Vektor diagram

Az oldal jelenlegi verzióját még nem ellenőrizték tapasztalt közreműködők, és jelentősen eltérhet a 2019. június 13-án felülvizsgált verziótól ; az ellenőrzések 3 szerkesztést igényelnek .

A vektordiagram a szinusz (koszinusz) törvény szerint változó mennyiségek és a köztük lévő kapcsolatok grafikus ábrázolása irányított szegmensek - vektorok segítségével . A vektordiagramokat széles körben használják az elektrotechnikában , az akusztikában , az optikában , a rezgéselméletben és így tovább.

A harmonikus (azaz szinuszos) oszcilláció grafikusan ábrázolható egy állandó ω szögsebességgel forgó vektor valamely tengelyére (általában az Ox koordinátatengelyre) vetítésként . A vektor hossza az amplitúdónak , a tengely körüli forgásszög (Ox) a fázisnak felel meg .

A vektordiagramon két vagy több rezgés összegét (vagy különbségét) ebben az esetben ezen rezgések vektorainak (geometriai) összege [1] (vagy különbsége) ábrázolja. A kívánt mennyiség pillanatnyi értékét ebben az esetben az összegvektor Ox tengelyre vetítése határozza meg, az amplitúdó ennek a vektornak a hossza, a fázis pedig az Ox-hoz viszonyított elfordulásának szöge.

Vektor diagramok és komplex ábrázolás

A vektordiagramok az oszcillációk komplex számként való ábrázolásának egy változatának (és illusztrációjának) tekinthetők . Egy ilyen összehasonlításnál az Ox tengely a valós számok tengelyének, az Oy tengely pedig a tisztán képzeletbeli számok tengelyének felel meg (a pozitív egységvektor, amely mentén egy képzeletbeli egység van ).

Ekkor a komplex síkban állandó ω szögsebességgel , φ 0 kezdeti szöggel forgó A hosszúságú vektort komplex számként írjuk fel.

Ae^{i(\omega t+\varphi _{0})},

és a valódi része

\mathrm {Re} {\big (}Ae^{i(\omega t+\varphi _{0})}{\big )}=A\mathrm {cos} {\big (}\omega t+\ varphi _{0}{\big )},

-van egy harmonikus rezgés, amelynek ciklikus frekvenciája ω és kezdeti fázisa φ 0 .

Bár a fentiekből kitűnik, a vektordiagramok és az oszcillációk komplex ábrázolása szorosan összefügg egymással, és valójában ugyanannak a módszernek a változatait vagy különböző oldalait reprezentálják, mégis megvannak a saját jellemzőik, és külön-külön is használhatók.

A vektordiagramok módszere külön is bemutatható az elektrotechnika vagy az elemi fizika tantárgyain, ha valamilyen okból (általában a hallgatók mérsékelt matematikai képzettségéhez és időhiányhoz kapcsolódóan) kerülni kell a komplex számok használatát. (kifejezetten) általában.
A komplex ábrázolási módszer (amely szükség vagy kívánság esetén grafikus ábrázolást is tartalmazhat, ami azonban teljesen opcionális és néha redundáns) általánosságban elmondható, hogy erőteljesebb, mivel természetesen magában foglalja például a rendszerek összeállítását és megoldását. tetszőleges bonyolultságú egyenletek feldolgozása, míg a vektordiagramok módszere a legtisztább formájában továbbra is az összegzést igénylő feladatokra korlátozódik, amelyek egy rajzon ábrázolhatók.
A vektordiagramok módszere azonban (tiszta formájában vagy a komplex ábrázolási módszer grafikus összetevőjeként) vizuálisabb, és ezért bizonyos esetekben potenciálisan megbízhatóbb (bizonyos mértékig lehetővé teszi az esetlegesen előforduló durva véletlenszerű hibák elkerülését). az absztrakt algebrai számításokban), és lehetővé teszi bizonyos esetekben a probléma mélyebb megértését bizonyos esetekben.

Alkalmazási példák

Mechanika; harmonikus oszcillátor

Egy harmonikus oszcillátor a mechanikában és egy tetszőleges természetű harmonikus oszcillátor formálisan pontos analógiát képvisel, ezért ezeket egy bekezdésben egy mechanikus harmonikus oszcillátor példáján fogjuk megvizsgálni.
A vektordiagramok alkalmazása a mechanikában főként a harmonikus oszcillátor esetére korlátozódik (beleértve a lineáris sebességű súrlódási erővel rendelkező oszcillátort is); azonban a vektordiagramok bizonyos mértékig hasznosak lehetnek több oszcillátor tanulmányozásához, beleértve a végtelen számú korlátot (az elosztott rendszerek rezgései vagy hullámai).
Modern szemmel nézve a vektordiagramok harmonikus oszcillátorra való alkalmazása inkább csak történeti és pedagógiai jelentőségű, de ennek ellenére elvileg itt is eléggé alkalmazhatóak.
A mechanikában a vektordiagramok használatának (általában egydimenziós oszcillátorra való alkalmazásukat értjük) az a sajátossága, hogy egy második koordináta hozzáadásának a rezgések forgássá alakításához nemcsak formális absztrakt jelentése lehet, hanem egy. -ilyen dimenziós mechanikai rendszer, mechanikus kétdimenziós rendszer jelölhető meg, amelyre a vektordiagram először teljesen valós kétdimenziós mechanikai mozgásként valósul meg, és minden vektor valóban kétdimenziós (és az összes kivetítés után ezek és a kétdimenziós rendszer egy pontjának egy tengelyre való elmozdulása után megkapjuk a megfelelő mennyiségek pillanatnyi értékeit - beleértve a pozíciót is - a megfelelő egydimenziós rendszerhez ); Így egy mechanikus egydimenziós rendszerhez nem csak formális matematikai modell lehetséges, hanem valódi mechanikai modell is, amely egy rezgő egydimenziós mozgást forgó mozgássá alakít át kétdimenziós térben, megvalósítva egy vektordiagramot egy egydimenziós rendszer.

