A kettős törés vagy kettős törés az anizotróp anyagok optikai tulajdonsága , amelyben a törésmutató a fény terjedésének irányától függ. Az ilyen anyagoknál megfigyelhető a fénynyaláb két komponensre osztásának hatása, amikor az anyagba kerülve nem egy, hanem két különböző irányú és polarizációjú megtört nyaláb jön létre. Rasmus Bartholin dán tudós fedezte fel először 1669 - ben egy izlandi szár kristályán .
A kettős törés legegyszerűbb típusa az egytengelyű anyagokban látható . Leggyakrabban olyan kristályokról van szó, amelyek rácsja aszimmetrikus, azaz megnyúlik vagy bármilyen irányban összenyomódik . Ebben az esetben az ezen irány (optikai tengely) körüli forgás nem változtatja meg a kristály optikai tulajdonságait. A fényhullám viselkedése ilyen közegben a fény terjedési irányától és polarizációjától függ. A közönséges hullám az, amely az optikai tengelyre és a terjedési irányra merőlegesen polarizált, és a rendkívüli hullám polarizációja merőleges egy közönséges hulláméra. Három fő esetet különböztethetünk meg:
1) A fény az optikai tengely mentén terjed (ebben az esetben a polarizáció merőleges lesz az optikai tengelyre), ekkor a törésmutató minden polarizációnál azonos lesz, és a kristály ebben az esetben nem különbözik az izotróp közegtől, és nincs különbség a közönséges és a rendkívüli hullámok között.
2) A fény az optikai tengelyre merőlegesen terjed. Ezután a polarizáció két vetületre bontható - párhuzamosan az optikai tengellyel és merőlegesen. Az effektív törésmutató két merőleges polarizáció esetén eltérő lesz, és egy anyagrétegen (lemezen) áthaladva fáziseltolódás figyelhető meg a két komponens között. Ha a kezdeti polarizáció lineáris, és vagy teljesen az optikai tengely mentén, vagy teljesen merőlegesen van orientálva, akkor nem változik a lemezből való kilépésnél. Ha azonban a fény kezdetben az optikai tengellyel szögben polarizálódik, vagy a polarizáció ellipszis vagy kör alakú, akkor egy egytengelyű kristály lemezén áthaladva a polarizáció megváltozhat a komponensek közötti fáziseltolódás miatt. Az eltolódás a lemez vastagságától, a törésmutatók különbségétől és a fény hullámhosszától függ.
Legyen a polarizáció és az optikai tengely közötti szög . Ha a lemez vastagsága olyan, hogy a kilépésnél az egyik polarizáció negyed hullámmal (negyed periódussal) van a másik mögött, akkor az eredeti lineáris polarizáció kör alakúvá változik (az ilyen lemezt negyednek nevezik -hullám) ha az egyik sugár fázisa a hullámhossz felével elmarad a másik sugár fázisától, akkor a fény lineárisan polarizált marad, de a polarizációs sík egy bizonyos szögben elfordul, melynek értéke a szögtől függ. a beeső sugár polarizációs síkja és a fő optikai tengely síkja között (az ilyen lemezt félhullámnak nevezzük).
3) A fény az optikai tengelyhez képest tetszőleges irányban terjed. Ekkor nem egy megtört nyaláb lesz megfigyelhető, hanem két különböző polarizációjú nyaláb. A megtört sugarak irányai grafikusan megtalálhatók.
A folyamat matematikai leírása meglehetősen nehézkes, de az eredmény egyértelműen szemléltethető olyan konstrukciók segítségével, amelyek a kristály diffrakciójának szemléltetésére emlékeztetnek az Ewald-konstrukcióval .
Hagyja, hogy egy hullám lehulljon a levegőből egy egytengelyű kristály felületére. Utasítások a hullám- és sugárvektorok irányának megtalálásához közönséges és rendkívüli hullámokhoz egytengelyű kristály esetén (lásd az ábrát, az egyszerűség kedvéért az optikai tengely a beesési síkban van). :
1. Rajzolja meg vízszintesen a kristály felületét!
2. Rajzolj a levegőbe egy olyan félgömböt, amelynek sugara egyenértékű és középpontja a kristály felületén fekszik.
2. Rajzoljunk a közegbe egy félgömböt, amelynek középpontja és sugara megegyezik a törésmutatóval .
3. Rajzoljunk a közegbe egy azonos középpontú ellipszoidot, melynek nagy féltengelye a kristály optikai tengelye mentén orientálódik és egyenlő , a melléktengely pedig .
4. Szerkessze meg a beeső és visszavert sugarakat úgy, hogy a beeső vége és a visszavert eleje a gömbök középpontjában legyen!
