Helly első és második tétele

Az oldal jelenlegi verzióját még nem ellenőrizték tapasztalt hozzászólók, és jelentősen eltérhet a 2017. augusztus 25-én felülvizsgált verziótól ; az ellenőrzéshez 1 szerkesztés szükséges .

Egy az egyhez megfelelés van az eloszlásfüggvények és a rájuk jellemző függvények halmaza között . ${\displaystyle \left\{F_{\xi }\left(x\right)\right\))$ ${\displaystyle \left\{f_{\xi }\left(t\right)\right\))$

Helly tételei is azt mutatják, hogy ez a megfeleltetés nemcsak egy az egyhez , hanem kölcsönösen folytonos is .

Helly első és második tétele

Helly első tétele

Az eloszlásfüggvények bármely sorozatából választhatunk egy gyengén konvergens részsorozatot . $\left\{F_{x}\right\}$

Helly második tétele

Ha egy folytonos korlátos függvény az egyenesen és akkor $g\left(x\right)$ $F_{n}\left(x\right)\Rightarrow F\left(x\right),F\left(\infty \right)-F\left(-\infty \right)=1,$

\lim _{n\rightarrow \infty }\int _{-\infty }^{\infty }g\left(x\right)dF_{n}\left(x\right)=\int _{ -\infty }^{\infty }g\left(x\right)dF\left(x\right)

Helly első tételének bizonyítása

Legyen egy megszámlálható halmaz mindenütt sűrűn a vonalon . $D=\left\{x_{k}\right\}$

A korlátos sorozatból kiválasztunk egy konvergens részsorozatot , melynek határát jelöljük $0\leq F_{n}\left(x_{1}\right)\leq 1$ $F_{1n}\left(x_{1}\right)$ $F\left(x_{1}\right).$

A korlátos sorozatból választunk egy konvergens részsorozatot , és így tovább. $0\leq F_{1n}\left(x_{2}\right)\leq 1$ $F_{2n}\left(x_{2}\right)\rightarrow F\left(x_{2}\right)$

Ezután válasszon egy átlós részsorozatot , amelyhez bármely ponthoz $f_{nn}\left(x\right)$ $F_{nn}\left(x\right)\rightarrow F\left(x\right)$ $x_{k}\in D.$

A lemma szerint ez azt jelenti $F_{nn}\left(x\right)\Rightarrow F\left(x\right).$

Lemma

Ha mindenhol sűrűn , közvetlen halmazon , akkor $F_{n}\left(x\right)\rightarrow F\left(x\right)$ $D$ $F_{n}\left(x\right)\Rightarrow F\left(x\right).$

Megjegyzés

$F\bal(x\jobb)$ nem lehet elosztási függvény . Például ha at és akkor $F_{n}\left(x\right)=0$ $x<n$ $F_{n}\left(x\right)=1$ $x\geq n,$ $F_{n}\left(x\right)\Rightarrow F\left(x\right)=0.$

Helly második tételének bizonyítása

Legyenek folytonossági pontok, először is bizonyítsuk be $a<b$ $F\bal(x\jobb)$

\lim _{n\rightarrow \infty }\int _{a}^{b}g\left(x\right)dF_{n}\left(x\right)=\int _{a}^ {b}g\left(x\right)dF\left(x\right)

Hadd . Osszuk el a függvény folytonossági pontjaival szegmensekre úgy, hogy pontokra . $\varepsilon >0$ $\left[a,b\right]$ $a=x_{0},x_{1},...,x_{N-1},x_{N}=b$ $F\bal(x\jobb)$ $\left[x_{k-1},x_{k}\right]$ $\left|g\left(x\right)-g\left(x_{k}\right)\right|<\varepsilon$ $x\in \left[x_{k-1},x_{k}\right]$

Ez megtehető, mivel egyenletesen folytonos -on , és a folytonossági pontok mindenhol sűrűek. $g\left(x\right)$ $\left[a,b\right]$ $F\bal(x\jobb)$

Határozzuk meg a lépésfüggvényt .

g_{\varepsilon }\left(x\right)=g\left(x_{k}\right)

on .

x\in \left(x_{k-1},x_{k}\right]

Akkor

\left|\int _{a}^{b}g\left(x\right)dF_{n}\left(x\right)-\int _{a}^{b}g\left( x\right)dF\left(x\right)\right|\leq \int _{a}^{b}\left|g\left(x\right)-g_{\varepsilon }\left(x\right) )\right|dF_{n}\left(x\right)+\left|\int _{a}^{b}g_{\varepsilon }dF_{n}-\int _{a}^{b}g_ {\varepsilon }dF\right|+\int _{a}^{b}\left|g\left(x\right)-g_{\varepsilon }\left(x\right)\right|dF\left( x\jobbra)\leq