Tekintsük a vektordiagramok egyszerű alkalmazásának két fő esetét a mechanikában (amint fentebb megjegyeztük, nemcsak mechanikus, hanem bármilyen jellegű harmonikus oszcillátorra is alkalmazható): egy csillapítás nélküli és külső erő nélküli oszcillátort és egy oszcillátort ( lineáris) csillapítás (viszkozitás), és külső erővel történő meghajtás.

Szabad harmonikus rezgések csillapítás nélkül

A mechanikai megfogalmazásban az az elgondolás, hogy az egydimenziós mozgást kétdimenzióssá tegyük úgy, hogy a sebességvektornak ugyanaz az összetevője legyen az x tengely mentén , mint az egydimenziós esetben, és merőleges legyen a sugárvektor (amelynek vetülete az x tengelyre az x koordináta egydimenziós rendszerben).

Ha a kétdimenziós sebesség (a diagramon) nem változik nagyságrendben (modulo), akkor kimutatható, hogy a gyorsulás is merőleges a sebességre, és pontosan ellentétes a sugárvektorral ( centripetális gyorsulás ). .

Ami a vektorok nagyságának arányát illeti, abból a meglehetősen nyilvánvaló geometriai tényből kiindulva, hogy bármely L hosszúságú vektor vége az origója körül ω szögfrekvenciával forog egy kört ír le, amelynek hossza egyenlő ωL ( ahol L az aktuális sugara ), és feltételezve , hogy a kétdimenziós diagramban a mozgás tisztán forgásos, könnyen érthető, hogy a végpont lineáris sebessége

|{\vec {v}}|=|{\pont {\vec {r}}}|=\omega |{\vec {r}}|,

és a lineáris gyorsulás az lesz

|{\vec {a}}|=|{\pont {\vec {v}}}|=\omega |{\vec {v}}|.

Vagyis a gyorsulásvektornál azt találjuk, hogy az értéke egyenlő és az irány ellentétes az iránnyal (a kétszeri 90 fokos elfordulás miatt). $\vec a$ $\omega ^{2}|{\vec {r}}|,$ ${\vec {r))$

(Így megkaptuk, útközben, és a centripetális gyorsulás tételét [2] ).

Az egydimenziós oszcillátor helyreállító erejének természetes kiterjesztésével

F=-kx

a kétdimenzióshoz, amely teljesíti azt a feltételt, hogy az erő x -komponense egybeesik az egydimenzióssal,

{\vec {F}}=-k{\vec {r}}.

Ekkor látjuk, hogy meg lehet választani a forgási sebességet úgy, hogy minden vektor nagysága változatlan maradjon, és csak ω szögsebességgel forogjon . Mégpedig ha $\omega ^{2}=k/m,$

m{\vec {a}}=-m\omega ^{2}{\vec {r}}={\vec {F}}=-k{\vec {r}}.

(Ugyanakkor a vektor tetszőleges hosszát felvehetjük, ebben az egyenletben redukálva van; felvehető a kiindulási helyzet elfordulási szöge is ). ${\vec {r))$ ${\vec {r))$

Vagyis találtunk egy megoldást egy kétdimenziós rendszerre (amely vektordiagramnak felel meg), ezért ennek a megoldásnak az x tengelyre vetítése egy egydimenziós rendszer mozgásegyenletének megoldása, van

x=const\cdot \mathrm {cos} (\omega t+const'),

ahol és tetszőleges állandók , egy harmonikus oszcillátor mozgásegyenletének megoldása $\omega ={\sqrt {k/m)),$ $const,const'$

m{\ddot {x}}=-kx.

Csillapított harmonikus oszcillátor külső hajtóerővel

Hasonlóképpen megfontolhatjuk egy f külső hajtóerővel rendelkező harmonikus oszcillátor mozgásegyenletének megoldását :

m{\ddot {x}}=-kx-\beta {\dot {x}}+f.

(Itt a jobb oldalon az első tag a szokásos Hooke-féle helyreállító erő, a második a viszkózus súrlódás, a harmadik a külső hajtóerő - érthető, hogy ez csak az időtől függ, és nem függ x -től ).

