Levonás (komplex elemzés)

A komplex elemzés maradéka egy objektum ( egy szám, egy forma vagy egy forma kohomológiai osztálya), amely egy adott függvény vagy forma lokális tulajdonságait jellemzi .

Az egyik komplex változó maradékainak elméletét főként Cauchy dolgozta ki 1825-1829-ben. Rajta kívül fontos eredményeket ért el Remete , Sokhotsky , Lindelöf . 1887- ben Poincaré két változó esetére általánosította a Cauchy-féle integráltételt és a maradék fogalmát [1] , ettől a pillanattól kezdve keletkezik a maradékok többdimenziós elmélete. Kiderült azonban, hogy ez a fogalom többféleképpen általánosítható.

Egy analitikus függvény maradékának jelölésére egy pontban egy kifejezést használunk (a lat. reziduum szóból ). Az orosz nyelvű irodalomban néha [2] -ként emlegetik . $F z)$ $z_{0}$ ${\mathop {{\mathrm {Res}}}}\left[f(z),z_{0}\right]$ ${\text{calc}}\left[f(z),z_{0}\right]$

Egydimenziós komplex elemzés

Függvénylevonás

Egy olyan tartományban lévő komplex értékű függvény esetében , amely szabályos a pont valamely átszúrt környezetében , a maradéka a pontban a következő szám: $F z)$ $D\subseteq {\mathbb C}$ $a\in D$ $a$

{\mathop {{\mathrm {Res}}}}_{a}\,f(z)=\lim _{{\rho \to 0}}{1 \over {2\pi i}}\int \ korlátok _{{|za|=\rho }}\!f(z)\,dz

Mivel a függvény holomorf a pont egy kis átlyukasztott környezetében , a Cauchy-tétel szerint az integrál értéke nem függ ennek a paraméternek kellően kis értékeitől, valamint az integrációs út formájától. Az egyetlen fontos dolog az, hogy az útvonal egy zárt görbe a függvény elemzési területén, miután bezárja a vizsgált pontot, és nincs más olyan pont, amely nem tartozik a holomorfia területéhez . $F z)$ $a$ $\rho$ $f$

A pont valamely szomszédságában a függvényt egy konvergens Laurent-sor képviseli a hatványokban . Könnyen kimutatható, hogy a maradék egybeesik a sorozat együtthatójával . Ezt a reprezentációt gyakran egy függvény maradékának definíciójaként tekintik. $a$ $F z)$ $za$ $c_{{-1}}$ $(za)^{{-1}}$

Levonás a "végtelennél"

Egy függvény tulajdonságainak teljesebb tanulmányozása érdekében bevezetjük a végtelenben lévő maradék fogalmát, miközben a Riemann-gömb függvényének tekintjük . Legyen a végtelenben lévő pont egy izolált szinguláris pont , akkor a végtelenben lévő maradék egy komplex szám, amely egyenlő: $F z)$

{\mathop {{\mathrm {Res}}}}_{\infty }\,f(z)=-\lim _({\rho \to \infty }}{1 \over {2\pi i}} \int \limits _{{|z|=\rho }}\!f(z)\,dz

Az integrációs ciklus ebben a definícióban pozitív irányba, azaz az óramutató járásával ellentétes irányban irányul.

Az előző esethez hasonlóan a végtelenben lévő maradéknak is van egy reprezentációja a Laurent-tágulás együtthatója formájában a végtelenben lévő pont közelében:

{\mathop {{\mathrm {Res}}}}_{\infty }\,f(z)=-c_{{-1}}

Maradék differenciálforma

A sokaságok elemzése szempontjából természetellenes a Riemann-szféra egyes kitüntetett pontjaira (jelen esetben a végtelenre) egy speciális definíciót bevezetni. Ráadásul egy ilyen megközelítést nehéz magasabb dimenziókra általánosítani . Ezért a maradék fogalmát nem függvényekre, hanem differenciálformákra vezetjük be a Riemann-szférán: $(1,\;0)$

{\mathop {{\mathrm {Res}}}}_{a}\,\omega =\lim _{{\rho \to 0}}{1 \over {2\pi i}}\int \limits _ {{|za|=\rho }}\!\omega

Első pillantásra nincs különbség a definíciókban, de most egy tetszőleges pontról van szó , és az előjelváltozást a maradék kiszámításakor a végtelenben az integrál változóinak megváltoztatásával érjük el. $a$ $\overline {{\mathbb C}}$

Logaritmikus maradékok

Az integrált a függvény kontúrhoz viszonyított logaritmikus maradékának nevezzük . ${1 \over {2\pi i}}\oint \limits _{L}\!{f^{\prime }(z) \over f(z)}\,dz$ $F z)$ $L$

A logaritmikus maradék fogalmát a Rouché-tétel és az algebra alaptételének bizonyítására használják .

A levonások kiszámításának módjai

A maradékot definíció szerint kontúrintegrálként is ki lehet számítani, de ez általában meglehetősen munkaigényes. Ezért a gyakorlatban elsősorban a definíció következményeit használják fel.

