Binomiális transzformáció

Az oldal jelenlegi verzióját még nem ellenőrizték tapasztalt közreműködők, és jelentősen eltérhet a 2017. március 21-én felülvizsgált verziótól ; az ellenőrzések 3 szerkesztést igényelnek .

A binomiális transzformáció transzformációk sorozata vagy egy sorozat transzformációja , amely kiszámítja véges különbségeit . A binomiális transzformáció fogalma szorosan kapcsolódik az Euler-transzformációhoz , amely a binomiális transzformáció sorozatra történő alkalmazásának eredménye .

Definíció

A binomiális szekvencia -szekvencia transzformáció az $T$ ${a_{n}}$ ${s_{n))$

s_{n}=\sum _{k=0}^{n}(-1)^{k}{n \choose k}a_{k}.

Vezessük be , ahol a végtelen dimenziójú, mátrixelemekből álló operátor ${\displaystyle (Ta)_{n}=s_{n))$ $T$ $T_{nk}.$

Az operátor az involúciós tulajdonsággal rendelkezik : $T$

TT=1

vagy más kifejezésekkel ,

{\displaystyle \sum _{k=0}^{\infty }T_{nk}T_{km}=\delta _{nm))

ahol

\delta

a Kronecker szimbólum .

Az eredeti sor a szabállyal visszaállítható

a_{n}=\sum _{k=0}^{n}(-1)^{k}{n \choose k}s_{k}.

A sorozatok binomiális transzformációi n jel váltakozó véges különbségek :

s_{0}=a_{0}

;

{\displaystyle s_{1}=-(\háromszög a)_{0}=-a_{1}+a_{0))

;

s_{2}=(\háromszög ^{2}a)_{0}=-(-a_{2}+a_{1})+(-a_{1}+a_{0})=a_ {2}-2a_{1}+a_{0}

;

\ldots

s_{n}=(-1)^{n}(\háromszög ^{n}a)_{0},

ahol

\háromszög

a differenciáló operátor:

\Delta _{h}(f(x))=f(x+h)-f(x).

Példa

A binomiális transzformációk táblázatokban láthatók, például ebben:

0		egy		tíz		63		324		1485
	egy		9		53		261		1161
		nyolc		44		208		900
			36		164		692
				128		528
					400

A felső sort ( 0, 1, 10, 63, 324, 1485 ) adja meg , ami az átló ( 0, 1, 8, 36, 128, 400 ) binomiális transzformációja, amelyet viszont a $3^{n-2}(2n^{2}+n)$ ${\displaystyle n^{2}2^{n-1))$

Shift

A binomiális operátor a Bell számok eltolási operátora : $Kettős}$

{\displaystyle B_{n+1}=\sum _{k=0}^{n}{n \choose k}B_{k))

Egyszerű generáló függvények

A sorozat generáló függvénye általi binomiális transzformáció a sorozatelmélethez kapcsolódik .

Hadd $\left\{{\begin{matrix}f(x)=\sum _{n=0}^{\infty }a_{n}x^{n}\\g(x)=\sum _ {n=0}^{\infty }s_{n}x^{n}\end{mátrix}}\jobbra.$

Akkor

g(x)=(Tf)(x)={\frac {1}{1-x}}f\left({\frac {x}{1-x}}\right).

(egyszerű generáló funkció)

Euler transzformáció

Az egyszerű generáló függvények közötti kapcsolatot néha Euler-transzformációnak is nevezik , amelyet például a váltakozó sorozatok konvergenciájának felgyorsítására használnak. Ha behelyettesítjük a képletbe egy egyszerű generáló függvényt , akkor azt kapjuk $x={\frac {1}{2))$

\sum _{n=0}^{\infty }(-1)^{n}a_{n}=\sum _{n=0}^{\infty }(-1)^{n} {\frac {\Delta ^{n}a_{0}}{2^{n+1}}}

amely sokkal gyorsabban konvergál, mint az eredeti sorozat.

Ez az átalakítás általánosítható a formára $p\in \mathbb {N}$

\sum _{n=0}^{\infty }(-1)^{n}{n+p \choose n}a_{n}=\sum _{n=0}^{\infty } (-1)^{n}{n+p \choose n}{\frac {\Delta ^{n}a_{0}}{2^{n+p+1}}}.

Az Euler-transzformációt a hipergeometrikus függvényre is alkalmazzuk , megszerzése ${\displaystyle _{2}F_{1))$

_{2}F_{1}(a,b;c;z)=(1-z)^{-b}\,_{2}F_{1}\left(ca,b;c; {\frac {z}{z-1}}\jobbra).

A binomiális transzformációk, és különösen az Euler-transzformáció a folyamatos törtekhez kapcsolódnak . Legyen egy folyamatos töredéke . $0<x<1$ $x=[0;a_{1},a_{2},a_{3},\cdots ]$

Akkor

\left\{{\begin{matrix}{\cfrac {x}{1-x}}=[0;a_{1}-1,a_{2},a_{3},\cdots ]; \\{\cfrac {x}{1+x}}=[0;a_{1}+1,a_{2},a_{3},\cdots ].\end{mátrix}}\jobbra.

Exponenciális generáló függvény

A rendelkezésünkre álló exponenciális függvényre

\left\{{\begin{matrix}{\overline {f}}(x)=\sum _{n=0}^{\infty }a_{n}{\frac {x^{n} }{n!));\\{\overline {g}}(x)=\sum _{n=0}^{\infty }s_{n}{\frac {x^{n}}{n! }}.\end{mátrix}}\jobbra.

Akkor

{\overline {g}}(x)=(T{\overline {f}})(x)=e^{x}{\overline {f}}(-x).

Integrálábrázolás

Ha egy sorozat egy komplex függvény interpolációjaként ábrázolható, a sorozat binomiális reprezentációja az interpolációs függvény Norlund-Rice integráljaként ábrázolható .

Binomiális transzformációk általánosítása

Lásd még

Mellin átalakul

Irodalom

John H. Conway és Richard K. Guy, 1996, The Book of Numbers
Donald E. Knuth, A számítógép-programozás művészete, 1. évf. 3 , (1973) Addison-Wesley, Reading, MA.
Helmut Prodinger, 1992, Néhány információ a binomiális transzformációról
Michael Z. Spivey és Laura L. Steil, 2006, The k-binomial Transforms and the Hankel Transforms
Borisov B. és Shkodrov V., 2007, Divergent Series in the Generalized Binomial Transform, Adv. Stud. folyt. Math., 14(1): 77-82

Linkek