Mivel szinte bármilyen [3] f erő kiterjeszthető Fourier-sorrá vagy integrállá, azaz szinuszos erők összegeként (diszkrét összege vagy integrálja) ábrázolható, a probléma szinuszos erővel kapcsolatos problémává redukálható.

f(t)=f_{0}\mathrm {cos} (\omega t).\

(A mozgásegyenlet linearitása miatt több vagy akár végtelen számú szinuszos fs összegének megoldása lesz az egyes fs megoldások összege ). (Emellett a tisztán szinuszos erő (és nem is a különböző szinuszosok összege) esete önmagában is fontos lehet).

A probléma megoldásának receptje a vektordiagramok módszerével a következő : minden egydimenziós kinematikai vagy dinamikus értéket (koordináta, sebesség, gyorsulás, erő) helyettesítünk (pusztán formálisan - vagy - ha úgy tetszik - az összehasonlítás keretein belül) modell kétdimenziós mechanikai rendszerének eredeti egydimenziós rendszere) egy kétdimenzióssal.

Ugyanakkor igyekszünk úgy választani ezeket a vektorokat, hogy a kétdimenziós mozgás tiszta forgássá redukálódjon.

Ehhez meg kell követelni, hogy az oszcillátor tömegére ható összerő (amely anyagi pont) mindig ugyanabba a pontba (a forgásközéppontba) irányuljon, és nagysága egyenlő legyen az oszcillátor tömegével. a centripetális gyorsulás szorozva a tömeggel.

Ezen feltételek alapján egyenletet kapunk a vektorok abszolút értékeinek arányára (nyilvánvalóan megfelel a megfelelő egydimenziós mennyiségek lengési amplitúdóinak), valamint szögeikre (amelyek az egydimenziós mennyiségek fázisainak felelnek meg). méretrezgések).

A szimmetria alapján ésszerű azt feltételezni, hogy az elforgatásnak a koordináták origójához (egyensúlyi ponthoz) képest kell történnie.

Ekkor a gyorsulást erre a pontra kell irányítani (végül is a helyes egyenletes forgást értjük), ami azt jelenti, hogy két feltételünk van, ha a sugárvektornak megfelelő tengely mentén és a tengelyre merőlegesnek tekintjük az erők és a gyorsulás összetevőit. hozzá. Ez a két feltétel egyenletként van felírva

m\omega ^{2}r=kr-f_{r}\

és

0=f_{\perp }-\beta \omega r

illetőleg. (Itt r a sugárvektor modulusa, f különböző indexekkel a külső erővektor sugárvektor mentén és arra merőleges összetevői; az első egyenlet a radiális erők és a centripetális gyorsulás mennyiségi egyensúlyát tartalmazza, a második pedig azt jelenti a keresztirányú erők kompenzációja, amely ahhoz szükséges, hogy az erő végül a sugárvektor vonala mentén irányuljon, azaz centripetális legyen).

E két egyenlet mindegyikét megoldva az f erőkomponensre vonatkozóan , majd mindegyiket négyzetre emelve, és összeadva a Pitagorasz-tételt szem előtt tartva, a következőt kapjuk: $f^{2}=f_{r}^{2}+f_{\perp }^{2},$

((km\omega ^{2})^{2}+\beta ^{2}\omega ^{2})r^{2}=f^{2},\

és innen:

r={\frac {f}{\sqrt {(km\omega ^{2})^{2}+\beta ^{2}\omega ^{2)))))},

vagyis az oszcillációs amplitúdó kifejezése adott f hajtóerő-amplitúdóhoz .

(Hasonlóan a kiírt erőösszetevők arányából, amely a kívánt szög érintőjét reprezentálja, azt a szöget kapjuk meg, amelyben a diagramban szereplő erővektor a sugárvektorhoz hajlik. Ez a szög pedig az x késleltetése oszcillációs fázis az alkalmazott külső erő rezgésfázisához képest).

Amint látható, a hajtó szinuszos erő hatására bekövetkező rezgések tanulmányozása (amelyből többek között rezonanciafeltételek származnak, stb. stb.) harmonikus oszcillátor esetében meglehetősen sikeresen elvégezhető a vektordiagramok módszerével. . Más kérdések vizsgálatára azonban, mint például a csillapított megoldás elérése külső hajtóerő hiányában, egy ilyen módszer nem túl kényelmesen alkalmazható [4] .

Elektromos áramkörök számítása

Az elektromos áramkörök számítása a vektordiagramok alkalmazásának talán legszokványosabb és rendkívül elterjedt esete, és számos pedagógiai ok miatt nyilván itt használják leggyakrabban ezen a néven és tiszta formájában (vagyis a komplex számok említése nélkül is) [5 ] .

Valójában természetesen létezik hasonló, a rezgések komplex ábrázolásán alapuló módszer - alapvetően az összetett impedanciák módszereként jelölhető (lásd még Komplex amplitúdó módszer ). Általában az utóbbi erősebb, mint a vektordiagramok egyszerű módszere, mivel formalizáltabb, és lehetővé teszi, hogy megoldást találjon egy lineáris elemekből (ellenállások, kondenzátorok, induktorok) álló tetszőleges (tetszőlegesen összetett) áramkörre az általánosított módszer segítségével. [6] Kirchhoff szabályai . Ugyanakkor vektordiagramok is használhatók ennek a módszernek a szemléltetésére, és azokban az esetekben [7] , ahol alkalmazhatók, formálisan teljesen egybeesnek.

