Routh-egyenletek

A Routh-egyenletek ideális kétirányú holonomikus kényszerekkel rendelkező mechanikai rendszer mozgásának differenciálegyenletei .

E. J. Routh javasolta 1876-ban [1] azzal a módszerével kapcsolatban, amellyel a ciklikus koordinátákat kiküszöböli a mozgásegyenletekből [2] . Ezek egyfajta kombinációja a második típusú Lagrange-egyenleteknek és a Hamilton-egyenleteknek .

Routh-egyenletek összeállítása

Ha a második típusú Lagrange-egyenletekben az állapotváltozók szerepét a Lagrange-változók (általánosított koordináták és általánosított sebességek ), a Hamilton-egyenletekben pedig a Hamilton- változók (általánosított koordináták és általános momentumok ) játsszák, akkor a Routh Ez a megközelítés lehetővé teszi az általánosított koordináták (valamint a megfelelő általánosított impulzusok) két csoportra való felosztását és a mechanikai rendszer állapotának leírását a Routh-változók segítségével [3] : $q_{_{i))$ ${\pont {q_{_{i))))$ $q_{_{i))$ $p_{_{i))$

q_{_{1)),\dots ,q_{_{s)),\,{\pont {q_{_{1)))),\dots ,{\pont {q_{_{r }}}},\,p_{_{r+1}},\dots ,p_{_{s}}\,\,;

itt van a szabadságfokok száma, . Az általánosított impulzusokat a szokásos módon határozzuk meg - a Lagrange-függvény parciális deriváltjaként , ahol az idő, az általánosított sebességekhez képest: $s$ $r\leqslant s$ $p_{_{i))$ $L\,=\,L\,(q_{_{1)),\dots ,q_{_{s)),\,{\pont {q_{_{1)))),\dots ,{\pont {q_{_{s}}}},\,t)$ $t$

(*)\qquad p_{_{i}}\;=\;{\frac {\partial L}{\partial {\dot {q_{_{i}}}}}\,,\ qquad i\,\,=\,\,r+1,\dots ,s\,\,.

Az imént felírt összefüggések a második csoport általánosított sebességeinek egyenletrendszere. Abban az esetben, ha a mechanikai rendszer természetes , azaz különbségként bevezetjük a Lagrange - függvényt [ 4 ] , az egyenletrendszer lineáris algebrai egyenletrendszernek bizonyul. $sr$ $L\,=\,T-\Pi$ $T$ $\Pi$ $\Pi \,=\,\Pi \,(q_{_{1)),\dots ,q_{_{s)),t)$ $\Pi \,=\,\Pi \,(q_{_{1)),\dots ,q_{_{s)),\,{\pont {q_{_{1)))), \pontok ,{\pont {q_{_{s}}}},\,t)$ $(*)$

Továbbá feltételezzük, hogy az egyenletrendszer a második csoport általánosított sebességei tekintetében egyedileg megoldható . A természetes rendszerek esetében ez mindig így lesz, mert a lineáris egyenletrendszer determinánsa a rendszer tehetetlenségi együtthatóiból álló mátrix egyik fő minora , de ez utóbbi pozitívan definiált [5] , így hogy fő minorjai pozitívak a Sylvester-kritérium alapján , és ezért nem nullák. A nem természetes rendszerek esetében a feltevés [4] a függvényre támasztott további követelménynek tekinthető . $(*)$ $L$

Ezen feltevések alapján a Routh-egyenletek összeállításához [6] [7] egy explicit kifejezést találunk a Routh-függvényre (maga Rouse nevezte [8] „módosított Lagrange-függvénynek”).

R\;=\;L\,-\sum _{i=r+1}^{s}p_{_{i}}{\pont {q_{_{i}}}}

Routh változókon és időn keresztül:

R\;=\;R\,(q_{_{1)),\dots ,q_{_{s)),\,{\pont {q_{_{1)))),\dots ,{\pont {q_{_{r}}}},\,p_{_{r+1}},\pontok ,p_{_{s}}\,t)

(amelyre az általánosított sebességek a relációkat használva ki vannak zárva az eredeti kifejezésből ), ami után ezeket az egyenleteket felírjuk [9] [10] : ${\pont {q_{_{r+1)))),\pontok ,{\pont {q_{_{s))))$ $(*)$ $R$

{\frac {\rm {d}}({\rm {d}}t}}\,{\frac {\partial R}{\partial {\dot {q_{_{i}}}} }}\,-\,{\frac {\partial R}{\partial q_{_{i))))\;=\;Q\,'_{_{i}}\,,\qquad i\ ,\,=\,\,1,\pontok ,r;

