Beauville-Bogomolov forma

A Beauville-Bogomolov forma (más néven Beauville-Bogomolov-Fujiki ) egy négyzetes forma , amely egy kompakt hiperkähler sokaság második kohomológiájában létezik . Arnaud Beauville és Fjodor Bogomolov nevéhez fűződik . $H^{2}(X,{\mathbb {C}})$

Definíció

Legyen egy generátor -ben , úgy választva, hogy (vagyis a szimplektikus alakja ). Ekkor bármely 2-forma megengedi a Hodge komponensekre való felbomlását : . A másodfokú formát a következő képlettel határozzuk meg: $\sigma$ $H^{{2,0}}(X,{\mathbb {C}})$ $\int _{{X}}(\sigma \overline {\sigma })^{{n}}=1$ $\alpha =\lambda \sigma +\mu \overline {\sigma }+\beta ;\beta \in H^{{1,1}}(X)$

$q(\alpha )=\lambda \mu +n/2\int _{{X}}\beta ^{{2}}(\sigma \overline {\sigma })^{{n-1}}$

A Beauville-Bogomolov forma tulajdonságai

Legyen egy univerzális lokális deformáció (az alapja egy golyó lesz). Ekkor kellően közel , , (az utolsó képletben szimmetrikus bilineáris alakot jelöl, amely a fent definiált másodfokú alak szerint van megszerkesztve). ${\mathfrak {X}}\B$ $x$ $B$ $t\ in B$ $0$ $q({\sigma }_{{t)))=0$ $q({\sigma }_{t},\overline {{\sigma }_{t)))>0$ $q$
Az a térkép, amely egy pontot egy formának megfelelő pontra mutat a második kohomológiai projekcióban , ráadásul egy lokális izomorfizmus az alak nullák halmazával (Torelli lokális tétele ). $t\ in B$ ${\sigma }_{t}$ ${\mathbb {P}}(H^{{2}}(X,{\mathbb {C))))$ $q$
$q|_{{H^{{2))(X,{\mathbb {R))))}$ az aláírás nem degenerált formája , ahol a második Betti-szám . $(3,b_{{2}}(X)-3)$ $b_{2}$
Fujika relációja : if , hol van olyan állandó, amely nem a komplex struktúrától függ (hanem csak a topológiájától). $\alpha \in H^{{2}}(X,{\mathbb {R}});{q(\alpha )}^{{n}}=c\int _{{X}}{\alpha } ^{{2n}}$ $c$ $x$

Linkek

Globális Torelli-tétel a hiperkaehler sokaságokhoz , Misha Verbitsky