Mertens funkció

Az oldal jelenlegi verzióját még nem ellenőrizték tapasztalt hozzászólók, és jelentősen eltérhet a 2013. október 31-én felülvizsgált verziótól ; az ellenőrzések 28 szerkesztést igényelnek .

A számelméletben a Mertens-függvényt minden n természetes számra a képlet határozza meg

M(n) = \sum\limits_{k=1}^n \mu(k)

hol van a Möbius függvény . A Mertens függvény Franz Mertensről kapta a nevét . $\mu(k)$

Más szóval, az n - nél nem nagyobb , páros számú prímtényezőt tartalmazó négyzetmentes számok és az azonos számú, de páratlan számú prímtényezőt tartalmazó számok közötti különbség. $M(n)$

A fenti definíció kiterjeszthető minden pozitív valós számra az alábbiak szerint:

M(x) = \sum\limits_{1\leqslant k \leqslant x} \mu(k).

Tulajdonságok

$|M(x)|\leqslant x$ .
$M(x) = o(x)$ , ami nem triviális, de bevált [1]
$M(x) = M([x])$ , ahol a szám egész része . $[x]$ $x$
A Mertens-függvényt tartalmazó azonosságok sorozatát egységesen a következő tény alapján kapjuk meg:

Ha , akkor a következő azonosságra igaz: $c_n = \sum\limits_{d|n} \mu(n/d)\,a_d$ $x\geqslant 1$

\sum\limits_{k\leqslant x}M(x/k) a_k = C(x)

, ahol a sorozat összegző függvénye .

C(x) = \sum\limits_{n\leqslant x}c_n

c_n

Ez különösen a következő identitásokat eredményezi, amelyek érvényesek : $x\geqslant 1$

\sum\limits_{k\leqslant x}M(x/k) = 1

a Mertens-függvény jellemző tulajdonsága;

\sum\limits_{k\leqslant x}M(x/k) {\rm ln}\, k = \psi(x)

, ahol a második Csebisev függvény ;

\psi(x)

\sum\limits_{k\leqslant x}M(x/k) |\mu(k)| = M(\sqrt{x})

;

\sum\limits_{k\leqslant x}M(x/k) \Lambda(k) = {\rm ln}\, [x]!

, ahol a Mangoldt függvény ;

\lambda(k)

\sum\limits_{k\leqslant x}M(x/k) \tau(k) = [x]

, ahol a szám osztóinak száma .

\tau(k)

k

A Mertens-függvénynek vannak lassú változási területei mind pozitív, mind negatív irányban, átmennek az átlagos és szélső értékeken, oszcillálnak, látszólag kaotikus módon, átmennek a nullán a következő n értékeknél :

2, 39, 40, 58, 65, 93, 101, 145, 149, 150, 159, 160, 163, 164, 166, 214, 231, 232, 235, 236, 232, 235, 236, 232, 235, 236, 232, 23, 23,3,3 333 353 355 356 358 362 363 364 366 393 401 403 404 405 407 408 413 414 419 420 422 423 420 422 423 420 422 423 420 425 O4424 425 .

Mivel a Möbius-függvény csak értékeket tud felvenni , a Mertens-függvény lassan változik: minden n -re igaz, hogy . A Mertens-sejtés erősebb megszorítást feltételezett: minden n esetén a Mertens-függvény abszolút értéke nem haladja meg n : gyökét . Mertens hipotézise azonban tévesnek bizonyult, amint azt 1985-ben Andrew Odlyzko és Herman te Riele mutatta be . A Riemann-hipotézis egyenértékű a gyengébb növekedési hipotézissel , nevezetesen . Mivel a legnagyobb értékek legalább olyan gyorsan nőnek, mint n gyöke , ez a feltevés meglehetősen pontosan becsüli a Mertens-függvény növekedését. Itt az O a nagy O - t jelenti . $-1,0,1$ $|M(n)|\leqslant n$ $|M(n)|\leqslant {\sqrt {n))$ $M(n)$ $M(n)=O(n^{1/2+\varepszilon })$ $M(n)$

