Kettős fénytörés

A kettős törés vagy kettős törés az anizotróp anyagok optikai tulajdonsága , amelyben a törésmutató a fény terjedésének irányától függ. Az ilyen anyagoknál megfigyelhető a fénynyaláb két komponensre osztásának hatása, amikor az anyagba kerülve nem egy, hanem két különböző irányú és polarizációjú megtört nyaláb jön létre. Rasmus Bartholin dán tudós fedezte fel először 1669 - ben egy izlandi szár kristályán .

Leírás

Egytengelyű anyagok

A kettős törés legegyszerűbb típusa az egytengelyű anyagokban látható . Leggyakrabban olyan kristályokról van szó, amelyek rácsja aszimmetrikus, azaz megnyúlik vagy bármilyen irányban összenyomódik . Ebben az esetben az ezen irány (optikai tengely) körüli forgás nem változtatja meg a kristály optikai tulajdonságait. A fényhullám viselkedése ilyen közegben a fény terjedési irányától és polarizációjától függ. A közönséges hullám az, amely az optikai tengelyre és a terjedési irányra merőlegesen polarizált, és a rendkívüli hullám polarizációja merőleges egy közönséges hulláméra. Három fő esetet különböztethetünk meg:

1) A fény az optikai tengely mentén terjed (ebben az esetben a polarizáció merőleges lesz az optikai tengelyre), ekkor a törésmutató minden polarizációnál azonos lesz, és a kristály ebben az esetben nem különbözik az izotróp közegtől, és nincs különbség a közönséges és a rendkívüli hullámok között.

2) A fény az optikai tengelyre merőlegesen terjed. Ezután a polarizáció két vetületre bontható - párhuzamosan az optikai tengellyel és merőlegesen. Az effektív törésmutató két merőleges polarizáció esetén eltérő lesz, és egy anyagrétegen (lemezen) áthaladva fáziseltolódás figyelhető meg a két komponens között. Ha a kezdeti polarizáció lineáris, és vagy teljesen az optikai tengely mentén, vagy teljesen merőlegesen van orientálva, akkor nem változik a lemezből való kilépésnél. Ha azonban a fény kezdetben az optikai tengellyel szögben polarizálódik, vagy a polarizáció ellipszis vagy kör alakú, akkor egy egytengelyű kristály lemezén áthaladva a polarizáció megváltozhat a komponensek közötti fáziseltolódás miatt. Az eltolódás a lemez vastagságától, a törésmutatók különbségétől és a fény hullámhosszától függ.

Legyen a polarizáció és az optikai tengely közötti szög . Ha a lemez vastagsága olyan, hogy a kilépésnél az egyik polarizáció negyed hullámmal (negyed periódussal) van a másik mögött, akkor az eredeti lineáris polarizáció kör alakúvá változik (az ilyen lemezt negyednek nevezik -hullám) ha az egyik sugár fázisa a hullámhossz felével elmarad a másik sugár fázisától, akkor a fény lineárisan polarizált marad, de a polarizációs sík egy bizonyos szögben elfordul, melynek értéke a szögtől függ. a beeső sugár polarizációs síkja és a fő optikai tengely síkja között (az ilyen lemezt félhullámnak nevezzük). $45^{o}$

3) A fény az optikai tengelyhez képest tetszőleges irányban terjed. Ekkor nem egy megtört nyaláb lesz megfigyelhető, hanem két különböző polarizációjú nyaláb. A megtört sugarak irányai grafikusan megtalálhatók.

A folyamat matematikai leírása meglehetősen nehézkes, de az eredmény egyértelműen szemléltethető olyan konstrukciók segítségével, amelyek a kristály diffrakciójának szemléltetésére emlékeztetnek az Ewald-konstrukcióval .

Hagyja, hogy egy hullám lehulljon a levegőből egy egytengelyű kristály felületére. Utasítások a hullám- és sugárvektorok irányának megtalálásához közönséges és rendkívüli hullámokhoz egytengelyű kristály esetén (lásd az ábrát, az egyszerűség kedvéért az optikai tengely a beesési síkban van). :

1. Rajzolja meg vízszintesen a kristály felületét!

2. Rajzolj a levegőbe egy olyan félgömböt, amelynek sugara egyenértékű és középpontja a kristály felületén fekszik.

2. Rajzoljunk a közegbe egy félgömböt, amelynek középpontja és sugara megegyezik a törésmutatóval . ${\megjelenítési stílus n_{o))$

3. Rajzoljunk a közegbe egy azonos középpontú ellipszoidot, melynek nagy féltengelye a kristály optikai tengelye mentén orientálódik és egyenlő , a melléktengely pedig . ${\megjelenítési stílus n_{o))$ $n_{e}$

4. Szerkessze meg a beeső és visszavert sugarakat úgy, hogy a beeső vége és a visszavert eleje a gömbök középpontjában legyen!