5. Rajzoljon egy függőleges vonalat, amely átmegy a visszavert nyaláb és a gömb metszéspontján.
6. Határozza meg az egyenes metszéspontjait a gömbbel és az ellipszoiddal az anyagban!
7. Rajzolja meg a közönséges és a rendkívüli hullámok hullámvektorainak irányait a középponttól a metszéspontokig! A törésmutatók megfelelnek ezeknek a vektoroknak a hosszának.
8. Közönséges hullám esetén: az E vektornak merőlegesnek kell lennie az optikai tengelyre és a k , k || s .
9. Rendkívüli hullám esetén: Az s sugárvektornak a metszéspontban merőlegesnek kell lennie az ellipszoidra. A rendkívüli sugár nem lehet a beesési síkban. Az E rendkívüli hullám polarizációja merőleges az s sugárvektorra és a közönséges hullám polarizációjára. A D vektor merőleges a k hullámvektorra . A rendkívüli hullám D , E , s és k vektorainak ugyanabban a síkban kell feküdniük [1] .
Az ilyen kristályokban a törésmutatók a derékszögű koordinátarendszer mindhárom tengelye mentén eltérőek. A hullámvektorok felülete összetett alakú, de mégis van két megkülönböztethető irány, amelyeket optikai tengelyeknek nevezhetünk, mivel az optikai tengelyek mentén terjedő k -vektornak csak egy iránya van. Ebben az esetben ez az irány végtelen számú sugárvektornak felel meg, amelyek kitöltik a kúpos felületet, és kúpos törés figyelhető meg . Az optikai tengelyekkel nem egybeeső irányok mentén történő terjedéskor kettős törés figyelhető meg, de ebben az esetben leggyakrabban mindkét nyaláb rendkívüli (a hullám és a sugárvektor iránya nem esik egybe).
Kettős törés figyelhető meg nemcsak kristályokban, hanem bármilyen aszimmetrikus szerkezetű anyagban, például műanyagban is.
Minőségileg a jelenség a következőképpen magyarázható. Az anyagi közegre vonatkozó Maxwell-egyenletekből az következik, hogy a fény fázissebessége egy közegben fordítottan arányos a közeg ε dielektromos állandójával . Egyes kristályokban a permittivitás - egy tenzormennyiség - függ az elektromos vektor irányától, vagyis a hullám polarizációs állapotától , ezért a hullám fázissebessége a polarizációjától függ.
A klasszikus fényelmélet szerint a hatás létrejötte abból adódik, hogy a váltakozó elektromágneses fénytér hatására az anyag elektronjai oszcillálnak, és ezek a rezgések befolyásolják a fény terjedését a közegben, illetve egyes anyagokban. könnyebb az elektronokat bizonyos irányokba oszcillálni.
Izotróp közegben (beleértve a szabad teret is) az elektromos indukció ( D ) egyszerűen arányos az elektromos térrel ( E ) D = ɛ E szerint, ahol az ε permittivitás csak egy skalár (és egyenlő n 2 ε 0 -val, ahol n a törésmutató ). Anizotróp anyagokban azonban a D és E közötti kapcsolatot a tenzoregyenlettel kell leírni :
(egy) |
ahol ε most egy 3 × 3 mátrix Tegyük fel, hogy a közeg lineáris és a mágneses permeabilitás μ = μ 0 . Írjuk fel egy ω frekvenciájú síkhullám elektromos terét a következő formában:
(2) |
ahol r a sugárvektor, t az idő, E 0 az elektromos teret leíró vektor r = 0 , t = 0 esetén . Keressük meg az összes lehetséges k hullámvektort . A ∇ × E és ∇ × H Maxwell-egyenleteinek kombinálása és a H = kizárása egyμ0 _B , ezt kapjuk:
(3a) |
Emlékezzünk arra is, hogy ingyenes díjak hiányában a D eltérés eltűnik:
(3b) |
Alkalmazzuk a ∇ × (∇ × A ) = ∇(∇ ⋅ A ) − ∇ 2 A összefüggést 3a bal oldalára , és használjuk ki azt a tényt, hogy a mező síkhullám, ami azt jelenti, hogy x (például) ik x -el való szorzáshoz vezet :
A 3a jobb oldala kifejezhető E -vel az ε tenzorral , és az idő deriváltjai egyszerűen −iω szorzást eredményeznek , majd 3a :
(4a) |
A 3b -re differenciálást alkalmazva a következőket kapjuk:
(4b) |
A 4b egyenlet azt jelenti, hogy D merőleges a k hullámvektor irányára , míg ez már nem igaz az E vektorra , mint izotróp közegben. A 4b egyenletet a továbbiakban nem használjuk.
