Euler-képlet

Az Euler-képlet a komplex kitevőt trigonometrikus függvényekhez viszonyítja . Leonhard Eulerről nevezték el , aki bemutatta.

Az Euler-képlet kimondja, hogy bármely valós számra teljesül a következő egyenlőség: $x$

e^{ix}=\cos x+i\sin x

ahol az egyik legfontosabb matematikai állandó , a következő képlettel definiálva: , $e$ $e=\lim _{x\to \infty }\left(1+{\frac {1}{x}}\right)^{x}$

én

a képzeletbeli egység .

Történelem

Az Euler-képletet először Roger Cotes ( Newton asszisztense ) angol matematikus "Logometria" ( lat. Logometria ) cikkében idézte, amely a " Philosophical Transactions of the Royal Society " folyóiratban jelent meg 1714 -ben [1] , és a könyvben újranyomták. Harmony of Measures" ( lat. Harmonia mensurarum ), amely 1722 -ben, a szerző halála után jelent meg [2] . Kots úgy idézte, mint egy kis mondatot a sok geometriai konstrukció között, amely a modern matematikai nyelvre való lefordítás és a jel hibájának kijavítása után a következő alakot kapja : [3] :

\ln(\cos x+i\sin x)=ix

Euler a képletet a szokásos formájában egy 1740 -es cikkben és a "Bevezetés az infinitezimálisok elemzésébe" ( lat. Introductio in analysin infinitorum ) ( 1748 ) [4] című könyvében publikálta , a végtelen hatványsorok egyenlőségére építve a bizonyítékot. a jobb és a bal oldal bővítése. Sem Euler, sem Kots nem képzelte el a képlet geometriai értelmezését: a komplex számok, mint a komplex sík pontjainak fogalma körülbelül 50 évvel később jelent meg K. Wesselnél .

Származtatott képletek

Az Euler-képlet segítségével a következőképpen definiálhatja a függvényeket : $\bűn$ $\kötözősaláta$

\sin x={\frac {e^{{ix}}-e^{{-ix}}}{2i}}

{\textstyle \cos x={\frac {e^{ix}+e^{-ix}}{2}}}

Továbbá bevezethetjük egy komplex változó trigonometrikus függvényeinek fogalmát. Akkor hadd : $x=iy$

\sin iy={\frac {e^{{-y}}-e^{y}}{2i}}=i{\mathop {{\mathrm {sh}}}}\,y

\cos iy={\frac {e^{{-y}}+e^{y}}{2}}={\mathop ({\mathrm {ch}}}}\,y

A jól ismert Euler-azonosság , amely öt alapvető matematikai állandót kapcsol össze:

e^{{i\pi }}+1=0

az Euler-képlet speciális esete . $x=\pi$

Alkalmazások a számelméletben

Az analitikus számelméletben gyakran figyelembe veszik az alak speciális összegeit , ahol a vizsgált objektumok egy bizonyos halmaza, és egy függvény, amely tükrözi az objektumok vizsgált tulajdonságait. $\sum \limits _{x\in X}{e^{2\pi if(x)))$ $x$ $f:\ X\to {\mathbb {R} }$

Az egész számokat vizsgáló számelmélet számára az Euler-képletből egy tetszőleges egész számra vonatkozó indikátorazonosságok elsődlegesek . $n$

\sum \limits _{k=1}^{p}{e^{2\pi {\frac {nk}{p}}i}}=p[p|n]=\left\{{ \begin{mátrix}p,&n\equiv 0{\pmod {p}}\\0,&n\not \equiv 0{\pmod {p}}\end{mátrix}}\jobbra.

\int \limits _{0}^{1}{e^{2\pi n\alpha i}}=[n=0]=\left\{{\begin{matrix}1,&n=0 \\0,&n\not =0\end{mátrix}}\jobbra.

Alkalmazás a komplex elemzésben

Az Euler-képletnek köszönhetően megjelent egy komplex szám úgynevezett trigonometrikus és exponenciális rekordja :. $x=a+ib=|x|(\cos \varphi +i\sin \varphi )=|x|e^{{i\varphi }}$

Szintén jelentős következménynek tekinthetők azok a képletek, amelyek egy komplex számot tetszőleges hatványra emelnek: , . Ennek a képletnek a geometriai jelentése a következő: ha egy számot hatványra emelünk, akkor a középponttól való távolsága hatványra nő, és a tengelyhez viszonyított elfordulási szög egy tényezővel nő. $x=|x|e^{{i\varphi }}$ $x^{n}=|x|^{n}e^{{ni\varphi }}$ $x$ $n$ $n$ $ÖKÖR$ $n$