Az M ( n ) első 160 értéke az A002321 sorozat az OEIS -ben

n	egy	2	3	négy	5	6	7	nyolc	9	tíz	tizenegy	12	13	tizennégy	tizenöt	16	17	tizennyolc	19	húsz
M ( n )	egy	0	-egy	-egy	-2	-egy	-2	-2	-2	-egy	-2	-2	-3	-2	-egy	-egy	-2	-2	-3	-3
n	21	22	23	24	25	26	27	28	29	harminc	31	32	33	34	35	36	37	38	39	40
M ( n )	-2	-egy	-2	-2	-2	-egy	-egy	-egy	-2	-3	- négy	- négy	-3	-2	-egy	-egy	-2	-egy	0	0
n	41	42	43	44	45	46	47	48	49	ötven	51	52	53	54	55	56	57	58	59	60
M ( n )	-egy	-2	-3	-3	-3	-2	-3	-3	-3	-3	-2	-2	-3	-3	-2	-2	-egy	0	-egy	-egy
n	61	62	63	64	65	66	67	68	69	70	71	72	73	74	75	76	77	78	79	80
M ( n )	-2	-egy	-egy	-egy	0	-egy	-2	-2	-egy	-2	-3	-3	- négy	-3	-3	-3	-2	-3	- négy	- négy
n	81	82	83	84	85	86	87	88	89	90	91	92	93	94	95	96	97	98	99	100
M ( n )	- négy	-3	- négy	- négy	-3	-2	-egy	-egy	-2	-2	-egy	-egy	0	egy	2	2	egy	egy	egy	egy
n	101	102	103	104	105	106	107	108	109	110	111	112	113	114	115	116	117	118	119	120
M ( n )	0	-egy	-2	-2	-3	-2	-3	-3	- négy	-5	- négy	- négy	-5	-6	-5	-5	-5	- négy	-3	-3
n	121	122	123	124	125	126	127	128	129	130	131	132	133	134	135	136	137	138	139	140
M ( n )	-3	-2	-egy	-egy	-egy	-egy	-2	-2	-egy	-2	-3	-3	-2	-egy	-egy	-egy	-2	-3	- négy	- négy
n	141	142	143	144	145	146	147	148	149	150	151	152	153	154	155	156	157	158	159	160
M ( n )	-3	-2	-egy	-egy	0	egy	egy	egy	0	0	-egy	-egy	-egy	-2	-egy	-egy	-2	-egy	0	0

Megtekintések

Integrálként

Az Euler termék használatával ezt kapjuk

\frac{1}{\zeta(s)}= \prod\limits_{p} (1-p^{-s})=\sum\limits_{n=1}^{+\infty}\frac{\ mu(n)}{n^s},

ahol a Riemann Zeta függvény , és a szorzat átveszi az összes p prímszámot . Ezután a jobb oldalon lévő Dirichlet sorozatot használva a Perron képlettel a következőket kapjuk: $\zeta (s)$

\frac{1}{2\pi i}\oint\limits_{C} \frac{x^{s}}{s\zeta(s)} ds = M(x),

ahol C egy zárt görbe, amely körülveszi az összes gyökeret $\zeta(s).$

A Mellin transzformációt az invertálásra használják

\frac{1}{\zeta(s)} = s\int\limits_1^{+\infty} \frac{M(x)}{x^{s+1}}dx,

amelyet a címen őriznek meg . $\Re(s)>1$

Abból a feltételezésből kiindulva, hogy csak nem több nem triviális gyök létezik , a maradéktételből megkapjuk a "pontos képletet" : $\zeta (\rho )$

\frac{1}{2 \pi i} \oint\limits_C \frac{x^s}{s \zeta (s)} ds = \sum\limits_{\rho} \frac{x^{\rho)) {\rho \zeta'(\rho)} - 2+\sum\limits_{n=1}^{+\infty} \frac{(-1)^{n-1} (2\pi )^{2n }}{(2n)! n \zeta(2n+1)x^{2n}}.

Weyl azt javasolta, hogy a Mertens-függvény kielégíti a közelítő funkcionális-differenciálegyenletet

\frac{y(x)}{2}-\sum\limits_{r=1}^N \frac{B_{2r}}{(2r)!}D_t^{2r-1} y \left(\frac {x}{t+1}\jobbra) + x\int_0^x \frac{y(u)}{u^{2}} du = x^{-1}H(\ln x),

ahol a Heaviside-függvény , a Bernoulli-számok , és a t -re vonatkozó összes derivált a következővel számítható ki . $H(x)$ ${\megjelenítési stílus B_{2r))$ $t=0$

Titchmarsh ( 1960 ) bebizonyította a következő képletet, amely tartalmazza a Möbius-függvény összegét és a Riemann-zéta-függvény nulláit a formában

\sum\limits_{n=1}^{+\infty}\frac{\mu(n)}{\sqrt{n}}g(\ln n) = \sum\limits_t \frac{h(t)} {\zeta'(1/2+it)}+2\sum\limits_{n=1}^{+\infty} \frac{(-1)^{n}(2\pi )^{2n)) {(2n)! \zeta(2n+1)}\int\limits_{-\infty}^{+\infty}g(x) e^{-x(2n+1/2)} dx,

ahol t a nem triviális nullák összes képzeletbeli részén áthalad, és a Fourier-transzformációval vannak összekötve, így $(g,h)$

\pi g(x)= \int\limits_{0}^{+\infty}h(u)\cos(ux) du.

