására [10] , ami abból a bizonyításból következett, hogy e 2 nem lehet racionális együtthatós másodfokú polinom gyöke [11] . Ebből következik, hogy e 4 is irracionális. Liouville bizonyítása hasonló Fourier bizonyításához. 1891-ben Hurwitz hasonló ötleteket használva megállapította, hogy e nem lehet racionális együtthatókkal rendelkező harmadfokú polinom gyöke [12] , és különösen, hogy e 3 irracionális.

Általánosabban fogalmazva, e q irracionális bármely nem nulla racionális q esetén [13] .

Lásd még

Az exponenciális függvény jellemzői
transzcendentális szám
Lindemann-Weierstrass tétel

Jegyzetek

↑ Euler, Leonhard (1744). „De fractionibus continuis dissertatio” [Értekezés a folytatásos frakciókról] (PDF) . Commentarii academiae scientiarum Petropolitanae . 9 , 98-137. Archivált (PDF) az eredetiből ekkor: 2011-05-20 . Letöltve: 2021-02-14 . Elavult használt paraméter |deadlink=( súgó )
↑ Euler, Leonhard (1985). „Eszszé a tört folytatásáról” . Matematikai rendszerelmélet . 18 , 295-398. doi : 10.1007/ bf01699475 . HDL : 1811/32133 . Archiválva az eredetiből, ekkor: 2017-09-10 . Letöltve: 2021-02-14 . Elavult használt paraméter |deadlink=( súgó )
↑ Sandifer, C. Edward. 32. fejezet: Ki bizonyította be , hogy e irracionális? // Hogyan csinálta Euler. - Mathematical Association of America , 2007. - P. 185-190. - ISBN 978-0-88385-563-8 .
↑ Rövid bizonyíték az e egyszerű folyamatos törtbővítéséről . Letöltve: 2021. február 14. Az eredetiből archiválva : 2021. január 25. (határozatlan)
↑ Cohn, Henry (2006). „Egyszerű, folyamatos tört-növekedés rövid bizonyítéka ” . Amerikai Matematikai Havilap . Amerika Matematikai Szövetsége . 113 (1): 57-62. arXiv : math/0601660 . DOI : 10.2307/27641837 . JSTOR 27641837 .
↑ de Stainville, Janot. Melanges d'Analysis Algebrique et de Géométrie. - Veuve Courcier, 1815. - P. 340-341.
↑ MacDivitt, ARG & Yanagisawa, Yukio (1987), Egy elemi bizonyíték arra, hogy e irracionális , The Mathematical Gazette (London: Mathematical Association ). — T. 71 (457): 217 , DOI 10.2307/3616765
↑ Penesi, LL (1953). „Elemi bizonyíték arra, hogy e irracionális”. Amerikai Matematikai Havilap . Amerika Matematikai Szövetsége . 60 (7): 474. doi : 10.2307/ 2308411 . JSTOR 2308411 .
↑ Apostol, T. (1974). Matematikai elemzés (2. kiadás, Addison-Wesley sorozat a matematikában). Reading, Mass.: Addison-Wesley.
↑ Liouville, Joseph (1840). „Sur l'irrationalité du nombre e = 2,718…”. Journal de Mathematiques Pures et Appliques . 1 [ fr. ]. 5 :192.
↑ Liouville, Joseph (1840). "Addition à la note sur l'irrationnalité du nombre e ". Journal de Mathematiques Pures et Appliques . 1 [ fr. ]. 5 , 193-194.
↑ Hurwitz, Adolf. Über die Kettenbruchentwicklung der Zahl e // Mathematische Werke: [ német. ] . - Bázel: Birkhäuser , 1933. - 1. évf. 2. - P. 129-133.
↑ Aigner, Martin és Ziegler, Günter M. (1998),Proofs from THE BOOK (4. kiadás), Berlin, New York: Springer-Verlag , p. 27–36., ISBN 978-3-642-00855-9 , DOI 10.1007/978-3-642-00856-6 .