Ree csoport

A Ree -  csoportok Lie-típusú csoportok egy véges mező felett , amelyet Ree [1] [2] a több él irányát megfordító Dynkin-diagramok kivételes automorfizmusaiból épített fel, ami általánosítja a Suzuki által más módszerrel talált Suzuki- csoportokat A csoportokat az utolsóként fedezték fel véges egyszerű csoportok végtelen családjában .

A Steinberg-csoportokkal ellentétben a Ree-csoportokat nem egy véges mező felett definiált reduktív algebrai csoport pontjai adják meg. Más szóval, nincs olyan "algebrai Ree-csoport", amely ugyanúgy kapcsolódik a Ree-csoportokhoz, mint a (mondjuk) egységes csoportok a Steinberg-csoportokhoz. Vannak azonban olyan egzotikus pszeudoreduktív algebrai csoportok tökéletlen mezők felett, amelyek felépítése a Ree-csoportok felépítéséhez kapcsolódik, mivel a Dynkin-diagram ugyanazokat az egzotikus automorfizmusait használják, amelyek megváltoztatják a gyökök hosszát.

Tits [3] meghatározta a Ree csoportokat a 2. és 3. karakterisztikájú végtelen mezői felett. Tits [4] és Hee [5] vezette be a végtelen dimenziós általánosított Kac-Moody algebrák Ree csoportjait .

Épület

Ha X egy Dynkin-diagram, akkor Chevalley felosztható algebrai csoportokat szerkesztett, amelyek megfelelnek X -nek , különösen az X ( F ) csoportokat az F mezőben lévő értékekkel . Ezek a csoportok a következő automorfizmusokkal rendelkeznek:

A Steinberg és a Chevalley csoport az X ( F ) endomorfizmus fix pontjaként szerkeszthető az F mező algebrai zárására . A Chevalley-csoportok esetében az automorfizmus az F Frobenius-endomorfizmusa , míg a Steinberg-csoportok esetében az automorfizmus a Frobenius-endomorfizmus szorozva a Dynkin-diagram automorfizmusával.

A 2. karakterisztika mezői felett a B 2 ( F ) és F 4 ( F ) csoportok, valamint a 3. jellemző mezői felett a G 2 ( F ) csoportok endomorfizmussal rendelkeznek, amelynek négyzete az F mező Frobenius endomorfizmusához kapcsolódó endomorfizmus . Nagyjából ez az endomorfizmus a Dynkin-diagram 2. rendű automorfizmusából származik, ahol a gyökök hosszát figyelmen kívül hagyjuk.

Tegyük fel, hogy az F mezőnek van egy endomorfizmusa, amelynek négyzete egy Frobenius-endomorfizmus: . Ekkor a Ree csoport az X ( F ) g elemeinek csoportjaként van definiálva úgy , hogy . Ha az F mező tökéletes, akkor és automorfizmusok, a Ree csoport pedig az X ( F ) involúció fixpontjainak csoportja .

Abban az esetben, ha F egy véges p k rendű mező ( p = 2 vagy 3), akkor pontosan akkor létezik Frobenius-négyzet endomorfizmus, amikor k = 2 n + 1 páratlan, ebben az esetben egyedi. Így ez véges Ree-csoportokat ad a B 2 (2 2 n +1 ), F 4 (2 2 n +1 ) és G 2 (3 2 n +1 ) alcsoportjaiként, involúcióval rögzítve.

Chevalley csoportok, Steinberg csoportok és Ree csoportok

A Chevalley-csoportok, a Steinberg-csoportok és a Ree-csoportok közötti kapcsolat megközelítőleg a következő. Adott egy X Dynkin-diagramot , Chevalley egy csoportsémát szerkesztett a Z egész számokra , amelynek véges mezőinek értékei Chevalley-csoportok. Általában véve egy X ( F ) csoport endomorfizmusának fix pontjait vehetjük fel , ahol F  egy véges mező algebrai lezárása, úgy, hogy bizonyos foka a Frobenius-endomorfizmus bizonyos foka . Három eset lehetséges

Ree csoportok 2 típusú B 2

A 2 B 2 típusú Ree csoportokat először a Suzuki [6] találta meg más megközelítéssel, és általában Suzuki csoportoknak emlegetik őket . Rea megjegyezte, hogy a Steinberg -féle konstrukció egy változatának felhasználásával B 2 típusú csoportokból is összeállíthatók [7] . Ree rájött, hogy hasonló konstrukció alkalmazható az F 4 és G 2 Dynkin-diagramokra , ami két új véges egyszerű csoportcsaládhoz vezet.

