Direkt és inverz határérték tétel

A karakterisztikus függvények alkalmazása szempontjából a valószínűségszámítás aszimptotikus formuláinak levezetése szempontjából a legfontosabb két határtétel - a direkt és az inverz. Ezek a tételek megállapítják, hogy az eloszlásfüggvények és a karakterisztikus függvények között fennálló megfelelés nemcsak egy az egyhez, hanem folytonos is.

Direkt és inverz határérték tétel

Közvetlen határérték tétel

Ha az eloszlásfüggvények sorozata gyengén konvergál az eloszlásfüggvényhez , akkor a megfelelő karakterisztikus függvények sorozata pontszerűen konvergál a karakterisztikus függvényhez . $F_{n}$ $F$ $n\jobbra nyíl\infty$ ${\displaystyle \left\{f_{n}\right\))$ $f$

Más szavakkal

Ha , akkor minden ponton .

F_{n}\left(x\right)\Rightarrow F\left(x\right)

f_{n}\left(t\right)\rightarrow f\left(t\right)

t

Inverz határérték tétel

Konvergáljon egy karakterisztikus függvénysorozat pontszerűen a 0 pontban folytonos függvényhez . Ekkor a megfelelő eloszlásfüggvények sorozata gyengén konvergál a függvényhez , és az eloszlásfüggvénynek megfelelő karakterisztikus függvény . ${\displaystyle \left\{f_{n}\right\))$ $f$ $F_{n}$ $F$ $f$ $F$

A közvetlen határérték tétel bizonyítása

Ennek a tételnek a bizonyítása közvetlenül következik a második Helly-tételből és a karakterisztikus függvény definíciójából:

Függvényként vesszük , és paraméterként tekintjük a és paramétereket. $g$ $g\left(x\right)=e^{itx},x\in R$ $én$ $t$

Megjegyzés

A jellemző függvények sorozatának pontszerű konvergenciája ebben a tételben helyettesíthető egyenletes konvergenciával bármely kompakt halmazon -ból . $R$

Az inverz határérték tétel bizonyítása

Legyen a karakterisztikus függvények sorozatának megfelelő eloszlásfüggvények sorozata . Helly első tételéből következik , hogy létezik egy gyengén konvergens részsorozat $F_{n}$ $f_{{n}}$

\left\{F_{n_{k}}\right\}\subset \left\{{F_{n}}\right\},

oly módon, hogy

F_{n_{k}}\Rightarrow F_{n}

Bizonyítsuk be, hogy ez egy eloszlásfüggvény. Ehhez elég azt mutatni $F$ $F\left(+\infty \right)-F\left(-\infty \right)=1$

Ennek bizonyításához szükségünk van a következő egyenlőtlenségre: legyen egy tetszőleges valószínűségi változó karakterisztikus függvénye, majd bármely ill . $\xi$ $f$ $\tau >0$ $x>0$

P\left(\left|\xi \right|\leq x\right)\geq {\frac {\left|{\frac {1}{2\tau }}\int _{-\tau } ^{\tau }f\left(t\right)dt\right|-{\frac {1}{\tau x}}}{1-{\frac {1}{\tau x}}}}

Hagyjuk , akkor az egyenlőtlenség formát ölt $\tau x=2$

P\left(\left|\xi \right|\leq x\right)\geq {\frac {\left|{\frac {1}{2\tau }}\int _{-\tau } ^{\tau }f\left(t\right)dt\right|-{\frac {1}{2}}}{1-{\frac {1}{2}}}}=2\left|{ \frac {1}{2\tau }}\int _{-\tau }^{\tau }f\left(t\right)dt\right|-1

Bizonyítsuk be az egyenlőtlenséget . A karakterisztikus függvény definíciójából és a Fubini-tételből az következik $P\left(\left|\xi \right|\leq x\right)\geq {\frac {\left|{\frac {1}{2\tau }}\int _{-\tau } ^{\tau }f\left(t\right)dt\right|-{\frac {1}{\tau x}}}{1-{\frac {1}{\tau x}}}}$

\left|{\frac {1}{2\tau }}\int _{-\tau }^{\tau }f\left(t\right)dt\right|=\left|{\frac {1}{2\tau }}\int _{-\tau }^{\tau }{\mathsf {M}}e^{it\xi }dt\right|=\left|{\frac {1} {2\tau }}{\mathsf {M}}\int _{-\tau }^{\tau }e^{it\xi }dt\right|=\left|{\frac {1}{2\ tau }}{\mathsf {M}}{\frac {\sin {\tau \xi }}{\xi }}\right|=

=\left|{\frac {1}{\tau }}{\mathsf {M}}{\frac {\sin {\tau \xi }}{\xi }}\right|I_{\left \{\left|\xi \right|\leq x\right\}}+\left|{\frac {1}{\tau }}{\mathsf {M}}{\frac {\sin {\tau \ xi )){\xi ))\right|I_{\left\{\left|\xi \right|>x\right\))\leq {\mathsf {M))\left|{\frac {\sin {\tau \xi }}{\tau \xi }}\right|I_{\left\{\left|\xi \right|\leq x\right\}}+{\mathsf {M}}\left| {\frac {\sin {\tau \xi }}{\tau \xi }}\right|I_{\left\{\left|\xi \right|>x\right\}}\leq P\left( \left|\xi \right|\leq x\right)+{\frac {1}{\tau x}}\left(1-P\left(\left|\xi \right|\leq x\right) \jobb)

