Mozgásegyenlet

A mozgásegyenlet ( mozgásegyenletek ) egy egyenlet vagy egyenletrendszer , amely egy mechanikai vagy dinamikus rendszer (például egy mező ) fejlődési törvényét határozza meg időben és térben [1] .

Egy fizikai rendszer evolúcióját egyértelműen a mozgásegyenletek és a kezdeti feltételek határozzák meg .

Bevezetés

Egy dinamikus rendszer mozgásegyenlete magában foglalja a változók teljes halmazát, amelyek meghatározzák a rendszer állapotát (például az összes koordinátát és sebességet, vagy az összes koordinátát és momentumot), valamint azok időbeli deriváltjait, ami lehetővé teszi, hogy egy ilyen egy adott időpontban beállítva, hogy kiszámítsa egy kis (végtelenül kicsi) időintervallum által elválasztott pillanatra. Elvileg ennek a számítási folyamatnak a nagy (végtelen) számú egymás utáni megismétlésével lehetséges mindezen változók értéke kiszámítani egy olyan pillanatra, amely tetszőlegesen [2] van a kezdeti értéktől. Egy ilyen folyamat segítségével lehetőség nyílik ( kellően kicsi, de véges választással) a mozgásegyenletek közelítő numerikus megoldására. A pontos [3] megoldáshoz azonban más matematikai módszereket kell alkalmazni. $\Delta t$

A modern kvantumelméletben a mozgásegyenlet kifejezést gyakran csak a klasszikus mozgásegyenletekre használják, vagyis csak a klasszikus és a kvantum esetek megkülönböztetésére. Ebben a szóhasználatban például a „mozgásegyenletek megoldása” szó pontosan a klasszikus (nem kvantum) közelítést jelenti, amely aztán így vagy úgy felhasználható kvantumeredmény megszerzésére vagy azzal való összehasonlításra. Ebben az értelemben a hullámfüggvény evolúciós egyenleteit nem nevezzük mozgásegyenleteknek, például az alábbiakban említett Schrödinger- és Dirac-egyenletet nem nevezhetjük elektron mozgásegyenletének. Bizonyos egyértelműséget ad itt egy kiegészítés, amely jelzi azt a mozgásegyenletet, amelyről beszélünk: tehát bár a Dirac-egyenlet nem nevezhető egy elektron mozgásegyenletének, még az ebben a bekezdésben tárgyalt értelemben is igen. , nevezzük a spinormező klasszikus mozgásegyenletének.

Példák

Egy egyszerű mechanikai példa

Tekintsünk a newtoni mechanika keretein belül egy olyan pontrészecskét, amely csak egy egyenes mentén képes mozogni (például egy sima küllőn csúszó gyöngy). A részecske helyzetét az egyenesen egyetlen számmal - a koordinátával - x írjuk le . Hagyja ezt a részecskét (például valamilyen rugóval) egy f erő hatni , a részecske helyzetétől függően a Hooke-törvény szerint, vagyis egy kényelmes x vonatkoztatási pontot választva felírhatjuk f = - kx . Ebben az esetben Newton második törvényét és kinematikai összefüggéseit figyelembe véve, a sebességet v -vel jelölve, a következő mozgásegyenleteket kapjuk rendszerünk számára:

dv/dt=-(k/m)x

dx/dt=v

vagy a v kizárása a rendszerből:

d^{2}x/dt^{2}=-(k/m)x

A kezdeti koordinátát és sebességet behelyettesítve ezen egyenletek megfelelő részeibe, és a végtelenül kicsi d t -t kicsire, de végesre cseréljük , és az egyenleteket megközelítőleg ennek megfelelően átírva az első alakban - a ( ) = alakban érték érték (t) + derivált , kapjuk: $\delta t$ $t+\delta t$ $\delta t$

v(t+\delta t)=v(t)-(k/m)x(t)\delta t

x(t+\delta t)=x(t)+v(t)\delta t

és az előző pillanatról a következőre átlépve (minden alkalommal, amikor az idő növekszik ), megkaphatjuk ezeknek a mozgásegyenleteknek a numerikus megoldását táblázat formájában , amely megközelítőleg reprezentálja x(t) és v( t) időben (egy lépéssel ). Látható, hogy ha elég kicsire választottuk, hogy x(t) és v(t) nagyon közel legyen a függvényhez . $\delta t$ ${x(0),v(0);x(\delta t),v(\delta t);x(2\delta t),v(2\delta t);\pontok ;x(n\delta t ),v(n\delta t);}$ $\delta t$ $\delta t$ $const\cdot \cos({\sqrt {k/m}}\cdot t+const')$

