Weierstrass funkció

A Weierstrass-függvény egy példa egy folytonos függvényre , amelynek sehol nincs deriváltja ; ellenpélda Ampère sejtésére .

A Weierstrass függvényt a teljes valós vonalon egyetlen analitikai kifejezés adja meg

w(x)=\sum _{n=0}^{\infty }b^{n}\cos(a^{n}\pi x),

ahol egy tetszőleges páratlan szám nem egyenlő eggyel , és egy pozitív szám kisebb, mint egy. Ezt a funkcionális sorozatot a konvergens numerikus sorozatok dominálják $a$ $b$

\sum _{n=0}^{\infty }b^{n},

ezért a függvény definiált és folytonos minden valós esetén . Ennek a függvénynek azonban nincs deriváltja, legalábbis a számára $w$ $x$

ab>{\tfrac {3}{2}}\pi +1.

Annak bizonyítására , hogy egy tetszőleges pontban nincs derivált , állítsunk össze két sorozatot és a ponthoz konvergálva bizonyítsuk be , hogy az összefüggések $x_{0}$ $\{x_{m}\}$ $\{y_{m}\}$ $x_{0}$

{\displaystyle {\frac {w(x_{m})-w(x_{0})}{x_{m}-x_{0))))

és

{\displaystyle {\frac {w(y_{m})-w(x_{0})}{y_{m}-x_{0))))

legalábbis amikor különböző jelei vannak

ab>{\tfrac {3}{2}}\pi +1

és .

a>1

Ezek a szekvenciák a következőképpen definiálhatók

{\displaystyle x_{m}={\frac {\gamma _{m}-1}{a^{m))))

és

y_{m}={\frac {\gamma _{m}+1}{a^{m))},

hol van a legközelebbi egész szám . $\gamma _{m}$ ${\displaystyle a^{m}x_{0))$

Általánosabb feltételek mellett a származék hiánya minden ponton

ab\geqslant 1

és

a>1

Hardy alapította . [egy]

Történelmi háttér

1806-ban Ampère [2] megpróbálta analitikusan bizonyítani, hogy minden „tetszőleges” függvény mindenhol differenciálható, kivéve az érvelés „kivételes és elszigetelt” értékeit. Ugyanakkor kézenfekvőnek tekintették annak lehetőségét, hogy az argumentum változási intervallumát olyan részekre bontsák, amelyekben a függvény monoton lenne. Ezekkel a fenntartásokkal Ampere sejtése a Lebesgue-tétel [3] nem szigorú megfogalmazásának tekinthető . A 19. század első felében az Ampère-sejtést egy szélesebb osztályra, nevezetesen minden folytonos függvényre próbálták bizonyítani. 1861-ben Riemann a következő funkciót adta hallgatóinak ellenpéldaként:

r(x)=\sum \limits _{n=1}^{\infty }{\frac {\sin n^{2}x}{n^{2))},

ennek a függvénynek a differenciálhatóságának vizsgálata azonban rendkívül nehéz. Joseph Gerver csak 1970-ben bizonyította be , hogy ennek a függvénynek még mindig van deriváltja néhány racionális ponton [ 4] .

1872-ben Weierstrass saját ellenpéldát javasolt, a fent leírt függvényt , és szigorú bizonyítékot mutatott be annak nem differenciálhatóságára [5] . Ez a példa először 1875-ben jelent meg nyomtatásban P. Dubois-Reymond [6] munkájában . $w$

Egy másik példa van der Waerdennek (1930):

v(x)=\sum \limits _{n=0}^{\infty }{\frac {\{10^{n}x\}}{10^{n}}},

ahol a göndör zárójel a törtrész felvételét jelenti. [7]

Jegyzetek

↑ A Hardy GH Weierstrass nem megkülönböztethető funkciója // Trans-Amer. Math. Soc 17 (1916), p. 301-325. Weierstrass azonban 1873-ban Dubois-Reymondnak írt levelében is megemlítette ezt a kijelentést, lásd: Polubarinova-Kochina P. Ya. Karl Weierstrass. Moszkva: Nauka, 1985. p. 229.
↑ Ampère, A. M. // Ecole Politechnique, 6 (1806), fasc. 13.
↑ ábra. F., S.-Nagy B. Előadások a funkcionális elemzésről. M.: Mir, 1979. S. 13.
↑ Gerver J. // American Journal of Mathematics, Vol. 92. sz. 1 (1970. jan.), p. 33-55 Archiválva : 2016. március 24. a Wayback Machine -nél .
↑ Weierstrass jelentése, a Porosz Tudományos Akadémián 1872. július 18-án felolvasva, összegyűjtött munkákban megjelent (Weierstrass K. Werke. Bd. 2. Berlin, 1895. Abh. 6.).
↑ Du Bois-Reymond R. // J. fur Math., 79 (1875), p. 21-37; Weierstrass volt ennek a folyóiratnak a szerkesztője, és ellenpéldájáról 1873. november 23-án Dubois-Reymondnak írt levelében számolt be, lásd: Polubarinova-Kochina P. Ya. Karl Weierstrass. Moszkva: Nauka, 1985. p. 229.
↑ Van der Waerden B. L. // Math. Zeitschr. 32 (1930), p. 474-475.

Irodalom

Weierstrass K. Math. Werke . bd. 2. Berlin, 1895. Abh. 6.
Ábra. F., S.-Nagy B. Előadások a funkcionális elemzésről. M.: Mir, 1979.
Polubarinova-Kochina P. Ya. Karl Weierstrass. Moszkva: Nauka, 1985.