Az eltávolítható szinguláris pontban , valamint a szabályossági pontban a függvény maradéka nullával egyenlő. Ugyanakkor ez az állítás a végtelenben lévő pontra nem igaz. Például egy függvénynek elsőrendű nullája van a végtelenben, azonban . Ennek az az oka, hogy a formának van szingularitása a nullán és a végtelenben is. $a\in {\mathbb C}$ $F z)$ $f(z)={\frac {1}{z}}$ ${\mathop {{\mathrm {Res}}}}_{{\infty }}\,{\frac 1{z}}=-1$ ${\frac {dz}{z))$

A multiplicitás pólusban a maradék a következő képlettel számítható ki: $a$ $n$

{\mathop {{\mathrm {Res}}}}_{a}\,f(z)={1 \over (n-1)!}\lim _{{z\to a}}{{d^ {{(n-1)}} \over dz^{{(n-1)}}}[(za)^{n}f(z)]}

különleges eset $n=1$

{\mathop {{\mathrm {Res}}}}_{a}\,f(z)=\lim _{{z\to a}}{(za)f(z)}

Ha a függvénynek van egy egyszerű pólusa a pontban , ahol az és függvények holomorfok a , , szomszédságában , akkor egyszerűbb képlet is használható: $f(z)={\frac {g(z)}{h(z)))$ $a$ $g(z)$ $h(z)$ $a$ $h(a)=0$ $h'(a)\neq 0$

{\mathop {{\mathrm {Res}}}}_{a}\,f(z)={\frac {g(a)}{h^{\prime }(a))))

Nagyon gyakran, különösen lényegében szinguláris pontok esetén célszerű a maradékot a függvény Laurent-soros kiterjesztésével kiszámítani. Például, mivel az at együtthatója egyenlő 1-gyel. ${\mathop {{\mathrm {Res}}}}_{0}\,e^{{1/z}}={\mathop {{\mathrm {Res}}}}_{0}\,\left (1+{\frac 1{z}}+{\frac 1{2!z^{2}}}+\ldots \right)=1$ $z^{{-1}}$

A maradékok elméletének alkalmazásai

A legtöbb esetben a maradékelméletet alkalmazzák különféle integrálkifejezések kiszámítására a fő maradéktétel segítségével . Ilyen esetekben gyakran hasznos Jordan lemmája .

Trigonometrikus függvények határozott integráljainak számítása

Legyen a függvény az és változók racionális függvénye . Az űrlap integráljainak kiszámításához célszerű az Euler-képleteket használni . Feltételezve, hogy , és végrehajtva a megfelelő átalakításokat, a következőt kapjuk: $R(u,\;v)$ $u$ $v$ $\int \limits _{0}^{{2\pi }}R\!(\sin \varphi ;\;\cos \varphi )\,d\varphi$ $z=e^{{i\varphi }}$

\int \limits _{0}^{{2\pi }}\!R(\sin \varphi ,\;\cos \varphi )\,d\varphi =2\pi i\sum {\mathop {{\ matematika {Res}}}}_{{z=z_{k}}}R(z)

Nem megfelelő integrálok számítása

A helytelen integrálok a maradékok elméletével történő kiszámításához a következő két lemmát használjuk:

1. Legyen a függvény holomorf a felső félsíkban és a valós tengelyen, kivéve véges számú pólust , amelyek nem a valós tengelyen és . Akkor $F z)$ $I^{+}=\{z\mid \operátornév {Im}\,z\geqslant 0\}$ $n$ $\lim _{{z\to \infty }}zf(z)=0$

\int \limits _{{-\infty }}^{{+\infty }}\!f(x)\,dx=2\pi i\sum _{{k=1}}^{n}{\ mathop {{\mathrm {Res}}}}_{{z=z_{k}}}f(z)

2. Legyen a függvény holomorf a felső félsíkban és a valós tengelyen, kivéve véges számú , a valós tengelyen nem fekvő pólust , és . Akkor $F z)$ $I^{+}=\{z\mid \operátornév {Im}\,z\geqslant 0\}$ $n$ $\lim _{{z\to \infty }}zf(z)=0$ $\alpha >0$

\int \limits _{{-\infty }}^{{+\infty }}\!f(x)e^{{i\alpha x}}\,dx=2\pi i\sum _{{k =1}}^{n}{\mathop {{\mathrm {Res}}}}_{{z=z_{k}}}f(z)e^{{i\alpha z}}

Ebben az esetben az egyenlőségek bal oldalán lévő integráloknak nem kell létezniük, ezért csak a fő érték értelmében értendők (Cauchy szerint) .

Többváltozós komplex elemzés

Forma-maradék és osztály-maradék

Helyi levonás

Residual Flow

Jegyzetek

↑ H. Poincare. Sur les résidues des integrales doubles // Acta Math. - 1887. - 9. sz . - S. 321-380 . - doi : 10.1007/BF02406742 .
↑ Sveshnikov A. G., Tikhonov A. N. Egy komplex változó függvényeinek elmélete. - 3. kiadás, add. — M.: Nauka, 1974. — 320 p.

Irodalom

Shabat BV Bevezetés a komplex elemzésbe. - M .: Nauka, 1976.
Sveshnikov A. G., Tikhonov A. N. Egy komplex változó függvényeinek elmélete. - M .: Nauka, 1979.
Aizenberg L. A., Yuzhakov A. P. Integral reprezentációk és maradékok a többdimenziós komplex elemzésben. - Novoszibirszk: Nauka, 1979.
Tsikh A.K. Többdimenziós maradványok és alkalmazásaik. - Novoszibirszk: Nauka, 1988.