5. Rajzoljon egy függőleges vonalat, amely átmegy a visszavert nyaláb és a gömb metszéspontján.

6. Határozza meg az egyenes metszéspontjait a gömbbel és az ellipszoiddal az anyagban!

7. Rajzolja meg a közönséges és a rendkívüli hullámok hullámvektorainak irányait a középponttól a metszéspontokig! A törésmutatók megfelelnek ezeknek a vektoroknak a hosszának.

8. Közönséges hullám esetén: az E vektornak merőlegesnek kell lennie az optikai tengelyre és a k , k || s .

9. Rendkívüli hullám esetén: Az s sugárvektornak a metszéspontban merőlegesnek kell lennie az ellipszoidra. A rendkívüli sugár nem lehet a beesési síkban. Az E rendkívüli hullám polarizációja merőleges az s sugárvektorra és a közönséges hullám polarizációjára. A D vektor merőleges a k hullámvektorra . A rendkívüli hullám D , E , s és k vektorainak ugyanabban a síkban kell feküdniük [1] .

Biaxiális anyagok

Az ilyen kristályokban a törésmutatók a derékszögű koordinátarendszer mindhárom tengelye mentén eltérőek. A hullámvektorok felülete összetett alakú, de mégis van két megkülönböztethető irány, amelyeket optikai tengelyeknek nevezhetünk, mivel az optikai tengelyek mentén terjedő k -vektornak csak egy iránya van. Ebben az esetben ez az irány végtelen számú sugárvektornak felel meg, amelyek kitöltik a kúpos felületet, és kúpos törés figyelhető meg . Az optikai tengelyekkel nem egybeeső irányok mentén történő terjedéskor kettős törés figyelhető meg, de ebben az esetben leggyakrabban mindkét nyaláb rendkívüli (a hullám és a sugárvektor iránya nem esik egybe).

Kettős törés figyelhető meg nemcsak kristályokban, hanem bármilyen aszimmetrikus szerkezetű anyagban, például műanyagban is.

A jelenség természete

Minőségileg a jelenség a következőképpen magyarázható. Az anyagi közegre vonatkozó Maxwell-egyenletekből az következik, hogy a fény fázissebessége egy közegben fordítottan arányos a közeg ε dielektromos állandójával . Egyes kristályokban a permittivitás - egy tenzormennyiség - függ az elektromos vektor irányától, vagyis a hullám polarizációs állapotától , ezért a hullám fázissebessége a polarizációjától függ.

A klasszikus fényelmélet szerint a hatás létrejötte abból adódik, hogy a váltakozó elektromágneses fénytér hatására az anyag elektronjai oszcillálnak, és ezek a rezgések befolyásolják a fény terjedését a közegben, illetve egyes anyagokban. könnyebb az elektronokat bizonyos irányokba oszcillálni.

Képletek származtatása

Izotróp közegben (beleértve a szabad teret is) az elektromos indukció ( D ) egyszerűen arányos az elektromos térrel ( E ) D = ɛ E szerint, ahol az ε permittivitás csak egy skalár (és egyenlő n 2 ε 0 -val, ahol n a törésmutató ). Anizotróp anyagokban azonban a D és E közötti kapcsolatot a tenzoregyenlettel kell leírni :

\mathbf {D} ={\boldsymbol {\varepsilon }}\mathbf {E}

(egy)

ahol ε most egy 3 × 3 mátrix Tegyük fel, hogy a közeg lineáris és a mágneses permeabilitás μ = μ 0 . Írjuk fel egy ω frekvenciájú síkhullám elektromos terét a következő formában:

{\displaystyle \mathbf {E} =\mathbf {E} _{0}e^{i(\mathbf {k} \cdot \mathbf {r} -\omega t)))

(2)

ahol r a sugárvektor, t az idő, E 0 az elektromos teret leíró vektor r = 0 , t = 0 esetén . Keressük meg az összes lehetséges k hullámvektort . A ∇ × E és ∇ × H Maxwell-egyenleteinek kombinálása és a H = kizárása egyμ0 _B , ezt kapjuk:

-\nabla \times \nabla \times \mathbf {E} =\mu _{0}{\frac {\partial ^{2}}{\partial t^{2}}}\mathbf {D}