A vektordiagramok elektromos áramkörökre történő alkalmazásának legszokványosabb, legelterjedtebb és legegyszerűbb esete a lineáris elemekből (ellenállások, kondenzátorok és induktivitású elemek [8] ) álló soros és párhuzamos áramkörök.

Elvileg a vektordiagramokkal, ha az áramköri elemek paramétereit és a frekvenciát numerikusan adjuk meg, grafikusan szinte számítás nélkül (pontos rajz készítésével) kaphatunk választ, de gyakrabban a vektordiagram használata érthető. mint válasz megszerzése ennek segítségével képlet formájában (majd a vektor diagram a sematikus rajz szerepét tölti be egy geometriai feladat megoldásában).

A komplex számok explicit használatát kizáró tipikus számítások elvégzésének alapja a reaktancia fogalma , amelyet a kondenzátorok és az induktív elemek ( induktorok ) esetében vezetnek be, az alapvető fizikai egyenletek [9] alapján, amelyek lehetővé teszik a áram az elemen és a rajta lévő feszültség (vagy EMF):

a kondenzátorhoz: $CU=Q=\int Idt,$
induktivitás esetén: ${\mathcal {E}}=-LdI/dt,$ kívül $U=-{\mathcal {E}}$

Ekkor egy szinuszos áramot behelyettesítünk az alábbi egyenletekbe:

$I=I_{0}\mathrm {cos} (\omega t+\varphi _{0})$

és kap

a kondenzátorhoz:

U={\frac {1}{C\omega }}I_{0}\mathrm {sin} (\omega t+\varphi _{0})={\frac {1}{C\omega }} I_{0}\mathrm {cos} (\omega t+\varphi _{0}-{\frac {\pi }{2))),

induktivitás esetén:

U=-L\omega I_{0}\mathrm {sin} (\omega t+\varphi _{0})=L\omega I_{0}\mathrm {cos} (\omega t+\varphi _{ 0}+{\frac {\pi }{2)))).

Vegye figyelembe, hogy a képletek nagyon hasonlóak a szokásos Ohm-törvényhez

U=RI,

két pont kivételével: 1) ha a szokásos (ebben az összefüggésben aktívnak nevezett) R ellenállás nem okoz változást a feszültség fázisában az áramhoz képest (fázisban vannak), akkor a kondenzátor feszültsége fázisban késik. az áramhoz képest 90 ° -kal, és az induktivitáson a feszültség ugyanekkora 90 ° -kal vezeti a fázisáramot; 2) az az együttható, amellyel az áramot megszorozzuk a feszültség eléréséhez, amelyet csak reaktanciának neveznek, mind a kondenzátortól, mind az áram frekvenciájának induktivitásától függ (és más, inverz módon).

Így tudjuk, hogyan kell vektordiagramon ábrázolni egy kondenzátoron, induktoron vagy ellenálláson lévő feszültséget, ha az áram ismert (vagyis a vektorát már megrajzoltuk). Nevezetesen: egy kondenzátornál az áramvektort meg kell szorozni (skálázni) egy tényezővel és el kell forgatni 90°-kal negatív irányba (óramutató járásával megegyezően), induktivitás esetén az áramvektort meg kell szorozni és 90°-kal elforgatni pozitív irányba. irány (az óramutató járásával ellentétes). Így a kondenzátor és az induktivitás feszültségét reprezentáló vektort kapunk, ha ismerjük az áramvektort. Egy ellenállás ("aktív ellenállás") esetében a feszültséget reprezentáló vektor felépítéséhez az áramot reprezentáló vektort csak R -vel kell megszorozni anélkül, hogy az irányt megváltoztatná. ${\frac {1}{\omega C))$ $\omega L$

Pontosan ugyanígy lehetséges az áramot ábrázoló vektort vektordiagramon felépíteni, ha ismerjük a feszültséget reprezentáló vektort. (Nyilvánvalóan csak meg kell szorozni a fenti számok reciprokjaival, és el kell forgatni a vektort az ellenkező irányba).

Ha ez világos, akkor az elemek párhuzamos és soros összekapcsolásának kifejezetten tipikus feladatait tekinthetjük.

A párhuzamos kapcsolással kapcsolatos probléma megoldásának fő ténye az a tény, hogy a feszültség minden párhuzamosan kapcsolt elemen azonos, ezért a feszültségvektort veszik kezdeti vektornak (minden elemnél ugyanaz, azaz , ez csak egy, ezért kényelmes vele kezdeni). Ezután a fenti recept szerint minden elemhez megépítik az áramvektorokat, és ezek (vektor) összege természetesen a teljes áramot ábrázolja.
A soros kapcsolással kapcsolatos probléma megoldásának fő ténye az áram egyenlősége minden sorba kapcsolt elemben [10] Ezután az áramvektorból kezdjük a konstrukciót, a fent leírt módon számítjuk ki az egyes elemek feszültségét (az aktív elemén keresztül). vagy reaktancia), és az áramkör végein lévő feszültséget az egyes elemek feszültségét reprezentáló vektorok összegeként számítjuk ki. Lehetővé teszi a feszültség amplitúdójának és fázisának meghatározását az áramkör végén, ha ismert az áram amplitúdója, fázisa és frekvenciája. Miután megírta a választ egy képlet formájában, szükség esetén átírhatja úgy, hogy ellenkezőleg, egy ismert feszültségen keresztül ismeretlen áramot fejezzen ki.