{\frac {{\rm {d}}q_{_{i}}}{{\rm {d}}t}}\;=\;-\,{\frac {\partial R}{ \partial p_{_{i))))\,,\qquad {\frac ({\rm {d}}p_{_{i}}}{{\rm {d}}t}}\;=\ ;{\frac {\partial R}{\partial q_{_{i))))\,+\,Q\,'_{_{i}}\,,\qquad i\,\,=\, \,r+1,\dots ,s;

itt vannak az általánosított nem potenciális erők [11] . A Routh-egyenletek érvényessége úgy igazolható, hogy a második típusú Lagrange-egyenleteket egyszerű transzformációknak vetjük alá [9] [12] . $Q\,'_{_{i))$

A Routh-egyenleteknek van egy Lagrange-formája az első csoport általánosított koordinátáira, és egy Hamilton-alakja a második csoport koordinátáira. -nél a Routh-egyenletek a második típusú Lagrange -egyenletekre redukálódnak , és -nél átmennek (ha a Hamilton-függvényt az egyenlőséggel vezetjük be ) a Hamilton-egyenletekbe [13] . $r=0$ $r=s$ $H$ $H=-R$

A Routh-egyenletek alkalmazása

A ciklikus koordináták kiküszöbölésének módja

A Routh-egyenlet fő alkalmazása az általa javasolt módszer keretein belül található a ciklikus koordináták mozgásegyenletekből való kizárására (a „Rouss-eljárás ciklikus koordináták figyelmen kívül hagyására ” kifejezést is használják [14] [15] ). Routh maga a ciklikus koordinátákat "hiányzó koordinátáknak" nevezte; a "ciklikus koordináták" kifejezést [16] 1884-ben G. Helmholtz [17] vezette be .

Legyenek a koordináták ciklikusak , azaz a következő feltételek teljesülnek [15] : $q_{_{r+1}},\dots ,q_{_{s}}$ $i\,=\,r+1,\dots ,s$

a Routh-függvény nem függ tőlük: (ez a feltétel egyenértékű [18] azzal, hogy független a Lagrange-függvénytől vagy a Hamilton-függvénytől); ${\frac {\partial R}{\partial q_{_{i))))\,=\,0$ $q_{_{i))$
ezeknek a koordinátáknak megfelelő általánosított nem potenciális erők nullával egyenlők: ; $Q\,'_{_{i}}\,=\,0$
A többi általánosított koordinátának megfelelő általánosított nem potenciális erők (ez utóbbiakat [19] pozíciósnak nevezzük ) nem függenek a ciklikus koordinátáktól: . ${\frac {\partial Q\,'_{_{k))}{\partial q_{_{i))))\,=\,0,\;\;k\,\,= \,\,1,\pontok ,r$

Ebben az esetben egy mechanikai rendszer mozgásegyenletei a Routh-egyenletek formájában épülnek fel, ahol az általánosított koordináták első csoportját a helyzeti koordináták, a második csoportot pedig ciklikus koordináták alkotják. Ebben az esetben az utolsó Routh-egyenletek alakját veszik fel $sr$

{\frac {{\rm {d}}p_{_{i}}}{{\rm {d}}t}}\;=\;0\,,\qquad i\,\,= \,\,r+1,\pontok ,s,

így a második csoport általánosított impulzusai állandónak bizonyulnak:

p_{_{i}}\;=\;\beta _{_{i}}\;=\;{\rm {const}}\,,\qquad i\,\,=\,\ ,r+1,\pontok ,s.

Az állandók a kezdeti feltételekből kereshetők. Miután a Routh-függvényben szereplő momentumokat és a fennmaradó Routh-egyenleteket konstansokra cseréltük , a Routh-egyenletek első csoportja teljesen elkülönül a többitől: $\beta _{_{i))$ $p_{_{i))$ $\beta _{_{i))$

{\frac {\rm {d}}({\rm {d}}t}}\,{\frac {\partial R}{\partial {\dot {q_{_{i}}}} }}\,-\,{\frac {\partial R}{\partial q_{_{i))))\;=\;Q\,'_{_{i}}\,,\qquad i\ ,\,=\,\,1,\dots ,r.

Ezek az egyenletek ugyanolyan alakúak, mint a második típusú Lagrange-egyenletek egy új , szabadságfokkal rendelkező mechanikai rendszerhez és egy ilyen Lagrange-függvényhez : $r$ $L^{*}$

L^{*}(q_{_{1)),\dots ,q_{_{r)),\,{\pont {q_{_{1)))),\dots ,{\pont {q_{_{r}}}},\,t)\;=\;R\,(q_{_{1}}),\dots ,q_{_{s}}),\,{\pont {q_ {_{1}}}},\pontok ,{\pont {q_{_{r}}}},\,\beta _{_{r+1}}),\pontok ,\beta _{ _{s }},\,t)\,\,.

Így a ciklikus koordináták kiküszöbölésének módszere lehetővé teszi a mozgásegyenletek sorrendjének csökkentését -ról -ra . A kapott rendszer integrálása után a ciklikus koordináták időfüggését egy egyszerű kvadratúra segítségével kaphatjuk meg [15] [20] : $2s$ $2r$

q_{_{i}}(t)\;=\;-\,\int \limits _{t_{_{0}}}^{t}\,{\frac {\partial R}{ \partial p_{_{i}}}}\,\,{\rm {d}}t\,\,+\,C_{_{i}}\,,\qquad i\,\,=\, \,r+1,\dots ,s.