(3a)

Emlékezzünk arra is, hogy ingyenes díjak hiányában a D eltérés eltűnik:

\nabla \cdot \mathbf {D} =0

(3b)

Alkalmazzuk a ∇ × (∇ × A ) = ∇(∇ ⋅ A ) − ∇ 2 A összefüggést 3a bal oldalára , és használjuk ki azt a tényt, hogy a mező síkhullám, ami azt jelenti, hogy x (például) ik x -el való szorzáshoz vezet :

-\nabla \times \nabla \times \mathbf {E} =(\mathbf {k} \cdot \mathbf {E} )\mathbf {k} -(\mathbf {k} \cdot \mathbf {k } )\mathbf {E}

A 3a jobb oldala kifejezhető E -vel az ε tenzorral , és az idő deriváltjai egyszerűen −iω szorzást eredményeznek , majd 3a :

(-\mathbf {k} \cdot \mathbf {k} )\mathbf {E} +(\mathbf {k} \cdot \mathbf {E} )\mathbf {k} =-\mu _{0 }\omega ^{2}({\boldsymbol {\varepszilon }}\mathbf {E} )

(4a)

A 3b -re differenciálást alkalmazva a következőket kapjuk:

\mathbf {k} \cdot \mathbf {D} =0

(4b)

A 4b egyenlet azt jelenti, hogy D merőleges a k hullámvektor irányára , míg ez már nem igaz az E vektorra , mint izotróp közegben. A 4b egyenletet a továbbiakban nem használjuk.

A k vektor érvényes értékeit egy adott ω -re a legkönnyebb megtalálni egy derékszögű koordináta-rendszerben , amelyben az x , y és z tengelyek párhuzamosak a kristály szimmetriatengelyeivel (vagy egyszerűen a z tengelyt választva az optikai tengely mentén egytengelyű kristály tengelye). Ekkor az ε tenzor mátrixa átlós lesz:

\mathbf {\varepsilon } =\varepsilon _{0}{\begin{bmatrix}n_{x}^{2}&0&0\\0&n_{y}^{2}&0\\0&0&n_{z}^{ 2}\end{bmátrix}}

(4c)

az átlón az x , y és z tengelyek mentén történő polarizáció törésmutatójának négyzete található . Ebben az alakban ε -t, c 2 = alakban a c fénysebességet helyettesítveegyμ 0 ε 0, A 4a vektoregyenlet x -tengelyre vetítését a következőképpen írjuk fel

\left(-k_{x}^{2}-k_{y}^{2}-k_{z}^{2}\right)E_{x}+k_{x}^{2}E_ {x}+k_{x}k_{y}E_{y}+k_{x}k_{z}E_{z}=-{\frac {\omega ^{2}n_{x}^{2)) {c^{2}}}E_{x}

(5a)

ahol E x , E y , E z az E vektor komponensei, k x , k y , k z pedig a k hullámvektor komponensei . Írjuk fel az egyenleteket mindhárom vetületre eq. 4a :

\left(-k_{y}^{2}-k_{z}^{2}+{\frac {\omega ^{2}n_{x}^{2}}{c^{2} }}\jobbra)E_{x}+k_{x}k_{y}E_{y}+k_{x}k_{z}E_{z}=0

(5b)

k_{x}k_{y}E_{x}+\left(-k_{x}^{2}-k_{z}^{2}+{\frac {\omega ^{2}n_{ y}^{2}}{c^{2}}}\right)E_{y}+k_{y}k_{z}E_{z}=0

(5c)

k_{x}k_{z}E_{x}+k_{y}k_{z}E_{y}+\left(-k_{x}^{2}-k_{y}^{2} +{\frac {\omega ^{2}n_{z}^{2}}{c^{2}}}\right)E_{z}=0

(5d)

Ez egy E x , E y , E z lineáris egyenletrendszer , amelynek csak akkor van nem triviális megoldása (azaz E = 0 ), ha a következő mátrix determinánsa nulla:

{\begin{vmatrix}\left(-k_{y}^{2}-k_{z}^{2}+{\frac {\omega ^{2}n_{x}^{2)) {c^{2}}}\jobbra)&k_{x}k_{y}&k_{x}k_{z}\\k_{x}k_{y}&\left(-k_{x}^{2} -k_{z}^{2}+{\frac {\omega ^{2}n_{y}^{2}}{c^{2}}}\right)&k_{y}k_{z}\\ k_{x}k_{z}&k_{y}k_{z}&\left(-k_{x}^{2}-k_{y}^{2}+{\frac {\omega ^{2}n_ {z}^{2}}{c^{2}}}\right)\end{vmatrix}}=0

