Lineáris algebrai egyenletek végtelen rendszere

Az oldal jelenlegi verzióját még nem ellenőrizték tapasztalt közreműködők, és jelentősen eltérhet a 2021. november 7-én felülvizsgált verziótól ; az ellenőrzések 2 szerkesztést igényelnek .

A lineáris algebrai egyenletek végtelen rendszere a lineáris algebrai egyenletrendszer fogalmának általánosítása az ismeretlenek végtelen halmazának esetére, amelyet a funkcionális elemzés módszerei határoznak meg . Ennek nem bármely mező felett van értelme , hanem például valós és komplex számok felett. Lehetőség van egy egyszerű általánosításra is a megfelelő lineáris algebra módszereivel , amely eltér a cikkben leírtaktól.

A végtelen lineáris algebrai egyenletrendszer gyakran megjelenik a fizika és a technológia különböző problémáinak megoldása során a határozatlan együtthatók módszerével , például a hővezetési problémáknál, a Hold mozgásának perihéliumának meghatározásában a csillagászatban, a probléma megoldásában. rögzített végű téglalap alakú test statikus kihajlásának meghatározása. [egy]

Definíció

A végtelen lineáris algebrai egyenletrendszer egy végtelen elsőfokú algebrai egyenlethalmaz az ismeretlenek végtelen halmazához képest: , . A lineáris algebrai egyenletek végtelen rendszerének megoldása tetszőleges számsorozat, amelyhez minden sorozat konvergál . Egy végtelen lineáris algebrai egyenletrendszer megoldását korlátosnak nevezzük, ha a számok korlátos sorozatot alkotnak. ${\displaystyle \sum _{k=1}^{\infty }a_{ik}x_{k}=b_{i))$ $i=1,2,...$ $\left\{x_{k}\right\}$ ${\displaystyle \sum _{k=1}^{\infty }a_{ik}x_{k))$ $i=1,2,...$ $kettős}}$ $\left\{x_{k}\right\}$ $x_{k}$

Célszerű figyelembe venni a végtelen lineáris algebrai egyenletrendszereket a következő formában: , , . Egy végtelen lineáris algebrai egyenletrendszert teljesen szabályosnak nevezünk, ha létezik olyan pozitív állandó , hogy . ${\displaystyle x_{i}-\sum _{k=1}^{\infty }c_{ik}x_{k}=b_{i))$ $i=1,2,...$ ${\displaystyle c_{ik}=-a_{ik}+\delta _{ik))$ $q<1$ $\sum _{k=1}^{\infty }\left|c_{ik}\right|\leqslant q$

Egy teljesen szabályos végtelen lineáris algebrai egyenletrendszernek van egyedi korlátos megoldása a szabad kifejezések bármely korlátos gyűjteményére . Sőt, ha mindenkinek , akkor . [2] $\left\{x_{i}\right\}$ $kettős}}$ $b_{i}\leqslant B$ $i=1,2,...$ $\left|x_{i}\right|\leqslant {\frac {B}{1-q))$

Végtelen determináns

Egy végtelen lineáris egyenletrendszer együtthatói mátrixában csak az első sorokat és oszlopokat hagyhatjuk meg, és készíthetünk belőlük egy méretű négyzetmátrixot : $n$ $n$ $n\szer n$

A(n)={\begin{vmatrix}a_{11}&a_{12}&\cdots &a_{1n}\\a_{21}&a_{22}&\cdots &a_{2n}\\\cdots &a_{2n}\\\cdots &\cdots &\cdots &\cdots \\a_{n1}&a_{n2}&\cdots &a_{nn}\end{vmatrix}}

Jelöljük ennek a mátrixnak a determinánsát . $\Delta (n)=det(A(n))$

Ha van határérték: , akkor a [3] mátrixnak megfelelő végtelen determinánsnak nevezzük . $\Delta =\lim _{n\to \infty }\Delta (n)$ $a_{{ij}}$

A létezés elégséges feltétele

Képzeljük el a mátrixot új formában úgy, hogy az összes átlós tagjából kivonjuk az eggyel egyenlő összegzőt: ${\displaystyle a_{ij))$

a_{ij}={\begin{vmatrix}a_{11}&a_{12}&\cdots \\a_{21}&a_{22}&\cdots \\\cdots &\cdots &\cdots \end {vmatrix}}={\begin{vmatrix}c_{11}+1&c_{12}&\cdots \\c_{21}&c_{22}+1&\cdots \\\cdots &\cdots &\cdots \end{ vmatrix}}

Ahhoz, hogy létezzen egy végtelen mátrixdetermináns , és hasonló tulajdonságokkal rendelkezzen, mint egy közönséges determinánsé, elegendő, ha a végtelen kettős sorozatok konvergálnak . [3] $a_{{ij}}$ $\sum _{i,k=1}^{\infty }|c_{ik}|$

Lineáris algebrai egyenletek végtelen rendszerének megoldása

Ha egy végtelen lineáris algebrai egyenletrendszer mátrixának végtelen determinánsa van, és nem egyenlő nullával , és minden szabad tagja abszolút értékben korlátos (vagyis van olyan pozitív szám , hogy ), akkor ennek a rendszernek van egy egyedi értéke. korlátos megoldás (vagyis van olyan pozitív szám , hogy , hogy ) , amelyet a Cramer-képletek határoznak meg : $a_{{ij}}$ $M_{1}$ $|b_{k}|<M_{1},\forall k$ $M_{2}$ $|x_{k}|<M_{1},\forall k$

x_{k}={\frac {\Delta _{k)){\Delta ))

ahol a determináns , amelyet a determinánsból úgy kapunk, hogy a k. oszlop elemeit szabad tagokkal helyettesítjük. [négy] ${\displaystyle \Delta _{k))$ $\Delta$

Lásd még

Lineáris algebrai egyenletrendszer

Jegyzetek

↑ Szmirnov, 1933 , p. 57-61.
↑ Vulikh, 1958 , p. 215-218.
↑ 1 2 Szmirnov, 1933 , p. 64.
↑ Szmirnov, 1933 , p. 65.

Irodalom

Vulikh B.Z. Bevezetés a funkcionális elemzésbe. - M. : Fizmatlit, 1958. - 352 p. - 7500 példány.
Smirnov V. I. Felsőfokú matematika tanfolyam technikusok és fizikusok számára. 3. kötet - M . : Gostekhteorizdat, 1933. - 736 p. — 22.000 példány.