Hermitikus mátrix

Az oldal jelenlegi verzióját még nem ellenőrizték tapasztalt közreműködők, és jelentősen eltérhet a 2021. november 24-én felülvizsgált verziótól ; az ellenőrzések 4 szerkesztést igényelnek .

A hermitikus (vagy önadjungált ) mátrix egy négyzetmátrix, amelynek elemei komplex számok , és amely transzponálva egyenlő a következő komplex konjugátummal: . Vagyis bármely oszlopra és sorra igaz az egyenlőség $A^{T}=\overline {A}$ $én$ $j$

a_{{i,\;j}}=\overline {a_{{j,\;i}}},

hol van a k komplex konjugált szám ,

{\overline {a}}

a

vagy

A=({\overline {A)))^{T}=A^{*}=A^{\tőr },

hol van a remete ragozás ${}^{*}$

{\displaystyle {}^{\dagger ))

a Hermitiánus konjugációs operátor (jelölés a kvantummechanikában ).

Például mátrix

{\begin{bmatrix}5&2+i\\2-i&7\end{bmátrix}}

remetei.

Ennek megfelelően az antihermitikus mátrix egy olyan négyzetmátrix, amelynek elemei kielégítik a vagy a egyenlőséget . $a_{{i,\;j}}=-\overline {a_{{j,\;i}}}$ $A=-A^{*}$

A Hermitiánus mátrix nevét onnan kapta, hogy Charles Hermite 1855-ben kimutatta, hogy az ilyen alakú mátrixoknak, akárcsak a szimmetrikus mátrixoknak , van valódi sajátértékük .

Alaptulajdonságok

A Hermitiánus mátrix normális .

A Hermitiánus mátrix átlós elemei valóságosak .

Egy valódi Hermiti mátrix (azaz olyan, amelynek minden eleme valós szám) szimmetrikus :

Hasonlóképpen, egy tisztán képzeletbeli hermitiánus mátrix (valós összetevők nélküli elemekkel) ferde-szimmetrikus .

A Hermitiánus mátrix determinánsa egy valós szám.

Két hermitiánus mátrix összege hermitiánus.

A hermitiánus mátrix inverze is hermitikus, ha létezik.

Két hermitikus mátrix szorzata akkor és csak akkor hermitikus, ha egymással ingáznak, vagyis ha . $AB=BA$

Hermitiánus mátrix esetén minden sajátérték valós, és a sajátvektorok egy ortonormális rendszerbe gyűjthetők .

A Hermit-mátrix különböző sajátértékeknek megfelelő sajátvektorai merőlegesek. De ha két sajátvektor felel meg egy sajátértéknek, akkor nem feltétlenül ortogonálisak egymásra, hanem ortogonálisak az összes többi sajátértéknek megfelelő sajátvektorra.

A Hermitiánus mátrix Jordan formája átlós .

További tulajdonságok

Bármely négyzetmátrix és hermitikus konjugátumának összege hermitikus. $B$ $B^{*}$ $(B+B^{*})$
Bármely négyzetes mátrix és a hozzá tartozó hermitiánus mátrix különbsége antihermitikus, azaz . $B$ $B^{*}$ $(BB^{*})$ $BB^{*}=-(BB^{*})^{*}$
Bármely C négyzetmátrix ábrázolható egy hermitiánus és egy antihermitikus mátrix összegeként:

C=A+B

, és ezek a kifejezések egyedileg meghatározottak: , . Remeteségük és antihermitizmusuk a két korábbi állításból következik.

A=(C+C^{*})/2

B=(CC^{*})/2

Lásd még

Linkek

Hermitiánus mátrixok / Mathpages
2.9 Hermitiánus mátrixok (hozzáférhetetlen link) / P. Lancaster MATRIX THEORY, Nauka Publishing House, Fizikai és matematikai irodalom főkiadása, 1973, 75-79.