(6)

A 6 determináns kiszámításával megkapjuk

{\frac {\omega ^{4}}{c^{4}}}-{\frac {\omega ^{2}}{c^{2}}}\left({\frac {k_ {x}^{2}+k_{y}^{2}}{n_{z}^{2}}}+{\frac {k_{x}^{2}+k_{z}^{2} }{n_{y}^{2}}}+{\frac {k_{y}^{2}+k_{z}^{2}}{n_{x}^{2}}}\jobbra)+ \left({\frac {k_{x}^{2}}{n_{y}^{2}n_{z}^{2}}}+{\frac {k_{y}^{2}}{ n_{x}^{2}n_{z}^{2}}}+{\frac {k_{z}^{2}}{n_{x}^{2}n_{y}^{2}} }\right)\left(k_{x}^{2}+k_{y}^{2}+k_{z}^{2}\right)=0

(7)

A 7 -es egyenletet Fresnel-egyenletnek is nevezik.

Egytengelyű kristály

Ebben az esetben egytengelyű anyag esetén (az ε mátrix két átlós eleme egyenlő egymással), és a koordinátarendszert úgy választva, hogy az optikai tengely z mentén irányuljon , n x = n y = n . o és n z = n e , a kifejezés ra redukálódik

\left({\frac {k_{x}^{2}}{n_{\mathrm {o} }^{2}}}+{\frac {k_{y}^{2}}{n_ {\mathrm {o} }^{2}}}+{\frac {k_{z}^{2}}{n_{\mathrm {o} }^{2}}}-{\frac {\omega ^ {2}}{c^{2}}}\jobbra)\left({\frac {k_{x}^{2}}{n_{\mathrm {e} }^{2}}}+{\frac {k_{y}^{2}}{n_{\mathrm {e} }^{2}}}+{\frac {k_{z}^{2}}{n_{\mathrm {o} }^{ 2))}-{\frac {\omega ^{2}}{c^{2}}}\right)=0

(nyolc)

Ahhoz, hogy a 8. egyenlet teljesüljön, az egyik tényezőnek nullának kell lennie. Figyeljük meg, hogy az első egy gömb egyenletének, a második pedig egy ellipszoid felületének felel meg a k hullámvektorok terében adott ω esetén . Az első tényező egy közönséges hullám megoldásának felel meg, ahol a törésmutató iránytól függetlenül egyenlő n o -val, a második pedig egy rendkívüli. A második tényező egy rendkívüli hullám megoldásának felel meg, ahol az effektív törésmutató n o és n e között változik k irányától függően . A hullámterjedés tetszőleges irányához két k vektor lehetséges , amelyek két különböző polarizációnak felelnek meg.

Egy közönséges hullám esetén a D és E vektorok egybeesnek, valamint a k hullámvektor iránya és az s sugárvektor iránya a geometriai optikában (amelynek iránya megegyezik a csoportsebességvektorral ). Egy rendkívüli hullám esetében ez általában nem így van. Tekintsük az egytengelyű kristály egyenletét $\mathbf {v} _{gr}=\nabla _{\mathbf {k} }\omega$

F(k_{x},k_{y},k_{z})={\frac {k_{x}^{2}}{n_{\mathrm {e} }^{2}}}+ {\frac {k_{y}^{2}}{n_{\mathrm {e} }^{2}}}+{\frac {k_{z}^{2}}{n_{\mathrm {o} }^{2}}}-{\frac {\omega ^{2}}{c^{2}}}=0

(9)

Hasonlítsuk össze a csoportsebesség egyenletét az implicit módon megadott felület normálegyenletével. Mivel az egyenletek egy állandóig egybeesnek, a sugárvektor merőleges a vizsgált ellipszoidra. $\mathbf {v} _{gr}=\nabla _{\mathbf {k} }\omega$

Biaxiális kristály

Ahhoz, hogy megértsük, hogyan néz ki a felület, amikor az ε mátrix összes átlós eleme különbözik (legyen ), a k vektor egyik összetevőjét nullával ( ) tesszük egyenlővé, és átírjuk a 7 egyenletet . ${\displaystyle n_{z}>n_{y}>n_{x))$ $k_{z}=0$

