Második típusú Lagrange-egyenletek

Az oldal jelenlegi verzióját még nem ellenőrizték tapasztalt közreműködők, és jelentősen eltérhet a 2016. április 20-án áttekintett verziótól ; az ellenőrzések 16 szerkesztést igényelnek .

A második típusú Lagrange-egyenletek egy mechanikai rendszer mozgásának differenciálegyenletei , amelyeket a Lagrange-formalizmus alkalmazásával kapunk .

Egyenletek fajtája

Ha egy holonómikus mechanikai rendszert egy Lagrange -féle ír le ( általánosított koordináták , t az idő , a pont az időhöz viszonyított differenciálódást jelöli ) és csak a potenciális erők hatnak a rendszerben , akkor a második típusú Lagrange-egyenletek alakja $L(q_{i},{\pont q}_{i},t)$ $q_{i}$

{\frac {d}{dt))\left({\frac {\partial L}{\partial {\dot q}_{i))}\right)-{\frac {\partial L}{\partial q_{i}}}=0

ahol i = 1, 2, … n ( n a mechanikai rendszer szabadságfokainak száma ). A Lagrange a rendszer kinetikus és potenciális energiái közötti különbség.

Potenciális ( ) és nem potenciális ( ) általánosított erők jelenlétében a jobb oldal jelenik meg: ${\displaystyle Q_{i}^{p))$ ${\displaystyle Q_{i}^{n))$

{\frac {d}{dt}}\left({\frac {\partial L}{\partial {\dot {q}}_{i}}}\right)-{\frac {\partial L}{\partial q_{i}}}=Q_{i}^{n}

A nem potenciális erők közé tartozik például a súrlódási erő . Ebben az esetben a második típusú Lagrange-egyenletek kissé eltérő formában átírhatók:

{\frac {d}{dt))\left({\frac {\partial T}{\partial {\dot q}_{i))}\right)-{\frac {\partial T}{\partial q_{i}}}=Q_{i}

ahol a rendszer kinetikus energiája , az általánosított erő . $T(q_{i},{\pont q}_{i},t)$ $Q_{i}^{p}+Q_{i}^{n}=Q_{i}$

Egyenletek levezetése

A mechanikai Lagrange-egyenletek a dinamika Euler-törvényeiből (a lendület és a szögimpulzus egyensúlya) származnak a rendszer bizonyos megkötései mellett: csak ideális holonomikus kényszerek lehetnek benne. Ez a mechanikai rendszerek sajátos, bár nagyon fontos esete. Más esetekben a Lagrange-egyenletek módosításait kapjuk [1] .

Ha a legkisebb cselekvés elve releváns a vizsgált rendszerre nézve (korántsem minden fizikai rendszer engedelmeskedik ennek), akkor a következtetés másként is levonható. A Lagrange-féle mechanikában az egyenletek levezetése ezen elv alapján történik, amely kimondja, hogy a valós mozgásokat az különbözteti meg minden elképzelhetőtől, hogy a funkcionális

S=\int _{{t_{1}}}^{{t_{2}}}L(q_{i},{\pont q}_{i},t)dt

akciónak nevezzük , a rendszer tényleges mozgásának ( és - az idő kezdeti és végső pillanatának ) pályáján szélső (elég kicsi - minimális) értéket vesz fel [2] . A szabványos optimalizálási sémát alkalmazva az akciófunkcionálisra, megkapjuk a Lagrange-Euler egyenleteket , amelyeket mechanikus rendszerre a második típusú Lagrange-egyenleteknek nevezünk. Az alábbiakban egy általánosított koordinátával és sebességgel rendelkező rendszer egyenletének levezetése látható. $t_{2}-t_{1}$ ${\displaystyle t_{1))$ $t_{2}$

Feltételezzük, hogy a határok eltérése nulla:

\delta q(t_{1})=\delta q(t_{2})=0

Módosítsa a műveletet az állapotról az igenre való áttéréskor $t_{1}$ $t_{2}$

\delta S=\int _{{t_{1}}}^{{t_{2}}}L(q+\delta q,{\pont q}+\delta {\pont q},t)dt-\ int _{{t_{1}}}^{{t_{2}}}L(q,{\pont q},t)dt

Ezt a teljesítménykülönbséget kibővítve a következőket kapjuk:

\delta S=\delta \int _{{t_{1}}}^{{t_{2}}}L(q,{\pont q},t)dt

Ennek a kifejezésnek a változtatásával a következőket kapjuk:

\int _{{t_{1))}^{{t_{2))}\left({\frac {\partial L}{\partial q))\delta q+{\frac {\partial L}{\ részleges {\pont q))}\delta {\pont q}\right)dt=0

Figyelembe véve , hogy a második kifejezést részenként integráljuk: $\delta {\pont q}={\frac {d}{dt))\delta q$

\delta S={\frac {\partial L}{\partial {\dot q))}\delta q{\Bigl .}{\Bigr |}_{{t_{1))}^{{t_{2 }}}+\int _{{t_{1}}}^{{t_{2}}}\left({\frac {\partial L}{\partial q}}-{\frac {d}{dt )){\frac {\partial L}{\partial {\dot q))}\right)\delta qdt=0

Az első tag a legelső levezetési képlet alapján egyenlő nullával. A második tag csak akkor lehet egyenlő nullával, ha az integrandus egyenlő nullával. Így megkapjuk a kívánt Lagrange-egyenletet:

{\frac {d}{dt)){\frac {\partial L}{\partial {\dot {q))))-{\frac {\partial L}{\partial q))=0

Lásd még

Az első típusú Lagrange-egyenletek

Jegyzetek

↑ Butenin B.V. Bevezetés az analitikai mechanikába. - M .: Nauka, 1971. - Példányszám 25 000 példány. – 56–59
↑ Medvegyev B.V. Az elméleti fizika kezdetei. Mechanika, térelmélet, kvantummechanika elemei. — M.: Fizmatlit, 2007. — ISBN 978-5-9221-0770-9 . - Példányszám 2000 példány. – S. 19–23