Tehetetlenségi ellipszoid

A tehetetlenségi ellipszoid (az O ponthoz) egy másodrendű felület formájú geometriai alakzat , amely egy merev test tehetetlenségi tenzorát jellemzi az O ponthoz képest.

A tehetetlenségi tenzor és a tehetetlenségi ellipszoid

Főcikk : Tehetetlenségi tenzor

A test tehetetlenségi nyomatékát a következő általános képlet adja meg:

I=\int {\mathbf r}_{{\bot }}^{2}\,dm

A merev test tehetetlenségi tenzorát szimmetrikus mátrixként ábrázoljuk

{\begin{pmatrix}I_{{xx}}&I_{{xy}}&I_{{xz}}\\I_{{yx}}&I_{{yy}}&I_{{yz}}\\I_{{zx }}&I_{{zy}}&I_{{zz}}\end{pmatrix}}

amelyben az elemek a különböző tengelyekre vonatkozó tehetetlenségi nyomatékok:

$I_{{xx}}=\int (y^{2}+z^{2})\,dm$
$I_{{yy}}=\int (x^{2}+z^{2})\,dm$
$I_{{zz}}=\int (x^{2}+y^{2})\,dm$

$I_{{xy}}=I_{{yx}}=-\int xy\,dm$
$I_{{xz}}=I_{{zx}}=-\int xz\,dm$
$I_{{yz}}=I_{{zy}}=-\int yz\,dm$

A tehetetlenségi tenzor mátrix ábrázolható átlós formában , majd a , , átlós elemek lesznek a test fő tehetetlenségi nyomatékai. A tehetetlenségi ellipszoid egyenletét ezután a következőképpen írjuk fel: $I_{x}$ ${\displaystyle I_{y))$ ${\displaystyle I_{z))$

$I_{x}x^{2}+I_{y}y^{2}+I_{z}z^{2}=1$

Ebben az esetben az ellipszoid koordináta tengelyeinek egybe kell esnie a test fő tengelyeivel.

A tehetetlenségi ellipszoid ismerete lehetővé teszi, hogy megtalálja a test tehetetlenségi nyomatékát bármely tengely körül, mindaddig, amíg az áthalad az ellipszoid közepén. Ehhez egy sugárvektort rajzolunk a kiválasztott tengely mentén, amíg az nem metszi a tehetetlenségi ellipszoidot. A test tehetetlenségi nyomatékát a tengely körül a következő képlet adja meg:

$I={\frac {1}{r^{2}}}$ , ahol a sugárvektor hossza. $r$

Ha a külső erők fix ponthoz viszonyított nyomatéka nulla, akkor azt mondják, hogy a merev test mozgásának Euler-esete megvalósul. Ilyen esetre Poinsot -nak sikerült világos geometriai értelmezést kapnia: a fix pont tehetetlenségi ellipszoidja úgy gördül, hogy nem csúszik végig egy térben rögzített síkon; ez a sík merőleges a test szögimpulzus -vektorára ; a test szögsebessége arányos az érintkezési pont sugárvektorának hosszával, és irányában egybeesik vele.

Példák tehetetlenségi ellipszoidokra

Téglalap alakú paralelepipedon

Legyenek a paralelepipedonnak méretei . A fő tehetetlenségi nyomatékok: ${\megjelenítési stílus a,b,c}$

I_{x}={\frac {m}{12}}(b^{2}+c^{2}),\quad I_{y}={\frac {m}{12}}(a^{ 2}+c^{2}),\quad I_{z}={\frac {m}{12}}(a^{2}+b^{2})

Az ábrán a tehetetlenségi ellipszoid hozzávetőleges képe látható.

Egy végtelenül hosszú vékony rúd tehetetlenségi ellipszoidjának kiszámításához az egyik méretet sokkal nagyobbnak tekintjük, mint a többit, és az ellipszoid hengeres felületté degenerálódik .

Irodalom

Sivukhin D.V. A fizika általános kurzusa. - 4. kiadás — M. : FIZMATLIT; MIPT Kiadó, 2005. - 1. évf. Mechanika. - S. 311. - 560 p. — ISBN 5-9221-0225-7 .
Laboratóriumi műhely az általános fizikáról / A.D. Gladun. - M. : MIPT, 2004. - T. 1. Mechanika. - S. 133. - 316 p. — ISBN 5-7417-0202-3 .
Landau L.D., Lifshitz E.M. Elméleti fizika. - 5. kiadás - M. : FIZMATLIT, 2007. - T. 1. Mechanika. - S. 131. - 224 p. - ISBN 978-5-9221-0819-5 .