Ha a ciklikus koordinátákkal teljesítendő három feltétel közül az utolsó nem teljesül, akkor pszeudociklikus koordinátákról beszélünk . Ebben az esetben a ciklikus koordináták kiküszöbölésének módszerének alkalmazása az egyenletrendszerhez vezet.

{\frac {\rm {d}}({\rm {d}}t}}\,{\frac {\partial R}{\partial {\dot {q_{_{i}}}} }}\,-\,{\frac {\partial R}{\partial q_{_{i))))\;=\;Q\,'_{_{i}}\,,\qquad i\ ,\,=\,\,1,\pontok ,r;

{\frac {{\rm {d}}q_{_{i}}}{{\rm {d}}t}}\;=\;-\,{\frac {\partial R}{ \partial p_{_{i}}}}\,,\qquad i\,\,=\,\,r+1,\dots ,s;

következésképpen ebben az esetben a mozgásegyenletek sorrendje csökken, de nem olyan jelentősen - [15]-re . $s+r$

Egyéb felhasználások

1884-ben G. Helmholtz a Routh-egyenleteket használta termodinamikai kutatásai során [21] .

A XX. század végén. V. F. Zhuravlev alátámasztotta a Routh-egyenletek alkalmazásának célszerűségét az egyirányú kényszerű mechanikai rendszerek mozgásának leírására, amikor ütési kölcsönhatások léphetnek fel . Ebben az esetben a Routh-egyenletek apparátusa lehetővé teszi, hogy a mozgásegyenleteket olyan formában írjuk fel, amely nem tartalmaz olyan szingularitásokat, mint a delta-függvények [22] .

Jegyzetek

↑ Petkevich, 1981 , p. 358-359.
↑ Golubev, 2000 , p. 564.
↑ Markeev, 1990 , p. 249.
↑ 1 2 Markeev, 1990 , p. 240.
↑ Kilcsevszkij, 1977 , p. 130.
↑ Golubev, 2000 , p. 565.
↑ Kilcsevszkij, 1977 , p. 348-349.
↑ Routh, I. kötet, 1983 , p. 361.
↑ 1 2 Kilcsevszkij, 1977 , p. 349.
↑ Golubev, 2000 , p. 565-566.
↑ A szakirodalomban más lehetőségek is vannak a Routh-egyenletek felírására: vagy megváltoztatják az első és a második csoport koordinátáinak szerepét, vagy megváltoztatják a Routh-függvény előjelét (a „megváltozott” előjelének kiválasztásakor Routh-ot követtük Lagrange függvény”).
↑ Zhuravlev, 2001 , p. 127.
↑ Kilcsevszkij, 1977 , p. 349-350.
↑ Kilcsevszkij, 1977 , p. 351.
↑ 1 2 3 4 Zhuravlev, 2001 , p. 128.
↑ Helmholtz, H. von Principien der Statik monocyklischer Systeme // Borchardt-Crelle Journal für die reine und angewandte Mathematik , 1884, 97 . - P. 111-140.
↑ Lanczos K. A mechanika variációs elvei. — M .: Mir, 1965. — 408 p. - S. 151.
↑ Markeev, 1990 , p. 276.
↑ Markeev, 1990 , p. 351.
↑ Kilcsevszkij, 1977 , p. 350.
↑ Petkevich, 1981 , p. 359.
↑ Zhuravlev, Fufaev, 1993 , p. 88-89.

Irodalom

Golubev Yu. F. Az elméleti mechanika alapjai. 2. kiadás - M . : Moszkvai Kiadó. un-ta, 2000. - 719 p. — ISBN 5-211-04244-1 .
Zhuravlev VF Az elméleti mechanika alapjai. 2. kiadás - M. : Fizmatlit, 2001. - 320 p. — ISBN 5-94052-041-3 .
Zhuravlev V. F. , Fufaev N. A. Nem megtartó korlátokkal rendelkező rendszerek mechanikája. — M .: Nauka, 1993. — 240 p. — ISBN 5-02-006784-9 .
Kilchevsky N.A. Elméleti mechanika tanfolyam. T. II. — M .: Nauka, 1977. — 544 p.
Markeev A.P. Elméleti mechanika. — M .: Nauka, 1990. — 416 p. — ISBN 5-02-014016-3 .
Petkevich VV Elméleti mechanika. — M .: Nauka, 1981. — 496 p.
Raus, E. J. Merev testek rendszerének dinamikája. T. I. - M. : Nauka, 1983. - 464 p.
Targ S. M. Routh-egyenlet // Fizikai enciklopédia : [5 kötetben] / Ch. szerk. A. M. Prohorov . - M . : Szovjet Enciklopédia (1-2. kötet); Great Russian Encyclopedia (3-5. kötet), 1988-1999. — ISBN 5-85270-034-7 .