Valószínűségi változó karakterisztikus függvénye

A valószínűségi változó karakterisztikus függvénye az eloszlás megadásának egyik módja . A karakterisztikus függvények kényelmesebbek lehetnek olyan esetekben, amikor például a sűrűség- vagy eloszlásfüggvénynek nagyon összetett formája van. Ezenkívül a karakterisztikus függvények kényelmes eszközt jelentenek a gyenge konvergencia (eloszlási konvergencia) kérdéseinek tanulmányozására . Yu.V. _ Linnik , I.V. Osztrovszkij, K.R. Rao , B. Ramachandran.

Definíció

Legyen egy eloszlású valószínűségi változó . Ekkor a karakterisztikus függvényt a következő képlet adja meg: $x$ $\mathbb {P} ^{X}$

\phi _{X}(t)=\mathbb {E} \left[e^{itX}\right]

A matematikai elvárás kiszámítására szolgáló képletekkel a karakterisztikus függvény definíciója átírható a következőképpen:

\phi _{X}(t)=\int \limits _{-\infty }^{\infty }e^{itx}\,\mathbb {P} ^{X}(dx)

vagyis a karakterisztikus függvény egy valószínűségi változó eloszlásának inverz Fourier-transzformációja .

Ha egy valószínűségi változó egy tetszőleges Hilbert-térben vesz fel értéket , akkor jellemző függvénye a következő: $x$ ${\mathcal {H}}$

\phi _{X}(t)=\mathbb {E} \left[e^{i\langle t,X\rangle }\right],\;\forall t\in {\mathcal {H))

ahol a pontszorzatot jelöli -ben . $\langle \cdot ,\cdot \rangle$ ${\mathcal {H}}$

Diszkrét és abszolút folytonos valószínűségi változók

Ha a valószínűségi változó diszkrét , azaz , akkor $x$ $\mathbb {P} (X=x_{k})=p_{k},\;k=1,2,\lpont$

\phi _{X}(t)=\sum _{k=1}^{\infty }e^{itx_{k}}\,p_{k}

Példa. Legyen egy Bernoulli-eloszlás . Akkor $x$

\phi _{X}(t)=e^{it\cdot 1}\cdot p+e^{it\cdot 0}\cdot q=pe^{it}+q

Ha a valószínűségi változó abszolút folytonos , azaz sűrűsége van , akkor $x$ $f_{X}(x)$

\phi _{X}(t)=\int \limits _{-\infty }^{\infty }e^{itx}\,f_{X}(x)\,dx

Példa. Legyen szabványos folytonos egyenletes eloszlása . Akkor $X\simU[0,1]$

\phi _{X}(t)=\int \limits _{0}^{1}e^{itx}\cdot 1\,dx=\left.{\frac {e^{itx}}{it} }\right\vert _{0}^{1}={\frac {e^{it}-1}{it}}

Jellemző függvények tulajdonságai

A karakterisztikus függvény egyedileg határozza meg az eloszlást. Legyen két valószínűségi változó, és . Akkor . Különösen, ha mindkét mennyiség abszolút folytonos, akkor a karakterisztikus függvények egybeesése magában foglalja a sűrűségek egybeesését. Ha mindkét valószínűségi változó diszkrét, akkor a karakterisztikus függvények egybeesése a valószínűségi függvények egybeesését vonja maga után. $X,Y$ $\phi _{X}(t)=\phi _{Y}(t),\;\forall t$ $\mathbb {P} ^{X}=\mathbb {P} ^{Y}$
A karakterisztikus függvény mindig korlátos:

|\phi _{X}(t)|\leq 1,\ \forall t\in \mathbb {R}

A karakterisztikus függvény nullánál egyenlő eggyel:

\phi _{X}(0)\ =1

A karakterisztikus függvény mindig egyenletesen folytonos : . $\phi _{X}\in C(\mathbb {R})$
A karakterisztikus függvény egy valószínűségi változó függvényében homogén:

\phi _{aX}(t)=\phi _{X}(at),\;\forall a\in \mathbb {R}

A független valószínűségi változók összegének karakterisztikus függvénye megegyezik jellemző függvényeik szorzatával. Legyenek független valószínűségi változók. Jelöljük . Akkor $X_{1},\lpontok ,X_{n}$ $S_{n}=\sum \limits _{i=1}^{n}X_{i}$

\phi _{S_{n}}(t)=\prod \limits _{i=1}^{n}\phi _{X_{i}}(t)

A karakterisztikus függvény hermitikus: minden valós értékre igaz az egyenlőség , ahol a komplex konjugált függvényt jelenti [1] . $t$ $\phi _{X}(-t)={\overline {\phi }}_{X}(t)$ ${\overline {\phi ))_{X}(t)$ $\phi _{X}(t)$
Inverziós tétel (Levi). Legyen az eloszlásfüggvény és a karakterisztikus függvénye. Ha és a folytonossági pontok , akkor $F$ $\phi$ $a$ $b$ $F$

F(b)-F(a)={\frac {1}{2\pi }}\lim _{T\to \infty }\int _{-T}^{+T}{\frac {e^ {-ita}-e^{-itb}}{it}}\,\phi (t)\,dt.