{\frac {\omega ^{4}}{c^{4}}}-{\frac {\omega ^{2}}{c^{2}}}\left({\frac {k_ {x}^{2}+k_{y}^{2}}{n_{z}^{2}}}+{\frac {k_{x}^{2}}{n_{y}^{2 ))}+{\frac {k_{y}^{2}}{n_{x}^{2}}}\jobbra)+\bal({\frac {k_{x}^{2}}{n_ {y}^{2}}}+{\frac {k_{y}^{2}}{n_{x}^{2}}}\jobbra){\frac {k_{x}^{2}+ k_{y}^{2}}{n_{z}^{2}}}=0

(tíz)

Kiszámítható:

\left({\frac {\omega ^{2}}{c^{2}}}-{\frac {k_{x}^{2}}{n_{y}^{2}}} -{\frac {k_{y}^{2}}{n_{x}^{2}}}\jobbra)\left({\frac {\omega ^{2}}{c^{2}}} -{\frac {k_{x}^{2}+k_{y}^{2}}{n_{z}^{2}}}\right)=0

(tizenegy)

Az első tényező egy ellipszis, a második pedig egy kör. Mindhárom síkra hasonló bővítés végezhető . Az ábrán három koordinátasík felületmetszete látható egy oktánsban, a többiben szimmetrikus a kép. A felületnek 4 szinguláris pontja (önmetszéspontja) van, esetünkben az xz síkban fekszenek . Két tengely halad át ezeken a pontokon , amelyeket egy biaxiális kristály optikai tengelyeinek (vagy binormálisainak ) nevezünk. Csak ezekben az irányokban lehet a hullámvektor egyedi értéke. A felület egy szinguláris pontjában azonban a normál iránya határozatlan, és a sugárvektor kitölthet egy kúpos felületet (belső kúptörés kúpja ) $k_{i}=0$ $\beta$

Mesterséges kettős törés

A kettős törést a kettős törésű kristályok mellett elektromos térben elhelyezett izotróp közegekben ( Kerr-effektus ), mágneses térben ( Faraday -effektus és Cotton-Mouton-effektus ), mechanikai feszültségek hatására ( fotoelaszticitás ) is megfigyeljük. Ezen tényezők hatására egy kezdetben izotróp közeg megváltoztatja tulajdonságait és anizotróp lesz. Ezekben az esetekben a közeg optikai tengelye egybeesik az elektromos tér, a mágneses tér és az erőhatás irányával.

Pozitív és negatív kristályok

A negatív kristályok olyan egytengelyű kristályok, amelyekben egy közönséges fénysugár terjedési sebessége kisebb, mint egy rendkívüli fénysugár terjedési sebessége. A krisztallográfiában a negatív kristályokat folyékony zárványoknak is nevezik olyan kristályokban, amelyek alakja megegyezik a kristályéval.
A pozitív kristályok olyan egytengelyű kristályok, amelyekben egy közönséges fénysugár terjedési sebessége nagyobb, mint egy rendkívüli fénysugár terjedési sebessége.

Lásd még

Kapcsolódó média Kettős törés a Wikimedia Commonsnál
Dielektrikumok polarizációja
Cotton-Mouton hatás
Kerr effektus
Pockels hatás
Faraday hatás

Irodalom

Sivukhin DV Általános fizika tanfolyam. — M. . - T. IV. Optika.
Landsberg G.S. Optika M., 2004
Landau L. D. , Lifshits E. M. Folyamatos közeg elektrodinamikája. - 4. kiadás, sztereotip. — M .: Fizmatlit , 2003. — 656 p. - ( Elméleti fizika , VIII. kötet). — ISBN 5-9221-0123-4 .
Saleh B., Teich M. , Optika és fotonika. Alapelvek és alkalmazások, ford. angolról. 2 t alatt.

Jegyzetek

↑ D. A. Parshin, G. G. Zegrya. Elektromágneses hullámok. hullámegyenlet. Lapos hullámok. Energiaáramlás síkhullámban. Mutató vektor. Impulzus fluxussűrűség. Stressz tenzor. könnyű nyomás. Lebegyev kísérletei. . Elektromágneses hullámok. 18. előadás . Letöltve: 2020. augusztus 21. Az eredetiből archiválva : 2019. július 11. (határozatlan)

Linkek

Erasmus Bartholin, Experimenta crystalli islandici disdiaclastici quibus mira & infolita refractio detegitur (Koppenhága, Dánia: Daniel Paulli, 1669).
Erasmus Bartholin (1670. január 1.) Beszámoló különféle kísérletekről, amelyeket ez a tanult matematikus, Dr. Erasmus Bartholin, kristályszerű testén, elküldte neki az szigetről, Philosophical Transactions of the Royal Society of London , 5 : 2041-2048.