A vektordiagram felépítésének utolsó lehetősége (soros kapcsolású ellenállás, induktivitás és kondenzátor esetén) az ábrán látható.

Részletek

Egy soros áramkör (mint az ábrán) egy R ellenállást, egy C kondenzátort és egy L tekercset tartalmaz. Jelöljük ezeken az elemeken a feszültséget rendre , U R , U C , U L , és az áramkörön átmenő áramot (soros kapcsolásuk miatt minden elemnél azonos) jelöljük I.

Az áramkör végein lévő feszültség (amelyet U RLC -ként fogunk jelölni ) az egyes elemek feszültségeinek összege lesz:

U_{RLC}=U_{R}+U_{C}+U_{L}.

Feltételezzük (a [11] feladat feltételei szerint ), hogy az áramkörben az áram szinuszos, és a vektordiagramon (az ábra felső része) vízszintes vektorként ábrázoljuk, amelynek hossza megegyezik az áramkör amplitúdójával. áram (ez azt jelenti, hogy az áram kezdeti fázisát nullának vesszük; ha valós esetben nem nulla, akkor az ilyen esetet a miénkre redukáljuk az idő origójának eltolásával vagy a teljes vektordiagram szöggel történő elforgatásával a kezdeti szakasz, ami semmit sem változtat a későbbi érvelésen).

Feltételezzük (a feladat feltétele szerint is), hogy az áram frekvenciája (és így a feszültség) adott és egyenlő ω -vel .

Az egyes áramköri elemek feszültségét az aktív vagy reaktív ellenállás alapján számítják ki, azaz a vektorok hosszának megfelelő feszültségamplitúdók, amelyekkel ezek a feszültségek az ábrán láthatók, egyenlőek:

|U_{R}|=R|I|,\

|U_{C}|={\frac {1}{\omega C}}|I|,

|U_{L}|=\omega L|I|,\

ráadásul az első nem fáziseltolásos az áramhoz képest, ami azt jelenti, hogy az I -vel egyirányú vektorral ábrázolja a diagramon , a második - a [12] reaktanciája kapacitív jellege miatt - fázisban elmarad. 90 ° -kal, ami azt jelenti, hogy egy 90 ° -kal negatív irányban (óramutató járásával megegyezően) elforgatott vektorral ábrázolják - vagyis lefelé az ábrán (mivel ezen az ábrán az I szigorúan vízszintes), a harmadik pedig a [13] miatt. reaktanciájának induktív jellege - 90 ° -kal megelőzi a fázisáramot, ami azt jelenti, hogy a diagram egy vektort mutat, amelyet 90 ° -kal elforgattak pozitív irányba (az óramutató járásával ellentétes irányba) - ábránkon ez egyenesen felfelé mutat.

Ezután a vektorösszeadás szabályai szerint összeadjuk az U R ,U C ,U L -t, azaz az ábrán látható módon vektorláncot építünk (tört vonal), ahol minden következő hozzáadott vektort úgy építünk meg, hogy a kezdete legyen egybeesik az előző végével.

Az összegvektor, amint azt fentebb feltételeztük,

U_{RLC}=U_{R}+U_{C}+U_{L},

most azonban konkrétan ezt a vektort látjuk az ábrán.

Ennek a vektornak a hossza egy derékszögű háromszög befogójának hossza | U R | és || U L |-| U C || (az ábra azt az esetet mutatja, amikor | U L | > | U C |, de ez nem befolyásolja a későbbi számításokat).

Ezért a Pitagorasz-tétel szerint

|U_{RCL}|={\sqrt {U_{R}^{2}+(U_{L}-U_{C})^{2))},

és behelyettesítve az U R , U L , U C vektorok hosszát a fent leírt képletekből, kapjuk

|U_{RCL}|={\sqrt {(I_{0}R)^{2}+(I_{0}\omega L-{\frac {I_{0}}{\omega {C} }})^{2}}},

ahol I 0 az áram amplitúdóját jelöli (amely megegyezik az I vektor hosszával ); Ha kivesszük az I 0 -t a gyökér alól, a következőt kapjuk:

|U_{RCL}|=I_{0}{\sqrt {R^{2}+(\omega L-{\frac {1}{\omega C)))^{2))},

vagyis az áramkörön átívelő feszültség amplitúdójának analitikai kifejezése.

Végezetül megjegyezzük, hogy most már ezekkel a képletekkel is megoldható az inverz probléma - adott feszültségen az áramkörben lévő áram kiszámítása -, ehhez csak az első egyenletet kell elemileg megoldani I 0 -ra, kifejezve azt a többi paraméter szempontjából.

Fourier transzformáció

A vektordiagramok a Fourier- sorral és a Fourier-transzformációval kapcsolatban használhatók (fizikai szempontból ezt többnyire bizonyos folyamatok frekvenciaspektrumának vizsgálataként értelmezzük).

