Levegős funkció

Az oldal jelenlegi verzióját még nem ellenőrizték tapasztalt közreműködők, és jelentősen eltérhet a 2022. augusztus 23-án felülvizsgált verziótól ; az ellenőrzések 4 szerkesztést igényelnek .

Az Airy függvény a differenciálegyenlet egy sajátos megoldása

y''-xy\,=\,0\,,

az úgynevezett Airy-egyenlet (először George Biddell Airy brit csillagász vette figyelembe és vizsgálta meg 1838-ban ) [1] . Ez a legegyszerűbb differenciálegyenlet, amelynek van egy pontja a valós tengelyen, ahol a megoldás formája oszcillálóból exponenciálisra változik.

Általában az "Airy függvény" kifejezést két speciális függvényre alkalmazzák - az 1. típusú Airy függvényre (amelynek oszcilláló viselkedése van, az oszcillációk amplitúdója fokozatos csökkenésével -nál, és monoton csökken egy exponenciális törvény szerint -nál) és a 2. típusú Airy-függvény (amely az oszcilláció amplitúdójának fokozatos csökkenésével is oszcillál, és egy exponenciális törvény szerint monoton növekszik ); az Airy-egyenlet más konkrét megoldásai e két függvény lineáris kombinációjaként ábrázolhatók [2] . Az Ai elnevezést az első ilyen funkciókra 1928-ban Harold Jeffreys javasolta , aki Airy vezetéknevének első két betűjét használta ( angolul Airy ) [3] . 1946-ban Jeffrey Miller hozzáadta a Bi jelölést a 2. típusú Airy függvényhez, amely szintén szabványossá vált [4] . $\operátornév {Ai}\,(x)$ $x\rightarrow -\infty$ $x\jobbra nyíl +\infty$ $\operátornév {Bi}\,(x)$ $x\rightarrow -\infty$ $x\jobbra nyíl +\infty$

V. A. Fok az U és V szimbólumokat javasolta az Ai és Bi függvények jelölésére .

Az Airy függvény a Schrödinger-egyenlet megoldása egy háromszögpotenciálkútban lévő részecskére .

Definíció

A valódiak esetében az 1. típusú Airy függvényt a következő helytelen integrál határozza meg [1] : $x$

\operatorname {Ai} \,(x)\,=\,{\frac {1}{\pi }}\int \limits _{0}^{\infty }\!\cos \left({ \frac {t^{3}}{3}}+xt\jobbra)\,dt\,,

Az integráljel alatti differenciálást végrehajtva megbizonyosodunk arról, hogy a kapott függvény valóban kielégíti az Airy egyenletet

y''-xy\,=\,0\,.

Ennek az egyenletnek egy másik lineárisan független sajátos megoldása a 2. típusú Airy-függvény , amelyben a rezgéseknél ugyanaz az amplitúdó, mint a, de fázisban [5] -kal különböznek . Az igaziak esetében a 2. típusú Airy függvényt a [4] integrál fejezi ki : $\operátornév {Bi} \,(x),$ $x\rightarrow -\infty$ $\operátornév {Ai} \,(x),$ $\pi/2$ $x$

\operatorname {Bi} \,(x)\,=\,{\frac {1}{\pi }}\int _{0}^{\infty }\left[\exp \left(-{ \tfrac {t^{3}}{3}}+xt\jobbra)+\sin \left({\tfrac {t^{3}}{3}}+xt\jobbra)\,\jobbra]\, dt\,.

Összetetteknél az Airy függvény a következőképpen definiálható: $z$ $\operátornév {Ai} \,(z)$

\operátornév {Ai} \,(z)\,=\,\int \limits _{\gamma _{1}}\!\exp \left(pz-{\frac {p^{3}} {3}}\jobbra)\,dp\,,

ahol a kontúr a [6] ábrán látható . A kontúrok és megoldást adnak az Airy egyenletre is. Annak ellenére, hogy három integrációs hurok létezik, az Airy-egyenletnek még mindig van két lineárisan független megoldása, mivel a három hurok integráljainak összege nulla. ${\displaystyle \gamma _{1))$ ${\displaystyle \gamma _{2))$ ${\displaystyle \gamma _{3))$

A tetszőleges komplex értékű függvényt az 1. típusú Airy függvényhez kapcsoljuk az [1] relációval : $\operátornév {Bi} \,(z)$ $z$

\operátornév {Bi} \,(z)\,=\,i\omega ^{2}\,\operátornév {Ai} \,(\omega ^{2}z)-i\omega \,\ operátornév {Ai} \,(\omega z)\,,\quad \omega =e^{2\pi {i/3}}\,.