A hatványozási képlet nem csak egész számokra igaz , hanem valós számokra is. A számok exponenciális jelölése lehetővé teszi, hogy bármely komplex számból tetszőleges fokú gyököket találjunk. $n$

Kapcsolat a trigonometriával

Az Euler-képlet kapcsolatot biztosít a számítás és a trigonometria között , valamint lehetővé teszi, hogy a szinusz- és koszinuszfüggvényeket egy exponenciális függvény súlyozott összegeként értelmezzük :

{\displaystyle \cos x=\mathrm {Re} \left(e^{ix}\right)={e^{ix}+e^{-ix} \over 2))

{\textstyle \sin x=\mathrm {Im} \left(e^{ix}\right)={e^{ix}-e^{-ix} \over 2i}.}

A fenti egyenleteket az Euler-képletek összeadásával vagy kivonásával kaphatjuk meg :

e^{{ix}}=\cos x+i\sin x\;

{\textstyle e^{-ix}=\cos(-x)+i\sin(-x)=\cos xi\sin x\;}

ezt követi a szinusz vagy koszinusz megoldás.

Ezek a képletek egy komplex változó trigonometrikus függvényeinek definíciójaként is szolgálhatnak. Például az x = iy behelyettesítésével a következőt kapjuk :

\cos(iy)={e^{{-y}}+e^{{y}} \over 2}=\cosh(y)

\sin(iy)={e^{{-y}}-e^{{y}} \over 2i}=-{1 \over i}{e^{{y}}-e^{{-y }} \over 2}=i\sinh(y).

Az összetett exponenciálisok leegyszerűsítik a trigonometrikus számításokat, mivel könnyebben kezelhetők, mint a szinuszos komponensek. Az egyik megközelítés a szinuszokat a megfelelő exponenciális kifejezésekké alakítja. Az egyszerűsítés után a kifejezés eredménye valós marad. Például :

{\begin{aligned}\cos x\cdot \cos y&={\frac {(e^{{ix}}+e^{{-ix}})}{2}}\cdot {\frac {(e ^{{iy}}+e^{{-iy}})}{2}}\\&={\frac {1}{2}}\cdot {\frac {e^{{i(x+y )}}+e^{{i(xy)}}+e^{{i(-x+y)}}+e^{{i(-xy)}}}{2}}\\&={ \frac {1}{2}}\left[\underbrace {{\frac {e^{{i(x+y)}}+e^{{-i(x+y)}}}{2}} }_{{\cos(x+y)}}+\underbrace {{\frac {e^{{i(xy)}}+e^{{-i(xy)}}}{2}}}_ {{\cos(xy)}}\jobbra].\end{aligned}}

Egy másik megközelítés lényege, hogy a szinuszokat egy komplex kifejezés valós részeként ábrázoljuk, és közvetlenül manipulálunk egy komplex kifejezéssel. Például :

{\begin{aligned}\cos(nx)&={\mathrm {Re}}\{\ e^{{inx}}\ \}={\mathrm {Re}}\{\ e^{{i( n-1)x}}\cdot e^{{ix}}\ \}\\&={\mathrm {Re}}\{\ e^{{i(n-1)x}}\cdot (e ^{{ix}}+e^{{-ix}}-e^{{-ix}})\ \}\\&={\mathrm {Re}}\{\ e^{{i(n- 1)x}}\cdot \underbrace {(e^{{ix}}+e^{{-ix}})}_{{2\cos(x)}}-e^{{i(n-2 )x}}\ \}\\&=\cos[(n-1)x]\cdot 2\cos(x)-\cos[(n-2)x].\end{igazított}}

Ez a képlet a cos( nx ) értékek rekurzív kiszámítására szolgál egész n értékekhez és tetszőleges x értékekhez (radiánban).