Egyes esetekben a vektordiagramok használata meglehetősen elemi eszközökkel teszi lehetővé meglehetősen nem triviális pontos eredmények elérését ezen a területen. Egy ilyen alkalmazás értéke a modern kontextusban láthatóan nem túl nagy, mivel mindezek az eredmények szabványosabb és általánosabb elemzési technikákkal („rajzok használata nélkül”) reprodukálhatók, de úgy tűnik, a vektor módszerével. A diagramok pedagógiailag hasznosak lehetnek itt. , valamint a népszerűsítéshez, és talán néha bizonyos mérnöki alkalmazásokhoz.

Ezenkívül a vektordiagramok kétségtelenül hasznosak lehetnek ezen a területen illusztrációként, valamint a formális eredmények jobb minőségi megértéséhez, és valószínűleg néha valamilyen becsült összefüggések megállapításához.

Két szinuszos rezgés összeadása

Az iskolások számára a vektordiagramok szempontjából kétségtelenül hasznos megfontolni két, frekvenciában kissé eltérő szinuszos jel hozzáadását. Annak ellenére, hogy az eredményt trigonometrikus képletek egyszerű alkalmazásával is meg lehet kapni, a vektordiagramok módszere értékes, mivel lehetővé teszi, hogy az eredményt átlátszó geometriai módon kapja meg, ami hozzájárul a matematikai tartalmának minőségi megértéséhez. probléma [14] .

Tulajdonképpen azt mondhatjuk, hogy a vektordiagramok segítségével történő mérlegelés többek között segíthet a megfelelő trigonometrikus képletek memorizálásában (vagy visszaállításában).

Téglalap alakú jel Fourier-transzformációja

Mivel az előre és az inverz Fourier-transzformációk lényegében szimmetrikusak, egy téglalap alakú jel Fourier-képéről (spektrumáról) beszélünk [15] és fordítva arról, hogy melyik jelnek van „téglalap alakú” spektruma [16] .

Szem előtt tartva, hogy a bevezető megjegyzésben jelzett összes probléma megoldása formailag lényegében megegyezik, koncentráljunk az áttekinthetőbb fizikai jelentésű megoldási mód felvázolására. Nevezetesen egy olyan jel alakjának meghatározására (az idő függvényének kifejezett alakja), amely az egyenlő amplitúdójú és frekvenciájú szinuszok összegének összege (és legyen ezen szinuszok kezdeti fázisa). egyenlő legyen nullával).

Ezen szinuszok mindegyikét nyilvánvalóan egy azonos hosszúságú vektor ábrázolja a vektordiagramon. A kezdeti időpillanatban ( t =0) ezek a vektorok vízszintesek és jobbra irányulnak. A következő időpontokban az egyes vektorok forgásszöge lineárisan függ a számától.

Ezért ha a vektorokat természetes sorrendben, a legalacsonyabb frekvenciától a legmagasabbig összegezzük, az összegezendő vektorok láncából álló szaggatott vonal egy tetszőleges időpillanatban egy „szabályos sokszög” része lesz. [17] , vagyis a vektorok összes eleje és vége egy adott időpillanatban egy körön fekszik (a kezdeti pillanatban nyilvánvalóan ez a szaggatott vonal egyenes szakaszgá degenerálódik).

Rögtön megjegyezzük, hogy egy folytonos spektrum problémája esetén egy ilyen szaggatott vonal nyilvánvalóan körbe megy át. Ha szükséges, ez az állítás szigorúan igazolható, és a diszkrét spektrum melletti összes érv ennek megfelelően újrafogalmazható a folytonos spektrumra.

Az összegvektor - a lánc első vektorának elejétől az utolsó végéig húzott vektor - nyilvánvalóan a vízszinteshez képest szöget zár be, ahol spektrumunk alsó és felső frekvenciájának átlaga (az a legmagasabb és legalacsonyabb frekvenciák). $\omega _{0}t$ $\omega _{0}=(\omega _{1}+\omega _{2})/2$

Ennek a vektornak a hossza elemi geometriai megfontolások alapján is könnyen kiszámítható.

A diszkrét spektrum és a folytonos spektrum esete között az a minőségi különbség, hogy diszkrét spektrumnál a szaggatott vonal linkjeinek száma véges (és minden szakasza is véges), ezért bizonyos véges idő elteltével a szaggatott vonal láncszemeinek száma véges. pozíciót akkor érjük el, amikor minden következő vektor ellentétes lesz az előzővel (a szaggatott vonal teljesen „összehajlik” egy vektor méretéig), majd ezt követően elkezd „tágulni”, amíg ugyanennyi idő elteltével eléri a kezdeti pozíciót, vagyis az összeg amplitúdója ismét maximális lesz, mint t = 0 esetén, maga a függvény pedig periodikus [18] .
Nem nehéz kiszámítani, hogy mennyi időbe telik, amíg "a jel burkológörbéje átmegy a nullán" [19] . (Ez nyilván akkor történik meg, amikor az egyes szinuszokat ábrázoló vektorokból felépített szaggatott vonal - vagy folytonos spektrum esetén görbe (körív) - először bezárul. Ez az idő mennyiségi jellemzőként használható "jelszélességének" (főcsúcsának szélessége) a (Nyilvánvalóan a jel páros - azaz az időfordításhoz képest szimmetrikus - függvény, tehát az időtengely hasonló pontja a negatívon lesz. féltengely, szimmetrikusan az elsőhöz).
A jelszélességnek ez a jellemzője - a spektrum szélességének nyilvánvaló (éles szélei miatt) jellemzővel kombinálva - felhasználható bizonytalansági viszonyok megfogalmazására ; ez hasznos lehet egy népszerű prezentációban, mivel általában elemi matematikai eszközöket igényel, miközben a probléma lényegét (bár konkrét példával) kellő részletességgel érintjük.

