Ultrafinitizmus

Az oldal jelenlegi verzióját még nem ellenőrizték tapasztalt közreműködők, és jelentősen eltérhet a 2022. augusztus 19-én felülvizsgált verziótól ; az ellenőrzések 2 szerkesztést igényelnek .

Az ultrafinitizmus (más néven ultraintuitionizmus [1] , szigorú formalizmus [2] , szigorú finitizmus [2] , aktualizmus [1] , predikativizmus [2] [3] és erős finitizmus ) [2] a finitizmus  szélsőséges formája , amely a számos matematikai és filozófiai és matematikai fogalom és elmélet. A matematikai finitizmus minden formájára jellemző, hogy megtagadják a tényleges végtelen intuitívan kétes absztrakcióját, például a természetes számok végtelen halmazát, mint teljes, befejezett objektum felépítésében; az ultrafinitizmus ezzel szemben a potenciális végtelent, vagyis az önkényesen nagy konstruktív objektumok megkonstruálásának lehetőségét tagadja vagy tekinti csekély tartalmú absztrakciónak; ennek következtében például megtagadják az aritmetikai műveletek alkalmazhatóságát minden természetes számra.

Háttér

Az ultrafinitizmus a filozófiai finitizmus hagyományait folytatja , amely nagyon gyakori volt az ókori világban és a középkorban, különösen Arisztotelész tekintélyének köszönhetően , aki tagadta a tényleges végtelent. A modern időkben a matematikában e nézetek kialakulása Georg Cantor naiv halmazelméletének megjelenéséhez kötődik, aki szabadon dolgozott a tényleges végteleneken, ami számos paradoxon felfedezéséhez vezetett . A paradoxonok kiküszöbölésére és a matematika következetességének bizonyítására tett kísérletek számos új matematikai irányzat – a Hilbert-féle finitizmus , formalizmus , logika , intuicionizmus és konstruktivizmus – megjelenéséhez és kialakulásához vezettek . Az axiomatikus halmazelmélet megjelenése után , amely kiküszöbölte a halmazelmélet fő paradoxonjait , a halmazelméleti megközelítés vált uralkodóvá a matematika oktatásában [4] , azonban a konstruktivizmus, mint a matematika önálló területe megmaradt és értelmesen fejlődött. Az ultrafinitista matematikusok nézetei a konstruktivizmus folytatásának és szélsőséges formájának tekinthetők.

Érv

Az ultrafinitizmus tagadja azoknak a véges matematikai objektumoknak az elfogadhatóságát, amelyeknek létezik konstrukciós algoritmusa, de amelyek olyan nagyok, hogy ezt az algoritmust fizikai korlátok miatt nem lehet megvalósítani. Ennek megfelelően az ilyen objektumokkal végzett műveletek értelmességét is tagadják. Ha Hilbert finitizmusa és konstruktivizmusa megtagadja a tényleges végtelen absztrakcióját, akkor az ultrafinitizmus nem hajlandó figyelembe venni a „gyakorlatilag” végtelen tárgyakat. Különösen az első Skewes-szám egész részének létezése tagadott :

azon az alapon, hogy ezt a természetes számot senki sem tudta kiszámítani, és nem valószínű, hogy ez elvileg lehetséges. A Skewes-szám rögzítéséhez ugyanis hozzávetőlegesen tizedesjegyekre van szükség, ami lényegesen nagyobb, mint az Univerzum megfigyelhető részében található elemi részecskék száma , mivel nincs belőlük több [5] .

Ez az érvelés azonban a józan észre hivatkozik, és inkább fizikai és filozófiai, mint matematikai. Ebben az értelemben érdekes Zeldovich akadémikus-fizikus „A felsőfokú matematika kezdőknek és alkalmazásai a fizikában” című könyve körül, amelyet Pontrjagin akadémikus-matematikus keményen és méltányosan kritizált a klasszikus matematika szempontjából . Például Zel'dovich definíciója a deriváltnak a "kellően kis lépések" arányaként nemcsak hogy tagadja a határértékre való átlépés szükségességét, de egyáltalán nem matematikai definíció. Arnold akadémikus matematikus és részben fizikus erős érvet talált a védekezés mellett [6] :

A könyv a derivált megdöbbentő meghatározásával kezdődött, mint a növekedések aránya, "feltéve, hogy azok elég kicsik" [7] . Ez a „fizikailag”, az ortodox matematika szemszögéből istenkáromló meghatározás természetesen teljesen indokolt, mert a 10–100-nál kisebb fizikai mennyiség növekményei tiszta fikció – a tér és idő szerkezete ezen. A skálák nagyon távol eshetnek a matematikai kontinuumtól.

