Poisson kernel

A Poisson -kernel a kétdimenziós Laplace-egyenlet megoldására használt kernel , figyelembe véve a Dirichlet-féle peremfeltételeket az egységkörben . A kernelt a Laplace-egyenlet Green-függvényének deriváltjaként ábrázolhatjuk . Az atommag S. Poisson nevéhez fűződik .

A Poisson kernel fontos szerepet játszik a komplex elemzésben, mert a Poisson kernel integrálja - a Poisson integrál - kiterjeszti az egységkörön definiált függvényt az egységkörön definiált harmonikus függvényre . Definíció szerint a harmonikus függvények a Laplace-egyenlet megoldásai, és - kétdimenziós esetben - ekvivalensek a meromorf függvényekkel . Így a kétdimenziós Dirichlet-probléma lényegében hasonló a tartomány határán definiált függvény meromorf folytatásának megtalálásának problémájához . Lehetőség van a Poisson kernel definícióinak kiterjesztésére az n-dimenziós esetre is.

A Poisson kerneleket általában a szabályozáselméletben és az elektrosztatikában alkalmazzák .

A Poisson kernel kétdimenziós esetben

Az összetett síkon a Poisson kernelt a $P_{r}(\theta )$

P_{r}(\theta )=\sum _{n=-\infty }^{\infty }r^{|n|}e^{in\theta }={\frac {1-r^ {2}}{1-2r\cos \theta +r^{2}}}=\operátornév {Re} \left({\frac {1+re^{i\theta }}{1-re^{i \theta }}}\jobbra),\ \ \ 0\leq r<1.

Ez a képlet két oldalról tekinthető: függvénynek vagy függvénycsaládnak $r(\Theta )$ ${\displaystyle \Theta _{r))$ $0\leq r<1.$

Ha a tartomány olyan, hogy az egységkör a komplex Lebesgue térben, és ha a függvény adott a tartományban , akkor a függvény $D$ $D=\{z:|z|<1\}$ $f$ $D$

u(re^{i\theta })={\frac {1}{2\pi }}\int _{-\pi }^{\pi }P_{r}(\theta -t)f (e^{it})\,\mathrm {d} t,\ \ \ 0\leq r<1

egy harmonikus függvény a régióban $D.$

Mivel a függvény peremfeltételei egybeesnek a függvény peremfeltételeivel , akkor at határozza meg a konvolúciót a térben $u$ $f$ $r\rightarrow 1\ \ P_{r}(\theta )$ $L^{p}(T).$

Az ezzel a közelítéssel végzett konvolúciók példát mutatnak a kernel összegzésére Fourier sorozatokhoz térben Legyen a függvénynek Fourier sorozata Fourier transzformáció után a konvolúciót megszorozzuk a sorozattal $L^{1}.$ $f\in L^{1}(T)$ $\{f_{k}\}.$ $P_{r}(\theta )$ $\{r^{k}\}\in L^{1}(Z).$

Irodalom

Conway, John B. (1978), Functions of One Complex Variable I , Springer-Verlag, ISBN 0-387-90328-3 .
Axler, S.; Bourdon, P. & Ramey, W. (1992), Harmonic Function Theory , Springer-Verlag, ISBN 0-387-95218-7 .
King, Frederick W. (2009), Hilbert Transforms Vol. I , Cambridge University Press, ISBN 978-0-521-88762-5 .
Stein, Elias és Weiss, Guido (1971), Bevezetés az euklideszi terek Fourier-analízisébe , Princeton University Press, ISBN 0-691-08078-X .
Weisstein, Eric W. Poisson Kernel (angol) a Wolfram MathWorld webhelyén .
Gilbarg, D. & Trudinger, N. , Másodrendű elliptikus parciális differenciálegyenletek , ISBN 3-540-41160-7 .