Tulajdonságok

Egy ponton a függvények és első deriváltjaik a következő értékekkel rendelkeznek: $x=0$ $\operátornév {Ai}\,(x)$ $\operátornév {Bi}\,(x)$

{\begin{aligned}\operatorname {Ai} \,(0)\,=\,{\frac {1}{3^{2/3}\,\Gamma \left({\frac {2 }{3}}\right)}}\,\approx \,0,355\,028\,053\,887\,817\,,&\quad \operátornév {Ai} '\,(0)\,=\ ,-{\frac {1}{3^{1/3}\,\Gamma \left({\frac {1}{3))\right)))\,\kb \,-0,258\,819\ ,403\,792\,807\,,\\\operátornév {Bi} \,(0)\,=\,{\frac {1}{3^{1/6}\,\Gamma \left({ \frac {2}{3}}\right)}}\,=\,\operátornév {Ai} \,(0)\,{\sqrt {3}}\,,&\quad \operátornév {Bi} ' \,(0)\,=\,{\frac {3^{1/6}}{\Gamma \left({\frac {1}{3}}\right)))\,=\,-\ operátornév {Ai} '\,(0)\,{\sqrt {3}}\,.\end{aligned}}

hol van a gammafüggvény [7] . Ebből következik, hogy az és függvények Wronski -függvényére egyenlő . $\Gamma$ $x=0$ $\operátornév {Ai}\,(x)$ $\operátornév {Bi}\,(x)$ $1/\pi$

Ha pozitív , akkor egy pozitív konvex függvény , amely exponenciálisan csökken 0-ra, és egy pozitív konvex függvény, amely exponenciálisan nő. Ha negatív , és nulla körül oszcillál növekvő frekvenciával és csökkenő amplitúdóval. Ezt megerősítik az Airy függvények aszimptotikus kifejezései. $x$ $\operátornév {Ai}\,(x)$ $\operátornév {Bi}\,(x)$ $x$ $\operátornév {Ai}\,(x)$ $\operátornév {Bi}\,(x)$

Aszimptotikus kifejezések

Amikor a [7] -re törekszik : $x,$ $+\infty$

{\begin{aligned}\mathrm {Ai} \,(x)&{}\sim {\frac {e^{-{\frac {2}{3}}x^{3/2}} }{2{\sqrt {\pi }}\,x^{1/4}}}\\\mathrm {Bi} \,(x)&{}\sim {\frac {e^{{\frac { 2}{3}}x^{3/2}}}{{\sqrt {\pi }}\,x^{1/4}}}.\end{aligned}}

{\begin{aligned}\mathrm {Ai} \,(-x)&{}\sim {\frac {\sin({\frac {2}{3}}x^{3/2}+ {\frac {1}{4}}\pi )}{{\sqrt {\pi }}\,x^{1/4}}}\\\mathrm {Bi} \,(-x)&{} \sim {\frac {\cos({\frac {2}{3}}x^{3/2}+{\frac {1}{4}}\pi )}({\sqrt {\pi }} \,x^{1/4}}}.\end{aligned}}

Komplex érv

Az Airy függvény a képlettel kiterjeszthető a komplex síkra

\mathrm {Ai} \,(z)\,=\,{\frac {1}{2\pi i}}\int \limits _{C}\exp \left({\frac {t^ {3}}{3}}-zt\jobbra)\,dt\,,

ahol az integrált egy olyan körvonal mentén vesszük, amely egy végtelenben lévő pontból indul argumentummal és egy érvvel a végtelenben végződik . A differenciálegyenlet segítségével a komplex síkban lévő teljes függvényekre kiterjesztjük és egészen addig . $C,$ $-{\dfrac {\pi }{3}}$ ${\dfrac {\pi }{3))$ $y''-xy=0$ $\mathrm {Ai} \,(x)$ $\mathrm {Bi} \,(x)$

Az aszimptotikus képlet a komplex síkban is érvényben marad, ha a főértéket vesszük, és nem fekszünk a negatív valós féltengelyre. A képlet akkor igaz, ha x valamilyen pozitív szektorban van . A és a képletek akkor érvényesek, ha x a szektorban található . $\mathrm {Ai} \,(x)$ $x^{2/3}$ $x$ $\mathrm {Bi} \,(x)$ $\left\{x\in \mathbb {C} \,:\,|{\text{arg}}\,x|<{\frac {\pi -\delta }{3}}\right\ }$ $\delta$ $\mathrm {Ai} \,(-x)$ $\mathrm {Bi} \,(-x)$ $\left\{x\in \mathbb {C} \,:\,|{\text{arg}}\,x|<{\frac {2(\pi -\delta )}{3}} \jobb\}$

Az 1. és 2. típusú Airy függvények aszimptotikus viselkedéséből következik, hogy mindkettőnek végtelen sok nullája van a negatív valós féltengelyen. Egy függvénynek a komplex síkon nincs más nullája, és egy függvénynek végtelen sok nullája van a szektorban . $\mathrm {Ai} \,(x)$ $\mathrm {Bi} \,(x)$ $\left\{z\in \mathbb {C} \,:\,{\frac {\pi }{3}}<|{\text{arg}}\,z|<{\frac {\ pi }{2}}\jobbra\}$

Kapcsolat más speciális funkciókkal

Pozitív argumentumértékek esetén az Airy függvények a módosított Bessel-függvényekhez kapcsolódnak :

