Cramer módszer

A Cramer- módszer ( Cramer- szabály) olyan lineáris algebrai egyenletrendszerek megoldására szolgáló módszer, ahol az egyenletek száma megegyezik az ismeretlenek számával, a rendszer együtthatómátrixának nem nulla fő determinánsával (sőt, az ilyen egyenleteknél a megoldás létezik és egyedi). [egy]

A módszer leírása

Ismeretlenekkel rendelkező lineáris egyenletrendszerhez (tetszőleges mező felett ) $n$ $n$

{\begin{cases}a_{11}x_{1}+a_{12}x_{2}+\ldots +a_{1n}x_{n}=b_{1}\\a_{21}x_{1} +a_{22}x_{2}+\ldots +a_{2n}x_{n}=b_{2}\\\cdots \cdots \cdots \cdots \cdots \cdots \cdots \cdots \cdots \cdots \\ a_{n1}x_{1}+a_{n2}x_{2}+\ldots +a_{nn}x_{n}=b_{n}\\\end{cases}}

a rendszermátrix nullától eltérő determinánsával a megoldást a formába írjuk $\Delta$

x_{i}={\frac {1}{\Delta }}{\begin{vmatrix}a_{11}&\ldots &a_{1,i-1}&b_{1}&a_{1,i+1}& \lpontok &a_{1n}\\a_{21}&\lpontok &a_{2,i-1}&b_{2}&a_{2,i+1}&\lpontok &a_{2n}\\\lpontok &\lpontok & \lpontok &\lpontok &\lpontok &\lpontok &\lpontok \\a_{n-1,1}&\lpontok &a_{n-1,i-1}&b_{n-1}&a_{n-1,i +1}&\lpontok &a_{n-1,n}\\a_{n1}&\lpontok &a_{n,i-1}&b_{n}&a_{n,i+1}&\lpontok &a_{nn} \\\end{vmátrix}}

(a rendszermátrix i-edik oszlopát a szabad kifejezések oszlopa váltja fel).
Egy másik formában a Cramer-szabály a következőképpen fogalmazódik meg: bármely c 1 , c 2 , ..., c n együtthatóra igaz az egyenlőség:

(c_{1}x_{1}+c_{2}x_{2}+\pontok +c_{n}x_{n})\cdot \Delta =-{\begin{vmatrix}a_{11}&a_{12 }&\lpontok &a_{1n}&b_{1}\\a_{21}&a_{22}&\lpontok &a_{2n}&b_{2}\\\lpontok &\lpontok &\lpontok &\lpontok &\lpontok \ \a_{n1}&a_{n2}&\lpontok &a_{nn}&b_{n}\\c_{1}&c_{2}&\lpontok &c_{n}&0\\\end{vmatrix}}

Ebben a formában Cramer módszere érvényes anélkül, hogy feltételeznénk, hogy különbözik a nullától, még csak nem is szükséges, hogy a rendszer együtthatói egy integrálgyűrű elemei legyenek (a rendszer determinánsa akár nulla osztó is lehet a gyűrűben együtthatók). Feltételezhetjük azt is, hogy vagy a és a halmazok , vagy a halmaz nem a rendszer együtthatógyűrűjének elemeiből áll, hanem egy ezen a gyűrűn lévő modulból . Ebben a formában a Cramer-képletet például a Gram-determináns és a Nakayama-lemma képletének bizonyítására használják . $\Delta$ $b_{1},b_{2},...,b_{n}$ $x_{1},x_{2},...,x_{n}$ $c_{1},c_{2},...,c_{n}$

Példa

Lineáris egyenletrendszer valós együtthatókkal:

{\begin{cases}a_{11}x_{1}+a_{12}x_{2}+a_{13}x_{3}=b_{1}\\a_{21}x_{1}+a_{ 22}x_{2}+a_{23}x_{3}=b_{2}\\a_{31}x_{1}+a_{32}x_{2}+a_{33}x_{3}=b_ {3}\\\end{cases}}

Selejtezők:

{\textstyle \Delta ={\begin{vmatrix}a_{11}&a_{12}&a_{13}\\a_{21}&a_{22}&a_{23}\\a_{31}&a_{32}&a_{ 33}\\\end{vmatrix}},\ \ \Delta _{1}={\begin{vmatrix}b_{1}&a_{12}&a_{13}\\b_{2}&a_{22}&a_{ 23}\\b_{3}&a_{32}&a_{33}\\\end{vmatrix}},\ \ }

\Delta _{2}={\begin{vmatrix}a_{11}&b_{1}&a_{13}\\a_{21}&b_{2}&a_{23}\\a_{31}&b_{3}&a_ {33}\\\end{vmatrix}},\ \ \Delta _{3}={\begin{vmatrix}a_{11}&a_{12}&b_{1}\\a_{21}&a_{22}&b_ {2}\\a_{31}&a_{32}&b_{3}\\\end{vmatrix}}

A determinánsokban a megfelelő ismeretlenhez tartozó együtthatók oszlopát a rendszer szabad tagjainak oszlopa helyettesíti.

Megoldás:

x_{1}={\frac {\Delta _{1)){\Delta )),\ \ x_{2}={\frac {\Delta _{2)){\Delta )),\ \ x_{ 3}={\frac {\Delta _{3)){\Delta }}

Példa:

{\begin{cases}2x_{1}+5x_{2}+4x_{3}=30\\x_{1}+3x_{2}+2x_{3}=150\\2x_{1}+10x_{2 }+9x_{3}=110\\\end{cases}}

Selejtezők:

\Delta ={\begin{vmatrix}2&5&4\\1&3&2\\2&10&9\\\end{vmatrix}}=5,\ \ \Delta _{1}={\begin{vmatrix}30&5&4\\150&3&2\\110&10&9\ \\end{vmatrix}}=-760,\ \

\Delta _{2}={\begin{vmatrix}2&30&4\\1&150&2\\2&110&9\\\end{vmatrix}}=1350,\ \ \Delta _{3}={\begin{vmatrix}2&5&30\\1&3&150 \\2&10&110\\\end{vmatrix}}=-1270.

$x_{1}=-{\frac {760}{5}}=-152,\ \ x_{2}={\frac {1350}{5}}=270,\ \ x_{3}=-{\ frac {1270}{5}}=-254$

Számítási összetettség

A Cramer-módszer megköveteli a mérethatározók kiszámítását . Ha Gauss-módszert használunk a determinánsok kiszámítására, a módszer bonyolult a sorrend összeadás-szorzás elemi műveleteiben , ami a rendszer közvetlen megoldása során nehezebb, mint a Gauss-módszer . Ezért a módszert a számításokra fordított idő szempontjából nem tartották praktikusnak. 2010- ben azonban bebizonyosodott, hogy a Cramer-módszer a Gauss-módszerével összemérhető bonyolultsággal [2] valósítható meg . $n+1$ $n\szer n$ $O(n^{4})$ $O(n^{3})$

Irodalom

Malcev I. A. A lineáris algebra alapjai. - Szerk. 3., átdolgozott, M .: "Nauka", 1970. - 400 p.

Jegyzetek

↑ Cramer, Gabriel. Introduction à l'Analyse des lignes Courbes algébriques (francia) 656–659. Genf: Europeana (1750). Letöltve: 2012. május 18.
↑ Ken Habgood és Itamar Arel. 2010. Cramer szabályának újragondolása a sűrű lineáris rendszerek megoldására. A 2010-es tavaszi szimulációs többkonferencia (SpringSim '10) anyaga

Lásd még

Gauss módszer

Az SLAE megoldásának módszerei
Közvetlen módszerek	Mátrix módszer Gauss módszer Gauss-Jordan módszer Cramer módszer LU bomlás Cholesky-bomlás Sweep módszer
Iteratív módszerek	Jacobi módszer Gauss-Seidel módszer Iterációs módszer Relaxációs módszer Konjugált gradiens módszer Bikonjugált gradiens módszer Stabilizált bikonjugátum gradiens módszer
Tábornok	inverz mátrix Vetítési módszerek SLAE megoldására Előkondicionálás