Az alakváltozások elmélete

A deformációelmélet a matematikának  egy olyan ága , amely azokat a végtelenül kicsi feltételeket vizsgálja, amelyek egy megoldásnak egy kissé eltérő megoldásra való változtatásához kapcsolódnak , ahol  egy kis szám vagy egy vektor. Az infinitezimális feltételek tehát a differenciálszámítás megközelítéseinek a peremfeltételekkel kapcsolatos problémák megoldására való alkalmazásának eredményei.

Az elméletben használt néhány jellemző technika a következő: elsőrendű egyenletek differenciálása elhanyagolhatóan kis négyzetű mennyiségként való kezeléssel; izolált megoldások lehetősége , amelyekben a megoldás variálása lehetetlen vagy nem ad semmi újat; a kérdés az, hogy az infinitezimális peremfeltételek mikor integrálhatók ténylegesen, azaz megoldásaik kis eltéréseket tesznek lehetővé. Ilyen vagy olyan formában ezek az elképzelések évszázadok óta ismertek a matematikában és a fizikában . Például a számok geometriájában ismert az eredmények egy osztálya, amelyet izolációs tételként ismerünk, és egy adott megoldás körüli nyitott pálya ( csoportművelet ) topologikus értelmezésével . A perturbációelmélet deformációkat is leír – az operátorok deformációit .

Összetett sokaságok alakváltozásai

Legkiemelkedőbb[ tisztázni ] az alakváltozáselméletek közül az összetett és algebrai változatok alakváltozásainak elmélete . Szilárd talajra állította Kunihiko Kodaira és Donald Spencer alapvető munkája , miután a deformációs technikának sikerült az olasz algebrai geometriai iskola még homályosabb tapasztalataiban . Intuitív módon természetes lenne azt várni, hogy az elsőrendű deformációk megfeleljenek a modulustér Zariski-terének érintőjének . Általában véve a helyzet sokkal finomabb.

Komplex görbék esetében érthető, hogy a Riemann-gömb komplex szerkezete izolált (nincs modul), míg az 1 -es nemzetség esetében az elliptikus görbének egyparaméteres összetett szerkezetek családja van, amint azt az elliptikus elmélet mutatja. funkciókat . Kodaira-Spencer általános elmélete a kévék kohomológiai csoportját határozza meg a deformációk elméletének kulcsaként.

H 1 (Θ)

ahol Θ a holomorf érintőköteg szakaszcsíráinak köteget jelöli . Ugyanazon nyaláb H 2 -jében van akadály ; amelyek méretezési okokból görbéknél nullák. A 0 nemzetség esetében a H 1 is eltűnik. Az 1. nemzetség dimenziója megegyezik a h 1.0 Hodge-számmal , amely rendre 1. Mint ismeretes, az 1. nemzetség összes görbéjének van egyenlete y 2 = x 3 + ax + b . Ezek természetesen két paramétertől, a-tól és b-től függenek, míg az ilyen görbék izomorfizmusosztályai csak egyparaméteresek. Következésképpen léteznie kell egy egyenletnek, amely ugyanazt az a-t és b-t összeköti, amely leírná az elliptikus görbék izomorfizmus osztályait. Kiderült, hogy azok a görbék, amelyekre b 2 a -3 ugyanaz, izomorf görbéket írnak le, azaz a és b változtatása az egyik módja az y 2 = x 3 + ax + b görbe szerkezetének deformációjának , de nem az összes a, b variációi a görbe ténylegesen megváltoztatják a görbe izomorfizmus osztályát.

Tovább lehet menni, figyelembe véve a g > 1 nemzetség esetét , és a Serre kettősséget használva a H 1 -et a következőkkel kapcsoljuk össze:

H 0 (Ω [2] ),

ahol Ω a kotangens köteg holomorf szakaszainak csíráiból álló köteg , és az Ω [2] jelölés egy tenzornégyzetet jelöl (és nem a második külső hatványt , ahogy gondolnánk). Más szóval, az alakváltozásokat másodfokú differenciálok szabályozzák egy összetett görbén, vagyis ismét valami klasszikuson. A modulustér mérete, amelyet ebben az esetben Teichmüller-térnek nevezünk, a Riemann-Roch-tétel szerint 3 g − 3 .

Ezek a példák felvázolják egy tetszőleges dimenziójú komplex sokaság holomorf családjaira alkalmazható elmélet kezdetét. További fejlesztése magában foglalja e technikák más differenciális geometriai struktúrákra való átültetését, Grothendieck Kodaira-Spencer elméletének az absztrakt algebrai geometriára való adaptálását a korábbi konstrukciók későbbi tisztázásával, valamint más struktúrák, például algebrák deformációinak elméletét.

Kapcsolat a húrelmélettel

Az algebrák (és a Hochschild-kohomológia ) kontextusában felmerülő úgynevezett Deligne-sejtés felkeltette az érdeklődést a deformációelmélet iránt a húrelmélet tükrében (nagyjából annak az elképzelésnek a formalizálására, hogy a húrelmélet a pontrészecske-elmélet deformációjának tekinthető. ). Most már bizonyítottnak tekinthető. Többek között ennek a ténynek az általánosan elfogadott bizonyítékát Maxim Kontsevich ajánlotta fel .

Jegyzetek

Linkek