Diffrakció

Amikor a Fraunhofer-diffrakció [20] problémáját egy résszel oldjuk meg, az előző bekezdésben tárgyalthoz hasonló kérdéssel kell szembenéznünk: hogyan lehet összeadni azokat a szinuszokat, amelyek amplitúdója egyenlő, és fázisában eltolódik az előzőhöz képest. egyenként ugyanannyi (csak ebben a bekezdésben ezek a fáziseltolások nem arányosak az idővel, és - legegyszerűbb esetben - a szög szinuszával).

Az előző bekezdéshez hasonlóan minden szinuszos egy vektorral van ábrázolva, amelynek lánca szaggatott vonallal összegezve kiderül, hogy egy körbe van beírva, és a folytonos határban (a amelyet itt kell menni) egy körív. A szaggatott vonalat lezáró összegvektor ekkor ennek az ívnek a húrja, hosszát elemi geometriai megfontolások alapján számítjuk ki.

Meglehetősen érdekes, hogy a vektordiagramok módszere lehetővé teszi a Fraunhofer-esetből egy általánosabb esetbe való átmenet kvalitatív tanulmányozását (amikor a megfigyelési képernyő közelít a réshez). (Akkor az összeadandó vektorok hossza már nem azonos, de minőségileg meg lehet érteni, hogyan változik a kép, főleg addig, amíg a képernyő távolsága nem csökkent túlságosan).

A vektordiagramok módszere elvileg alkalmas diffrakciós problémák megoldására és általános esetben (amire nincs analitikai módszer) numerikus módszerrel, konstrukciós módszerrel, vagy mechanikus analóg eszközzel, bár sok ilyen alkalmazás nem túl nyilvánvaló, hogy mennyire helyes a "vektordiagramok" kifejezés alkalmazása (az egyéb hagyományos módszerektől való elhatárolás értelmében - komplex ábrázolás stb.; bár természetesen bizonyos esetekben ez kétségtelenül így van). helyes – mondjuk pusztán grafikus konstrukcióban).