A karakterisztikus függvény pozitívan definiált: minden egész számra , bármely valós számra és bármely komplex számra igaz a [2] egyenlőtlenség . Itt egy szám összetett konjugátumát jelenti . $m>0$ ${\displaystyle u_{1},u_{2},...,u_{m))$ ${\displaystyle z_{1},z_{2},...,z_{m))$ $\sum _{i,j=1}^{m}\varphi (u_{i}-u_{j})z_{i}{\bar {z_{j))}\geqslant 0$ ${\displaystyle {\bar {z_{j))))$ ${\displaystyle z_{j))$

Pillanatok számítása

Ha a valószínűségi változónak van egy kezdeti th momentum , akkor a karakterisztikus függvénynek van egy folytonos th deriváltja , azaz , és ráadásul: $x$ $n$ $n$ $\phi _{X}\in C^{n}(\mathbb {R} )$

i^{n}\left.\mathbb {E} \left[X^{n}\right]={\frac {d^{n}}{dt^{n}}}\phi _{X}( t)\right\vert _{t=0}

Inverz Fourier transzformáció

Adjunk meg egy valószínűségi változót, amelynek karakterisztikus függvénye egyenlő -vel . Akkor $x$ $\phi _{X}(t)\$

ha diszkrét és egész értékeket vesz fel, akkor $x$

\mathbb {P} (X=k)={\frac {1}{2\pi }}\int \limits _{-\pi }^{\pi }e^{-itk}\,\phi _{ X}(t)\,dt,\;k\in \mathbb {Z}

;

ha abszolút folytonos, és a sűrűsége, akkor $x$ $f_{X}(x)$

f_{X}(x)={\frac {1}{2\pi }}\int \limits _{-\infty }^{\infty }e^{-itx}\,\phi _{X}( t)\,dt,\;x\in \mathbb {R}

Elegendő feltételek

Ahhoz , hogy egy függvény valamely valószínűségi változó karakterisztikus függvénye legyen, elegendő , ha nem negatív, páros, folytonos, lefelé konvex függvény, és ( Titchmarsh - Polyi tétel ) esetén. $\varphi (t)$ $\varphi (t)$ $\varphi (0)=1$ $\varphi (t)\jobbra 0$ $t\rightarrow\infty$

Szükséges és elégséges feltételek

Legyen folytonos függvény és . Ahhoz, hogy egy függvény karakterisztikus legyen, szükséges és elegendő, hogy pozitív határozott függvény legyen, azaz minden egész számra , bármely valós számra és bármilyen komplex számra teljesül az egyenlőtlenség ( Bochner-Khinchin tétel ). Itt a [2] komplex konjugátumát jelenti . $\varphi (u)$ $u\in R^{n}$ $\varphi (0)=1$ $\varphi (u)$ $m>0$ ${\displaystyle u_{1},u_{2},...,u_{m))$ ${\displaystyle z_{1},z_{2},...,z_{m))$ $\sum _{i,j=1}^{m}\varphi (u_{i}-u_{j})z_{i}{\bar {z_{j))}\geqslant 0$ ${\displaystyle {\bar {z_{j))))$ ${\displaystyle z_{j))$

Lásd még

Levi-féle folytonossági tétel (karakterisztikus függvények módszere).
Direkt és inverz határérték tétel
Titchmarsh-Poyi tétel
Bochner-Khinchin tétel

Jegyzetek

↑ B. Ramachandran karakterisztikus függvények elmélete, M., Nauka, 1975
↑ 1 2 Korolyuk V. S. , Portenko N. I., Skorokhod A. V. , Turbin A. F. A valószínűségszámítás és a matematikai statisztika kézikönyve. - M., Nauka, 1985. - p. 65

Irodalom

Linnik Yu.V. , Osztrovszkij I.V. Valószínűségi változók és vektorok dekompozíciói, Nauka, M., 1972.
Lukács E. Jellemző függvények. - M., Nauka, 1979. - 424 p.