Ezt a közelítő megoldást vagy más megfontolásokat feltételezésként használva, ha már sejtjük, mi legyen a megoldás, egyszerűen helyettesíthetjük

x=A\cos(\omega t+\phi )

ahol egyszerűen konstansok vannak, a pontos mozgásegyenletekbe, figyelembe véve ennek a kifejezésnek a szükséges időbeli deriváltjait. Ugyanakkor megbizonyosodhatunk arról, hogy a helyettesítés során nem nehéz konkrét értékeket kiválasztani, hogy az egyenlőség teljesüljön, és megkeressük az ehhez szükséges értékeket (kiderül, hogy és lehet bármilyen, de . Így megkaptuk a mozgásegyenletek pontos megoldását, sőt az általános egzakt megoldást (vagyis bármilyen kezdeti feltételre alkalmas, könnyen áttekinthető). $A,\omega ,\phi$ $A,\omega ,\phi$ $A,\omega ,\phi$ $A$ $\phi$ $\omega ={\sqrt {k/m))$

Most ennek az általános egzakt megoldásnak a birtokában választhatunk az általános megoldások halmazából (különböző és ) egy adott megoldást, amely bizonyos kezdeti feltételeket kielégít. Így oldjuk meg a feladatot egy adott mozgásegyenletre és kezdeti feltételekre. $A$ $\phi$

Ez egy konkrét egyszerű példán szemlélteti a mozgásegyenlet (mozgásegyenletek) fogalmát és azok megoldását.

Példák mozgásegyenletekre a fizika különböző területein

A klasszikus mechanikában Newton törvényei (A Newton-féle törvények – nevezetesen a második – mellett a newtoni mechanika mozgásegyenletei kinematikai egyenleteket és specifikus erőtörvényeket tartalmaznak, mint pl . az egyetemes gravitáció törvénye vagy a Hooke-törvény ). Euler-Lagrange egyenletek Hamilton-egyenletek
A klasszikus statisztikai mechanikában: Liouville egyenlet Bogolyubov egyenlete Boltzmann egyenlet Vlasov egyenlet
A klasszikus térelméletben: Maxwell -egyenletek (különböző formában írhatók és használhatók). A folytonos közeg mozgásegyenlete
A kvantummechanikában (lásd a fő cikk megjegyzését a mozgásegyenlet alkalmazhatóságának lehetséges korlátairól ezen a területen) Schrödinger egyenlet Heisenberg egyenlet Lindblad egyenlet Von Neumann egyenlet Dirac egyenlet

Jegyzetek

↑ Amikor az emberek a józan értelemben vett mozgásegyenletekről beszélnek, ezek differenciál- vagy integro-differenciálegyenletekre gondolnak (bár néhány más egyenlettípus, például a diszkrét rendszerek differenciálegyenlete meglehetősen közeli analógia lehet).
↑ Az „ elvileg… amennyire tetszik ” szavak azt jelentik, hogy ez általában csak egy matematikai modellre igaz (ami mindig csak némi hibával írja le a fizikai valóságot), míg abszolút pontosan megadott kiindulási adatokkal; a valóságban a rendszer állapotának előrejelzésének helyességét a mozgásegyenletekkel hosszú időre előre maguknak az egyenleteknek az írási hibái (az általuk leírt valósághoz képest), a kiindulási adatok beállításának hibái határozzák meg, és az ezen egyenlettípusok megoldásainak stabilitása ; ennek ellenére a gyakorlatban számos esetben (bár korántsem minden esetben) a mozgásegyenleteket használó előrejelzés kellően nagy időintervallumon keresztül nagyon pontos (mint például az égi mechanikában), vagy legalábbis kielégítő.
↑ A pontos megoldás természetesen azt jelenti, hogy "pontos a matematikai modell keretein belül", vagyis nem veszik figyelembe maguknak az egyenleteknek a megírásában a hibát; úgy tűnhet, hogy nem kell aggódni a pontos megoldások megszerzése miatt, hiszen maguk az egyenletek nem teljesen pontosan tükrözik a fizikai valóságot, azonban nem is beszélve arról, hogy gyakran a modell hibája meglehetősen kicsi, és a megoldások a matematikai értelemben vett egzakt akkor fizikailag elég pontosak, az egzakt megoldásoknak általában van még egy előnyük: képletek formájában olyan formában vannak felírva, ami sokkal kényelmesebbé teszi a további számításokhoz és elemzésekhez való felhasználásukat, ami fontos mind a gyakorlati, mind az elméleti megértés számára, mert egyetlen pontos megoldás több paraméterrel a szinguláris megoldások végtelen családjának rekordja.

Linkek

Mozgásegyenletek kisalkalmazás

mechanikus mozgás
referenciarendszer	inerciális vonatkoztatási rendszer Nem inerciális vonatkoztatási rendszer Összetett mozgás A relativitás elve
Anyagi pont	Egységes mozgás Egyenes vonalú mozgás Mozgásegyenlet Mozgásegyenletek nem inerciális vonatkoztatási rendszerben Pálya (útvonal) mozgó Sebesség Gyorsulás ( centripetális gyorsulás érintőleges gyorsulás ) gondolatjel
Fizikai test	transzlációs mozgás Sík-párhuzamos mozgás ( Párhuzamos fordítás ) Gömb alakú mozgás ( Forgó mozgás Körkörös mozgás Precesszió nutáció )
folytonosság	lamináris áramlás turbulens áramlás
Kapcsolódó fogalmak	Sebesség terv A vonat vontatása Hat szabadsági fok