Jegyzetek

↑ paralelogramma , háromszög vagy (sok vektor összegzése esetén) vonallánc szabályával kapott .
↑ Ettől függetlenül ismertnek tekinthető, hiszen tulajdonképpen eddig csak a kétdimenziós mozgást vették figyelembe, ami önmagában nem tárgya a vektordiagramok módszerének, inkább abban használatos. Másrészt már észrevettük, hogy a vektordiagramok módszerének ezen a szakaszon belüli szinte teljes tartalma újrafogalmazható a kétdimenziós mozgás egyszerű analógiájával.
↑ Vagyis tetszőleges időtől függően, más szóval tetszőleges f (t) függvény . Természetesen az f(t) megengedett függvények osztályára vonatkoznia kell a fizikai ésszerűség követelményének, például ahhoz, hogy végesnek, vagy (mivel az elfogadható függvények osztályát néha még szélesebbre tegyük) legalábbis integrálhatónak tekintsük. némi értelme.
↑ Elvileg javasolható néhány alkalmazási mód, de ezek meglehetősen mesterségesek, és semmi esetre sem teszik lehetővé, hogy egyszerűen, természetes formában azonnal közvetlen választ kapjunk, mint a fent tárgyalt probléma esetében.
↑ A komplex számokat használó megfogalmazás nem csak a módszer alkalmazási lehetőségeit tágítja, hanem kompaktabb, ezáltal szebb is. Ennek megértéséhez azonban némi (elvileg nem sok) időt kell töltenie a komplex számok elemi műveleteinek megismerésével. Ebben a megfogalmazásban a vektordiagramok a módszer geometriai illusztrációivá válnak, algebrai jelölése pedig egyszerűbbé, rövidebbé és szabványosabbá válik.
↑ A Kirchhoff-szabályok általánosítása itt azokra az áramkörökre vonatkozik, amelyek nemcsak ellenállásokat, hanem reaktanciákat is tartalmaznak (kondenzátorok és induktorok), a reaktív elemeknél pedig az ellenállások helyett komplex számokat használnak - impedanciák . Tisztán formálisan ebben az esetben minden ugyanaz marad, mint a csak ellenállásokat tartalmazó áramkörök esetében; csak arról van szó, hogy nem minden ellenállás valós szám .
↑ Sajnos tiszta formájában - vagyis tisztán geometriailag, a komplex számok kifejezett használata nélkül - nem minden esetben alkalmazható (legalábbis kényelmesen alkalmazható), sőt, mondhatni, hogy szokásos formájában csak áramköri elemek egymást követő vagy párhuzamos kapcsolása, valamint soros-párhuzamos áramkörök esetén (bár ez utóbbi esetben már észrevehetően kevésbé kényelmes).
↑ Néhány más elem is bekerülhet ebbe a listába, például erősítők a linearitásuk tartományában, és a kisjelű közelítésben a nemlineáris elemeket megközelítőleg lineárisakkal helyettesíthetjük.
↑ A legegyszerűbben – ideális kondenzátorokhoz és induktivitásokhoz. A tökéletlenség egy része ezután reprezentálható a kiegészítő ellenállások, kondenzátorok, induktivitások ideális elemeihez való párhuzamos vagy soros kapcsolással, amelyeknek egyenértékűnek kell lenniük a valódi elemek parazita aktív ellenállásával, parazita kapacitásával, parazita induktivitásával.
↑ Amellett érvelünk, hogy maguk a vezetők kapacitásai elhanyagolhatóak, és csak a kondenzátorlapokon halmozódhat fel észrevehető töltés (szimmetrikusan), akkor az áram mindenhol azonos.
↑ Egy ilyen probléma megfogalmazásának egy változata lehet feladat abban az esetben, ha az áramkör végein szinuszos feszültség van, és nem az áramerősség. A szinuszos árammal kiindulva azonban - a főszövegben leírtak szerint - szinuszos feszültséghez jutunk, vagyis ezek a feltételek konzisztensek, szükségesek és elégségesek egymáshoz. Ezért a főszövegben az általánosság elvesztése nélkül szinuszos árammal kezdjük az előadást, ami egyszerűbb és áttekinthetőbb.
↑ Indoklás – lásd a fenti cikket.
↑ Indoklás – lásd még a fenti cikket.
↑ Arról nem is beszélve, hogy megengedi, hogy az említett trigonometrikus képletek ismerete nélkül is beszéljünk erről, vagyis igény esetén például korábbi életkorban.
↑ Ebben a részben a téglalap alakú jelet téglalap alakú egyetlen impulzusként értjük, vagyis olyan függvényt, amely egy adott szakaszon nullától eltérő állandó értéket vesz fel, és ezen a szakaszon kívül mindenhol nullával egyenlő.
↑ Ezen túlmenően ez a probléma szorosan összefügg azzal a problémával, hogy találjunk egy olyan jelet, amelynek diszkrét spektruma azonos intenzitású, egyenlő távolságban elhelyezkedő harmonikusok diszkrét spektruma, véges frekvenciaintervallumot foglal el, és határértékben az összes frekvenciát (a fehér zaj egy változata) ).
↑ Idézőjel, mert a szabályos sokszög kifejezést itt nem használjuk szigorúan: ez azt jelenti, hogy a vonalláncunk minden szakasza egyenlő, és a szomszédosak közötti szögek egyenlőek (mint egy igazi szabályos sokszögben), de általában ez a sokszög, még akkor is, ha folytatódik, nem mindig záródik szabályos sokszögbe (a szakaszok közötti szög nem mindig teszi lehetővé, hogy a végszegmensek egybeessenek a csúcsokkal); bár bizonyos időpontokban (amikor a szög megfelelővé válik) valóban a szokásos szigorú értelemben vett szabályos sokszög része.
↑ A helyzetet némileg bonyolítja, hogy abban a pillanatban, amikor az összegvektor eléri a maximális hosszát, általában nem vízszintesen irányítható. Ennek ellenére a legjellemzőbb helyzetben, amikor a legalacsonyabb frekvencia és a frekvenciakülönbség aránya racionális szám, az eredmény (az összeg vízszintes vetülete) továbbra is az idő periodikus függvénye, és véges idő elteltével ismét eléri a maximumot. . A legáltalánosabb esetben, amikor ez az arány irracionális is lehet, még mindig azzal van dolgunk, hogy a függvény ismét olyan közel tudjon közelíteni a maximumához, amennyire csak akarja (ellentétben a folytonos spektrummal, az oszcillációs amplitúdó elég gyorsan csökken, így a helyi maximum minden további nélkül kisebb, mint az összes előző).
↑ Ennek a nyilvánvaló, intuitív megfogalmazásnak itt nem próbálunk szigorú formát adni.
↑ Nem csak optikáról beszélhetünk, hanem akusztikáról stb.; részletekben a probléma megoldása (és a válasz) némileg eltér (a polarizáció szerepeltetése, stb. miatt), de általában az itt leírt megoldási mód megegyezik. (A válasz is nagyjából hasonlónak bizonyul, legalábbis minőségileg).

Linkek

Egyfázisú váltakozó áramú áramkörök vektordiagramjai archiválva : 2014. július 3. a Wayback Machine -nél
Interaktív modell: két, a harmonikus törvénynek megfelelően változó érték összegének vektordiagramja Archiválva : 2017. június 20. a Wayback Machine -nél
Online vektordiagram szerkesztő archiválva 2020. szeptember 24-én a Wayback Machine -nél