Bizonyítás

Az Euler-képlet bizonyítása elvégezhető a Maclaurin sorozat segítségével . Bővítsük ki a függvényt a Taylor-sorban az a = 0 pont szomszédságában (a Maclaurin-sorban) hatványaival . Kapunk: $e^{{ix}}$ $x$

$e^{{ix}}=1+{\frac {ix}{1!}}+{\frac {(ix)^{2}}{2!}}+{\frac {(ix)^{3 }}{3!}}+\ldots =\left(1-{\frac {x^{2}}{2!}}+{\frac {x^{4}}{4!}}-{\ frac {x^{6}}{6!}}+\ldots \right)+i\left({\frac {x}{1!}}-{\frac {x^{3}}{3!} }+{\frac {x^{5}}{5!}}-{\frac {x^{7}}{7!}}+\lpont \jobbra)$

$1-{\frac {x^{2}}{2!}}+{\frac {x^{4}}{4!}}-{\frac {x^{6}}{6!}}+ \ldots=\cos x$

${\frac {x}{1!)}}-{\frac {x^{3}}{3!}}+{\frac {x^{5}}{5!)}}-{\frac { x^ {7}}{7!}}+\ldots =\sin x$

Ezért amit bizonyítani kellett . $e^{ix}=\cos x+i\sin x$

Vizuális bemutató

Köztudott, hogy . A következő képek szemléltetik, hogy a határérték megegyezik az egységkörön elhelyezkedő ponttal, és az ettől a ponttól az 1-es pontig tartó ív hossza . Ez különösen annak köszönhető, hogy . $e^{x}=\lim _{n\to \infty }\left(1+{\frac {x}{n}}\right)^{n}$ $e^{i\varphi }=\lim _{n\to \infty }\left(1+{\frac {i\varphi }{n}}\right)^{n}$ $\varphi$ $\lim \limits _{x\to 0}{\frac {\sin x}{x}}=1$

n=1
n=2
n=3
n=4
n=5
n=6
n=8
n=16

A változás változásának folyamata vizuálisan is bemutatható a deriválton keresztül . Köztudott , hogy és Ugyanez a tény igaz a függvény komplex értékére is. A függvényt figyelembe véve azt kapjuk, hogy . Mivel a komplex számok geometriai ábrázolásában a szorzás hasonló a 90 fokkal való elforgatáshoz, a függvény grafikus ábrázolása és deriváltja hasonló lesz a centripetális erőhatás rajzához , amelynek fizikai jelentése ismert. ${\displaystyle e^{\varphi i))$ $\varphi$ $\left({e^{x}}\right)'=e^{x}$ ${\displaystyle \left({e^{f(x)}}\right)'=f'(x)e^{f(x)))$ ${\displaystyle f(\varphi )=e^{\varphi i))$ $f'(\varphi )=if(\varphi )$ $én$ ${\displaystyle f(\varphi )=e^{\varphi i))$

Egy komplex szám exponenciális alakja

A komplex számok exponenciális és trigonometrikus alakjait az Euler-képlet köti össze.

Legyen egy trigonometrikus formájú komplex szám alakja . Az Euler-képlet alapján a zárójelben lévő kifejezés helyettesíthető exponenciális kifejezéssel. Ennek eredményeként a következőket kapjuk: $z$ $z=r(\cos \varphi +i\sin \varphi )$

z=re^{{i\varphi }}

Ezt a jelölést a komplex szám exponenciális alakjának nevezzük. Csakúgy, mint a trigonometrikus formában, itt is , . $r=|z|$ $\varphi =\arg z$

Jegyzetek

↑ Cotes R. Logometria // Philosophical Transactions of the Royal Society of London : folyóirat. - 1714-1716. — Vol. 29 . — 32. o . - doi : 10.1098/rstl.1714.0002 . Archiválva az eredetiből 2017. július 6-án.
↑ Cotes R. Harmonia mensurarum . - 1722. - 28. o. A Wayback Machine 2020. június 7-i archív példánya
↑ González-Velasco Enrique A. Journey through Mathematics: Creative Episodes in His History . - 2011. - P. 182. Archív másolat 2014. október 19-én a Wayback Machine -nél
↑ Euler L. Cap.VIII. De quantitatibus transcendentibus ex Circulo ortis // Introductio in analysin infinitorum (neopr.) . - 1748. - T. 1. - S. 104.

Irodalom

Gutov A. Z. Az általánosított szinusz és koszinusz Euler-képletének analógja // A fizikai és matematikai tudományok modern módszerei. A nemzetközi konferencia anyaga. Eagle, 2006. S. 35-37. Archiválva : 2020. szeptember 25. a Wayback Machine -nél
Korn G., Korn T. Matematika kézikönyve (kutatóknak és mérnököknek) . - M .: Nauka, 1973.
Stillwell D. Matematika és története . - Moszkva-Izhevsk: Számítógépes Kutatóintézet, 2004. - 530 p. Archiválva : 2015. június 7. a Wayback Machine -nél

Szótárak és enciklopédiák	Nagy dán Nagy orosz Britannica (online)