Trigonometrikus függvények mátrixból

A mátrix trigonometrikus függvényei a négyzetmátrixok trigonometrikus függvényeinek általánosításai .

A négyzetmátrixok trigonometrikus függvényei (különösen gyakran szinusz és koszinusz) másodrendű differenciálegyenlet - rendszerek megoldásaiban merülnek fel . [1] Ugyanazon Taylor-sorozaton keresztül definiálhatók, amelyen keresztül egy valós vagy összetett argumentum trigonometrikus függvényei definiálhatók: [2]

{\begin{aligned}\sin X&=X-{\frac {X^{3}}{3!}}+{\frac {X^{5}}{5!)}}-{\ frac {X^{7}}{7!}}+\cdots &=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {(-1)^{n}}{(2n+1) ! }}X^{2n+1}\\\cos X&=I-{\frac {X^{2}}{2!)}}+{\frac {X^{4}}{4!}} -{ \frac {X^{6}}{6!}}+\cdots &=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {(-1)^{n}}{(2n }}X^{2n}\end{igazított}}

ahol X n jelenti az X mátrixot n hatványához , I pedig az azonos dimenziójú azonosságmátrixot .

A mátrix argumentum trigonometrikus függvényei a mátrix kitevőjével is definiálhatók , figyelembe véve az Euler-képlet e iX = cos X + i sin X mátrixanalógját :

{\begin{aligned}\sin X&={e^{iX}-e^{-iX} \over 2i}\\\cos X&={e^{iX}+e^{-iX} \ több mint 2}.\end{igazított}}

Például legyen X a standard Pauli-mátrix :

\sigma _{1}=\sigma _{x}={\begin{pmatrix}0&1\\1&0\end{pmatrix}}~,

Akkor

\sin(\theta \sigma _{1})=\sin(\theta )~\sigma _{1},\qquad \cos(\theta \sigma _{1})=\cos(\theta )~én~,

Kiszámolhatja a bíboros szinust is :

\operátornév {sinc} (\theta \sigma _{1})=\operátornév {sinc} (\theta )~I.

Tulajdonságok

A fő trigonometrikus azonosság mátrixanalógja érvényes : [2]

\sin ^{2}X+\cos ^{2}X=I

Ha X egy átlós mátrix , akkor sin X és cos X is átlós mátrix, ahol (sin X ) nn = sin( X nn ) és (cos X ) nn = cos( X nn ) , azaz a szinusz és a koszinusz az átlós mátrix kiszámítható úgy, hogy a főátlón lévő argumentum elemeinek szinuszait és koszinuszait rendre kiszámítjuk.

A szinusz és koszinusz összegképlet mátrixanalógjai akkor és csak akkor érvényesek , ha a mátrixok ingáznak, azaz XY = YX : [2]

{\begin{aligned}\sin(X\pm Y)=\sin X\cos Y\pm \cos X\sin Y\\\cos(X\pm Y)=\cos X\cos Y\ mp \sin X\sin Y\end{igazított}}

Egyéb jellemzők

Mátrixokhoz érintő, inverz trigonometrikus függvények , hiperbolikus függvények és inverz hiperbolikus függvények is definiálhatók: [3]

\arcsin X=-i\ln \left(iX+{\sqrt {IX^{2))}\right)

(Lásd: Inverz trigonometrikus #Kapcsolat természetes logaritmushoz , mátrix logaritmus mátrix négyzetgyöke

{\begin{aligned}\sinh X&={e^{X}-e^{-X} \over 2}\\\cosh X&={e^{X}+e^{-X} \ több mint 2}\end{igazított}}

stb.

Jegyzetek

↑ Gareth I. Hargreaves, Nicholas J. Higham. Hatékony algoritmusok a mátrix koszinuszhoz és szinuszhoz (angol) // Numerical Analysis Report : folyóirat. - Manchester Center for Computational Mathematics, 2005. - Nem. 461 .
↑ 1 2 3 Nicholas J. Higham. Mátrixok függvényei: elmélet és számítás (angol) . - 2008. - P. 287f. — ISBN 9780898717778 .
↑ Scilab trigonometry archiválva : 2017. július 9. a Wayback Machine -nél .