Mivel a függvény egy pontban folytonos és pontonkénti határértéke a karakterisztikus függvényeknek , akkor bármelyikre létezik olyan, amelyik mindegyikre kielégíti az egyenlőtlenséget $f$ $0$ ${\displaystyle \left\{f_{n}\right\))$ $f\left(0\right)=1$ $\varepsilon >0$ $\tau _{0}>0$ $\tau$ $0<\tau \leq \tau _{0},$

\left|{\frac {1}{2\tau }}\int _{-\tau }^{\tau }f\left(t\right)dt\right|>1-{\frac { \varepsilon }{4}}

A következőkből mindenkinek és azért $f_{n}\rightarrow f$ $n\jobbra nyíl\infty$ $n>n_{0}$ $\tau \in (0;\tau _{0}],$

\left|{\frac {1}{2\tau }}\int _{-\tau }^{\tau }f_{n}\left(t\right)dt-{\frac {1} {2\tau }}\int _{-\tau }^{\tau }f\left(t\right)dt\right|<{\frac {\varepsilon }{4}}

Következik az egyenlőtlenségekből és abból , hogy mindenre és olyanra , hogy $\left|{\frac {1}{2\tau }}\int _{-\tau }^{\tau }f\left(t\right)dt\right|>1-{\frac { \varepsilon }{4}}$ $\left|{\frac {1}{2\tau }}\int _{-\tau }^{\tau }f_{n}\left(t\right)dt-{\frac {1} {2\tau }}\int _{-\tau }^{\tau }f\left(t\right)dt\right|<{\frac {\varepsilon }{4}}$ $n>n_{0}$ $\tau$ ${\displaystyle 0<\tau \leq \tau _{0))$

\left|{\frac {1}{2\tau }}\int _{-\tau }^{\tau }f_{n}\left(t\right)dt\right|>1-{ \frac {\varepsilon }{2}}

Az egyenlőtlenségektől és mi $\left|{\frac {1}{2\tau }}\int _{-\tau }^{\tau }f_{n}\left(t\right)dt\right|>1-{ \frac {\varepsilon }{2}}$ $\left|{\frac {1}{2\tau }}\int _{-\tau }^{\tau }f_{n}\left(t\right)dt-{\frac {1} {2\tau }}\int _{-\tau }^{\tau }f\left(t\right)dt\right|<{\frac {\varepsilon }{4}}$

F_{n_{k}}\left({\frac {2}{\tau }}\right)-F{n_{k}}\left(-{\frac {2}{\tau }} -0\right)\geq P\left(\left|\varepsilon _{n_{k))\right|\leq {\frac {\tau }{2))\right)\geq 2\left(1- {\frac {\varepsilon }{2}}\right)-1=1-\varepsilon

mindenkinek és . Az utolsó egyenlőtlenségből az önkény miatt kapjuk $n>n_{0}$ ${\displaystyle 0<\tau \leq \tau _{0))$ $\tau$ $\varepsilon$

F\left(+\infty \right)-F\left(-\infty \right)=1

vagyis az eloszlásfüggvény. A közvetlen határérték tételből a bizonyítottból következik $F$

f_{n_{k}}\left(t\right){\underset {n_{k}\rightarrow \infty }{\rightarrow }}\int _{-\infty }^{\infty }e^ {itx}dF\left(x\right),t\in \mathbb {R}

De a tétel szerint

f_{n}\left(t\right){\underset {n\rightarrow \infty }{\rightarrow }}f\left(t\right),t\in \mathbb {R}

Következésképpen

f\left(t\right)=\int _{-\infty }^{\infty }e^{itx}dF\left(x\right)

az eloszlásfüggvénynek megfelelő karakterisztikus függvény

F

Most bizonyítsuk be

F_{n}{\underset {n\rightarrow \infty }{\Rightarrow }}F

Tegyük fel az ellenkezőjét , hagyjuk

F_{n}\nJobbra F

at . Ekkor létezik , és és eloszlásfüggvények

n\jobbra nyíl\infty

\left\{F_{m_{k}}\right\}\subset \left\{F_{n}\right\},F_{m_{k}}\Rightarrow F^{*},F^ {*}\neq F

F

F^{*}

A közvetlen határeloszlás tétele szerint megvan

f_{n_{k}}\left(t\right)\rightarrow f\left(t\right),f_{m_{k}}\left(t\right)\rightarrow f^{*}\ bal (t\jobb), k\jobbra \infty

és az egyediségtétel alapján, de ez nem lehet, hiszen $f\left(t\right)\neq f^{*}\left(t\right)$

f_{n}\left(t\right){\underset {n\rightarrow \infty }{\rightarrow }}f\left(t\right)

Következésképpen

f\left(t\right)=f^{*}\left(t\right)

A tétel bizonyítást nyert.

Irodalom

Lazakovich N.V., Stashulenok S.P., Yablonsky O.L. Valószínűségi tanfolyam. - 2003. - 322 p.
Sevastyanov B.A. Valószínűségszámítás és matematikai statisztika tanfolyam. - 1982. - 244 p.

Direkt és inverz határérték tétel