\leq 2\varepsilon +{\mathsf {M}}\left[\sum _{k=1}^{N}\left[F_{n}\left(x_{k}\right)-F \left(x_{k}\right)-\left(F_{n}\left(x_{k-1}\right)-F\left(x_{k-1}\right)\right)\right] \jobb].

ahol . ${\mathsf {M}}=sup_{x}\left|g\left(x\right)\right|.$

Az utolsó tag tetszőlegesen kicsinyíthető, ahonnan következik $n\jobbra nyíl\infty$

\lim _{n\rightarrow \infty }\int _{a}^{b}g\left(x\right)dF_{n}\left(x\right)=\int _{a}^ {b}g\left(x\right)dF\left(x\right).

Bizonyítékra

\lim _{n\rightarrow \infty }\int _{-\infty }^{\infty }g\left(x\right)dF_{n}\left(x\right)=\int _{ -\infty }^{\infty }g\left(x\right)dF\left(x\right)

olyat válasszunk , hogy a pontok folytonossági pontok legyenek $X>0$ $F\left(-X\right)<{\frac {\varepsilon }{4))$ $1-F\left(X\right)<{\frac {\varepsilon }{4))$ $\pm X$ $F\left(x\right).$

Aztán, mivel lehet választani olyat, hogy a és $F_{n}\left(\pm X\right)\rightarrow F\left(\pm X\right)$ $n_{0}$ $n\geq n_{0},F_{n}\left(-X\right)<{\frac {\varepsilon }{2))$ $1-F_{n}\left(X\right)<{\frac {\varepsilon }{2)).$

Becsüljük meg a különbséget

\left|\lim _{n\rightarrow \infty }\int _{-\infty }^{\infty }g\left(x\right)dF_{n}\left(x\right)-\ int _{-\infty }^{\infty }g\left(x\right)dF\left(x\right)\right|\leq \left|\lim _{n\rightarrow \infty }\int _{ -X}^{X}g\left(x\right)dF_{n}\left(x\right)-\int _{-X}^{X}g\left(x\right)dF\left( x\right)\right|+\left|\int _{\left|x\right|>X}^{}g\left(x\right)dF_{n}\left(x\right)\right| +\left|\int _{\left|x\right|>X}^{}g\left(x\right)dF\left(x\right)\right|\leq

\leq \left|\lim _{n\rightarrow \infty }\int _{-X}^{X}g\left(x\right)dF_{n}\left(x\right)-\ int _{-X}^{X}g\left(x\right)dF\left(x\right)\right|+{\mathsf {M}}\varepsilon +{\frac {{\mathsf {M} }\varepsilon }{2}}.

Ez alapján arra a következtetésre jutunk, hogy a jobb oldalon $\lim _{n\rightarrow \infty }\int _{a}^{b}g\left(x\right)dF_{n}\left(x\right)=\int _{a}^ {b}g\left(x\right)dF\left(x\right)$

\left|\lim _{n\rightarrow \infty }\int _{-\infty }^{\infty }g\left(x\right)dF_{n}\left(x\right)-\ int _{-\infty }^{\infty }g\left(x\right)dF\left(x\right)\right|\leq \left|\lim _{n\rightarrow \infty }\int _{ -X}^{X}g\left(x\right)dF_{n}\left(x\right)-\int _{-X}^{X}g\left(x\right)dF\left( x\right)\right|+\left|\int _{\left|x\right|>X}^{}g\left(x\right)dF_{n}\left(x\right)\right| +\left|\int _{\left|x\right|>X}^{}g\left(x\right)dF\left(x\right)\right|\leq

\leq \left|\lim _{n\rightarrow \infty }\int _{-X}^{X}g\left(x\right)dF_{n}\left(x\right)-\ int _{-X}^{X}g\left(x\right)dF\left(x\right)\right|+{\mathsf {M}}\varepsilon +{\frac {{\mathsf {M} }\varepsilon }{2}}.

tetszőlegesen kicsire tehető, ami bizonyítja a tételt.

Lásd még

Direkt és inverz határérték tétel

Irodalom

Szevasztyanov V.A. Valószínűségszámítás és matematikai statisztika tanfolyam. - 1982. - 254 p.