A Farey-szekvencia összegeként

Egy másik képlet a Mertens-függvényhez

M(n)= \sum\limits_{a\in \mathcal{F}_n} e^{2\pi ia},

ahol az n sorrendű Farey sorozat . $\mathcal{F}_n$

Ezt a képletet használják Franel Landau tételének [2] bizonyítása során .

Meghatározóként

$M(n)$ egyenlő a sorrendű ( 0,1) -Redheffer mátrix determinánsával , amelyben akkor és csak akkor, ha vagy . $n$ $a_{ij}=1$ $j=1$ $i\mid j$

A Redheffer-mátrix a következő lineáris egyenletrendszer megoldása során keletkezik:

$\begin{cases} x_1 + x_2 + \pontok + x_n = 1 \\ x_2 + x_4 + \pontok + x_{2[n/2]} = 1 \\ x_3 + x_6 + \pont + x_{3[n/ 3]} = 1 \\ \pontok \\ \sum\limits_{k\leqslant n,\,d|k}x_k = 1 \\ \pontok\\ \end{cases}$

A rendszer mátrixa háromszög alakú, a főátlón vannak ilyenek, ezért a rendszer determinánsa eggyel egyenlő és a rendszer megoldása létezik és egyedi.

A rendszer megoldása a Mertens-függvény jellemző tulajdonsága miatt számok: $x_1 = M(n),\,x_2 = M(n/2),\,x_3 = M(n/3),\,\pontok,\,x_k = M(n/k),\,\pontok, \,x_n = M(n/n) = 1,$ $\sum\limits_{k\leqslant x} M(x/k) = 1$

A rendszert a Cramer-szabály szerint megoldva , és figyelembe véve, hogy a rendszer determinánsa egyenlő 1-gyel, azt kapjuk, hogy egyenlő a rendszermátrixból kapott mátrix determinánsával, ha az első oszlopot egy egységoszlopra cseréljük. , és ez a sorrend Redheffer mátrixa . $x_{1}$ $M(n)$ $n$

Számítás

A Mertens-függvényt n növekvő tartományaira számítottuk ki .

személy	év	határ
Mertens	1897	10 4
von Sterneck	1897	1,5⋅10 5
von Sterneck	1901	5⋅10 5
von Sterneck	1912	5⋅10 6
Neubauer	1963	10 8
Cohen és ruha	1979	7,8⋅10 9
Ruha	1993	10 12
Lyoen és van de Lune	1994	10 13
Kotnik és van de Lune	2003	10 14

A Mertens függvény minden N - t nem meghaladó egész számra időben kiszámítható . Létezik egy elemi algoritmus, amely időben izolált értéket számít ki . $O(N^{1+\varepsilon })$ $M(N)$ $O(N^{2/3+\varepsilon })$

Alkalmazások

A prímszámok eloszlására vonatkozó tétel elemi bizonyítása során Gelfond a -ból következő tényt bizonyítja és használja fel . [egy] $M(x)=o(x)$ $\pi(x) = \frac{x}{\ln{x}} + o\left({\frac{x}{\ln{x}}}\jobb)$

Jegyzetek

↑ 1 2 A. O. Gelfand, Yu. V. Linnik. Elemi módszerek az analitikus számelméletben. - Fizmatgiz, 1962.
↑ Edwards, Ch. 12.2

Irodalom

E. K. Titchmarsh . A Riemann-zéta-függvény elmélete. - IL, 1953.

Lásd még

Perron képlet

Linkek

Edwards, HaroldRiemann Zéta-függvénye (határozatlan) . - Mineola, New York: Dover, 1974. - ISBN 0-486-41740-9 .
F. Mertens, "Uber eine zahlentheoretische Funktion", Akademie Wissenschaftlicher Wien Mathematik-Naturlich Kleine Sitzungsber, IIa 106 , (1897) 761–830.
A.M. Odlyzko és Herman te Riele , " Mertens-sejtés megtagadása ", Journal fur die reine und angewandte Mathematik 357 , (1985) pp. 138–160.
Weisstein, Eric W. Mertens függvény (angolul) a Wolfram MathWorld webhelyen .
OEIS A002321, lásd a REFERENCIÁK és LINKEK fejezeteket
Deleglise, M. és Rivat, J. "Computing the Summation of the Mobius Function." kísérlet. Math. 5, 291-295, 1996. http://projecteuclid.org/DPubS/Repository/1.0/Disseminate?view=body&id=pdf_1&handle=euclid.em/1047565447