A k vektor érvényes értékeit egy adott ω -re a legkönnyebb megtalálni egy derékszögű koordináta-rendszerben , amelyben az x , y és z tengelyek párhuzamosak a kristály szimmetriatengelyeivel (vagy egyszerűen a z tengelyt választva az optikai tengely mentén egytengelyű kristály tengelye). Ekkor az ε tenzor mátrixa átlós lesz:
(4c) |
az átlón az x , y és z tengelyek mentén történő polarizáció törésmutatójának négyzete található . Ebben az alakban ε -t, c 2 = alakban a c fénysebességet helyettesítveegyμ 0 ε 0, A 4a vektoregyenlet x -tengelyre vetítését a következőképpen írjuk fel
(5a) |
ahol E x , E y , E z az E vektor komponensei, k x , k y , k z pedig a k hullámvektor komponensei . Írjuk fel az egyenleteket mindhárom vetületre eq. 4a :
(5b) |
(5c) |
(5d) |
Ez egy E x , E y , E z lineáris egyenletrendszer , amelynek csak akkor van nem triviális megoldása (azaz E = 0 ), ha a következő mátrix determinánsa nulla:
(6) |
A 6 determináns kiszámításával megkapjuk
(7) |
A 7 -es egyenletet Fresnel-egyenletnek is nevezik.
Ebben az esetben egytengelyű anyag esetén (az ε mátrix két átlós eleme egyenlő egymással), és a koordinátarendszert úgy választva, hogy az optikai tengely z mentén irányuljon , n x = n y = n . o és n z = n e , a kifejezés ra redukálódik
(nyolc) |
Ahhoz, hogy a 8. egyenlet teljesüljön, az egyik tényezőnek nullának kell lennie. Figyeljük meg, hogy az első egy gömb egyenletének, a második pedig egy ellipszoid felületének felel meg a k hullámvektorok terében adott ω esetén . Az első tényező egy közönséges hullám megoldásának felel meg, ahol a törésmutató iránytól függetlenül egyenlő n o -val, a második pedig egy rendkívüli. A második tényező egy rendkívüli hullám megoldásának felel meg, ahol az effektív törésmutató n o és n e között változik k irányától függően . A hullámterjedés tetszőleges irányához két k vektor lehetséges , amelyek két különböző polarizációnak felelnek meg.
Egy közönséges hullám esetén a D és E vektorok egybeesnek, valamint a k hullámvektor iránya és az s sugárvektor iránya a geometriai optikában (amelynek iránya megegyezik a csoportsebességvektorral ). Egy rendkívüli hullám esetében ez általában nem így van. Tekintsük az egytengelyű kristály egyenletét
(9) |
.
Hasonlítsuk össze a csoportsebesség egyenletét az implicit módon megadott felület normálegyenletével. Mivel az egyenletek egy állandóig egybeesnek, a sugárvektor merőleges a vizsgált ellipszoidra.
Ahhoz, hogy megértsük, hogyan néz ki a felület, amikor az ε mátrix összes átlós eleme különbözik (legyen ), a k vektor egyik összetevőjét nullával ( ) tesszük egyenlővé, és átírjuk a 7 egyenletet .
(tíz) |
Kiszámítható:
(tizenegy) |
Az első tényező egy ellipszis, a második pedig egy kör. Mindhárom síkra hasonló bővítés végezhető . Az ábrán három koordinátasík felületmetszete látható egy oktánsban, a többiben szimmetrikus a kép. A felületnek 4 szinguláris pontja (önmetszéspontja) van, esetünkben az xz síkban fekszenek . Két tengely halad át ezeken a pontokon , amelyeket egy biaxiális kristály optikai tengelyeinek (vagy binormálisainak ) nevezünk. Csak ezekben az irányokban lehet a hullámvektor egyedi értéke. A felület egy szinguláris pontjában azonban a normál iránya határozatlan, és a sugárvektor kitölthet egy kúpos felületet (belső kúptörés kúpja )
A kettős törést a kettős törésű kristályok mellett elektromos térben elhelyezett izotróp közegekben ( Kerr-effektus ), mágneses térben ( Faraday -effektus és Cotton-Mouton-effektus ), mechanikai feszültségek hatására ( fotoelaszticitás ) is megfigyeljük. Ezen tényezők hatására egy kezdetben izotróp közeg megváltoztatja tulajdonságait és anizotróp lesz. Ezekben az esetekben a közeg optikai tengelye egybeesik az elektromos tér, a mágneses tér és az erőhatás irányával.