{\begin{aligned}\mathrm {Ai} \,(x)\,=\,{\frac {1}{\pi }}{\sqrt {{\frac {1}{3}}x }}\,K_{1/3}\left({\frac {2}{3}}x^{3/2}\right)\,,\\\mathrm {Bi} \,(x)\, =\,{\sqrt {{\frac {1}{3}}x}}\left(I_{1/3}\left({\frac {2}{3}}x^{3/2}\ jobb)+I_{-1/3}\left({\frac {2}{3}}x^{3/2}\right)\right)\,.\end{igazított}}

ahol I ±1/3 és K 1/3 az egyenlet megoldásai . $x^{2}y''+xy'-(x^{2}+1/9)y=0$

Az argumentum negatív értékei esetén az Airy függvények a Bessel-függvényekhez kapcsolódnak :

{\begin{aligned}\mathrm {Ai} \,(-x)\,=\,{\frac {1}{3}}{\sqrt {x}}\left(J_{1/3 }\left({\frac {2}{3}}x^{3/2}\right)+J_{-1/3}\left({\frac {2}{3}}x^{3/ 2}\right)\right)\,,\\\mathrm {Bi} \,(-x)\,=\,{\sqrt ({\frac {1}{3}}x}}\left(J_ {-1/3}\left({\frac {2}{3}}x^{3/2}\right)-J_{1/3}\left({\frac {2}{3}}x ^{3/2}\jobbra)\jobbra)\,.\end{igazított}}

ahol J ±1/3 az egyenlet megoldásai . $x^{2}y''+xy'+(x^{2}-1/9)y=0$

A pontozó függvények az egyenlet megoldásai, és az Airy függvényekkel is kifejezhetők: $y''-xy=1/\pi .$

{\begin{aligned}\mathrm {Gi} \,(x)\,=\,\mathrm {Bi} (x)\int \limits _{x}^{\infty }\mathrm {Ai} (t)\,dt+\mathrm {Ai} (x)\int \limits _{0}^{x}\mathrm {Bi} (t)\,dt\,,\\\mathrm {Szia} \,( x)\,=\,\mathrm {Bi} (x)\int \limits _{-\infty }^{x}\mathrm {Ai} (t)\,dt-\mathrm {Ai} (x)\ int \limits _{-\infty }^{x}\mathrm {Bi} (t)\,dt\,.\end{aligned}}

Lásd még

Airy Beam

Jegyzetek

↑ 1 2 3 Fedoryuk M. V. . Airy functions // Matematikai enciklopédia. T. 5 / Ch. szerk. I. M. Vinogradov . - M . : Soviet Encyclopedia , 1985. Archív példány 2020. november 17-én a Wayback Machine -nél - 1248 stb. - Stb. 939-941.
↑ Popov és Tesler, 1984 , p. 381-382.
↑ Vallee O., Soares M. . Levegős funkciók és alkalmazások a fizikában . - London: Imperial College Press , 2004. - x + 194 p. — ISBN 1-86094-478-7 . Archivált : 2016. június 10., a Wayback Machine - 4. o.
↑ 1 2 Airy Function Ai: Bevezetés az Airy funkciókba . // A Wolfram Functions Site. Hozzáférés dátuma: 2016. február 12. Az eredetiből archiválva : 2016. június 3. (határozatlan)
↑ Popov és Tesler, 1984 , p. 385.
↑ Landau és Lifshitz, 1974 , p. 736.
↑ 1 2 Popov és Tesler, 1984 , p. 386.

Irodalom

Landau L.D. , Lifshitz E.M .. Kvantummechanika. nem relativisztikus elmélet. 3. kiadás — M .: Nauka , 1974. — 752 p. - (Elméleti fizika, III. köt.).
Popov B. A., Tesler G. S. . Függvényszámítás számítógépen: Kézikönyv. - Kijev: Naukova Dumka , 1984. - 599 p.
Airy G.B. A fény intenzitásáról a maró hatás szomszédságában // Transactions of the Cambridge Philosophical Society , 1838, 6 . - P. 379-402.
Matematikai függvények kézikönyve képletekkel, grafikonokkal és matematikai táblázatokkal / Szerk. M. Abramowitz és I. A. Stegun. - New York: Academic Press , 1954. - xiv + 1046 p. (holt link) (Lásd a 10.4. pontot) .
Olver F.W.G. 11. fejezet: Differenciálegyenletek paraméterrel: Fordulópontok // Aszimptotika és speciális függvények. - New York: Academic Press , 1974. - xvi + 571 p. — (Számítástechnika és Alkalmazott Matematika). - P. 392-434.

Linkek

Weisstein, Eric W. Airy Functions (angol) a Wolfram MathWorld webhelyén .
(2015. 10. 02. óta lefelé irányuló kapcsolat [2579 nap]) AI fejezet: Airy és kapcsolódó függvények a matematikai függvények digitális könyvtárában .