Arnold érvelésének van egy feltevés formája, de kiegészíthető azzal a vitathatatlan ténnyel, hogy például a hővezetés differenciálegyenlete ilyen léptékeknél értelmetlen, mivel a hőmérséklet a molekulák energiáinak átlagolásának eredménye. A származék klasszikus meghatározása ebben az esetben a határ hiánya miatt tarthatatlan. De az egyenlet nagy pontosságú számításokat tesz lehetővé, mivel Zel'dovich definíciója működik.

A teljesen "véges" matematika felépítésében jelentős előrelépést ért el az alternatív halmazelmélet megalkotója   Piotr Vopenka [8] [9] . Az ultrafinitizmus azonban, ellentétben a konstruktivizmussal, nem vált teljes értékű matematikai irányzattá, és főként néhány matematikus filozófiája marad. Anne Sherp Troelstra konstruktivista logika a "Constructivism in Mathematics (1988)" [10] című alapvető áttekintésében felhívta a figyelmet a "kielégítő fejlődés hiányára" abban az értelemben, hogy egyszerűen nincsenek megfelelő művek a matematikai logikáról .

Az ultrafinitizmushoz kapcsolódó kutatók

Yesenin-Volpin 1962-ben kiadott egy programot az ultrafinitista matematika alapjainak megalkotására [11] . Az ultrafinitizmus témájában publikált vagy nyilvánosan közel álló matematikusok közé tartozik Doron Zeilberger , Eduard Nelson , Rohit Jivanlal Parikh és Jean-Paul van Bendegem , Piotr Wopenka, Robin Gandy .

Egyes matematikusok nem tartják fontosnak és szükségesnek, hogy a matematika filozófiájának olyan kérdéseiről nyilvánosan beszéljenek, amelyek számára nem alapvetőek, de lehetnek nagyon radikális nézeteik. Például Ya. V. Uspensky szovjet akadémikus egy 1926-os magánlevelében a halmazelméletet "kántor-lebesgue-i ​​szemétnek" minősítette. [12]

Jegyzetek

  1. ↑ 1 2 International Workshop on Logic and Computational Complexity, Logic and Computational Complexity , Springer, 1995, p. 31.
  2. ↑ 1 2 3 4 _ Iwan (2000), " On the Untenability of Nelson's Predicativism  (nem elérhető link) ", Erkenntnis 53 (1-2), pp. 147-154.
  3. ↑ Nem tévesztendő össze Russell predikativizmusával.
  4. ↑ V. V. Arnold akadémikus úgy jellemzi a formális halmazelméleti tanítást, mint "elmaszkulált és halott" 1 Archivált : 2019. november 3., a Wayback Machine -ben
  5. ↑ Az Univerzum sok arca Andrey Dmitrievich Linde, Stanford Egyetem (USA), professzor . Letöltve: 2015. május 12. Az eredetiből archiválva : 2015. május 10.
  6. ↑ V. I. Arnold. YaB és matematika . Letöltve: 2019. július 8. Az eredetiből archiválva : 2019. november 3..
  7. ↑ Ahhoz, hogy ez a meghatározás ultrafinitista-matematikussá váljon, még tisztázni kell az inkremensek nagyságát.
  8. ↑ Vopěnka, P. Matematika az alternatív halmazelméletben. Teubner, Lipcse, 1979.
  9. ↑ Holmes, Randall M. Alternatív axiomatikus halmazelméletek archiválva : 2019. augusztus 7., a Wayback Machine in the Stanford Encyclopedia of Philosophy .
  10. ↑ AS Troelstra, D. van Dalen. Konstruktivizmus a matematikában
  11. ↑ Ésénine-Volpine, AS (1961), Le program ultra-intuitionniste des fondements des mathématiques, Infinitistic Methods (Proc. Sympos. Foundations of Math., Varsó, 1959) , Oxford: Pergamon, p. 201–223 Áttekintette  Kreisel, G. & Ehrenfeucht , A. (1967), Review of Le Program Ultra-Intuitionniste des Fondements des Mathematiques by AS Ésénine-Volpine , The Journal of Symbolic Logic (Association for Symbolic Logic). - T. 32 (4): 517 , DOI 10.2307/2270182 
  12. ↑ Ermolaeva N. S. Új anyagok N. N. Luzin életrajzához. // Történeti és matematikai kutatás . - M . : Nauka, 1989. - 31. sz . - S. 193 .

Linkek