2 -es típusú ree-csoportok G 2

A 2. típusú G 2 (3 2 n +1 ) Ree csoportokat Ree [1] vezette be , aki megmutatta, hogy mindegyik egyszerű, kivéve az első 2 G 2 (3) csoportot, amely izomorf az SL 2 automorfizmus csoporttal. (8) . Wilson [8] a Ree-csoportok egyszerűsített konstrukcióját adta meg egy 7-dimenziós vektortér automorfizmusaként egy 3 2 n +1 elemet tartalmazó mező felett, amely megőrzi a bilineáris formát, a trilineáris formát és a bilineáris szorzatot.

A Ree csoportnak rendje van , hol

A Schur-szorzó triviális n  ≥ 1 és 2 G 2 esetén (3).

A külső automorfizmus csoport ciklikus és sorrendje van.

A Ree-csoportot néha Ree( q ), R( q ) vagy néven jelölik

A Ree csoport kétszeresen tranzitív permutációs reprezentációt tartalmaz a pontokon, és a Steiner-rendszer automorfizmusaiként működik . 7 dimenziós vektortérre is hat egy q elemű mező felett, amely G 2 ( q ) alcsoportja .

A Ree-csoportok 2-Sylow alcsoportjai 8-as rendű Abeli-csoportok. Walter tétele azt mutatja, hogy csak más nem Abeli-féle véges egyszerű csoportok Abeli-Sylow 2-alcsoportokkal projektív speciális lineáris csoportok a 2-es dimenzióban és a Janko-csoportok J1 . Ezek a csoportok szerepet játszottak az első modern szórványcsoport felfedezésében is. Z /2 Z × PSL 2 ( q ) formájú involúciós központosítókkal rendelkeznek, és a hasonló involúciós központosítóval rendelkező csoportok vizsgálata során Janko a sporadikus J 1 csoportot találta . Kleidman [9] felfedezte a maximális alcsoportjaikat.

A 2 G 2 típusú ree csoportokat rendkívül nehéz leírni. Thompson [10] [11] [12] tanulmányozta ezt a problémát, és be tudta mutatni, hogy egy ilyen csoport szerkezetét a 3-as karakterisztika véges mezőjének valamilyen automorfizmusa határozza meg, és ha ennek az automorfizmusnak a négyzete Frobenius-automorfizmus, akkor a csoport egy Ree csoport. Adott néhány trükkös feltételt is, amelyeket egy automorfizmus kielégít . Végül Bombieri [13] a kizárási elméletet használta annak bemutatására, hogy Thompson körülményei azt jelentik, hogy 178 kis eset kivételével, amelyeket számítógépes kiküszöböltek ( Andrew Odlyzko és Hunt). Bombieri egy Gorenstein-féle osztályozásról szóló cikk elolvasása után szerzett tudomást erről a problémáról [14] , aki azt javasolta, hogy valaki kívülről, nem egy csoportelméleti szakember segítsen megoldani a problémát. Angear [15] összefoglalta Thompson és Bombieri megoldását erre a problémára.

2 -es típusú ree csoportok F 4

A Ree típusú csoportokat Ree vezette be [2] . Egyszerűek, kivéve az elsőt , amelyre a Tits [16] kimutatta, hogy van egy egyszerű 2-es indexű alcsoportja, amelyet ma Tits csoportnak neveznek . Wilson [17] a Ree-csoportok egyszerűsített konstrukcióját adta meg egy 26 dimenziós tér szimmetriájaként egy 2 2 n +1 rendű mező felett, amely megőrzi a másodfokú formát, a kockaformát és a részleges szorzást.

A Ree csoport sorrendje hol . A Schur-szorzó triviális. A külső automorfizmus csoport ciklikus, sorrendben .

Ezek a Ree-csoportok szokatlan tulajdonságokkal rendelkeznek, így a (B, N) pár Coxeter-csoportja nem krisztallográfiai – ez egy 16-os rendű diédercsoport. A cicik [18] azt mutatták, hogy az összes Moufang-sokszög a Ree-csoportoktól származik. típusú .

Lásd még

Jegyzetek

  1. ↑ Ree 12. 1960 .
  2. ↑ 12 Ree , 1961 .
  3. ↑ Cicik, 1960 .
  4. ↑ Cicik, 1989 .
  5. ↑ Hee, 1990 .
  6. ↑ Suzuki, 1960 .
  7. ↑ Steinberg, 1959 .
  8. ↑ Wilson, 2010 .
  9. ↑ Kleidman, 1988 .
  10. ↑ Thompson, 1967 .
  11. ↑ Thompson, 1972 .
  12. ↑ Thompson, 1977 .
  13. ↑ Bombieri, 1980 .
  14. ↑ Gorenstein, 1979 .
  15. ↑ Enguehard, 1986 .
  16. ↑ Cicik, 1964 .
  17. ↑ Wilson, 2010b .
  18. ↑ Cicik, 1983 .

Irodalom

Linkek