Trigamma függvény

A matematikában a trigamma függvény a második a poligamma függvények közül . Ezt úgy jelöljük és definiáljuk $\psi_{{1}}(z)$

\psi _{1}(z)={\frac {{{\rm {d}}}^{2}}{{{\rm {d}}}z^{2}}}\ln \Gamma ( z)\;,

hol van a gammafüggvény [1] . Ebből a meghatározásból az következik $\Gamma(z)$

\psi _{1}(z)={\frac {({\rm {d}}}}{({\rm {d}}}z}}\psi (z)\;,

ahol a digamma függvény (a poligamma függvények közül az első ) [2] . $\psi (z)$

A trigamma függvény a következő sorozatok összegével is meghatározható:

\psi _{1}(z)=\sum _{{n=0}}^{{\infty }}{\frac {1}{(z+n)^{2}}},

ahonnan látható, hogy ez a Hurwitz -zéta-függvény speciális esete [2 ] ,

\psi _{1}(z)=\zeta (2,z)\;.

Ezek a képletek akkor igazak, ha (a jelzett pontokban a függvény másodfokú szingularitásokkal rendelkezik , lásd a függvénygrafikont). $z\neq 0,\;-1,\;-2,\;-3,\ldots$ $\psi_{{1}}(z)$

Vannak más jelölések is az irodalomban: $\psi_{{1}}(z)$

\psi '(z),\;\;\;\psi ^{{(1)}}(z)\;.

Néha a "trigamma függvény" kifejezést használják az [1] függvényre . $F'(z)=\psi _{{1}}(z+1)$

Integrális reprezentációk

A sorozatábrázolás, valamint a geometriai progresszió tagjainak összegének képletével a következő kettős integrálábrázolást kaphatjuk:

\psi _{1}(z)=\int _{0}^{1}\int _{0}^{y}{\frac {x^{z-1}y}{1-x }}\,{\rm {d}}x\,{\rm {d}}y\;.

A részenkénti integráció a következő egyszeri megjelenítést eredményezi :

\psi _{1}(z)=-\int _{0}^{1}{\frac {x^{z-1}\ln {x}}{1-x}}\,{ \rm {d}}x\;.

Egy másik reprezentáció is használatos, amely az előzőből az x = e -t helyettesítésével nyerhető :

\psi _{1}(z)=\int _{0}^{\infty }{\frac {e^{-zt)){1-e^{-t))}\,{\ rm {d}}t\;.

Egyéb képletek

A trigamma függvény kielégíti a rekurzív relációt [2]

\psi _{1}(z+1)=\psi _{1}(z)-{\frac {1}{z^{2}}}\;,

valamint a komplement képlet [2]

\psi _{1}(1-z)+\psi _{1}(z)={\frac {\pi ^{2}}{\sin ^{2}(\pi z)))\;.

A többszörös argumentum trigamma függvénye a következő tulajdonsággal rendelkezik [2] :

\psi _{1}(kz)={\frac {1}{k^{2}}}\sum _{{n=0}}^{{k-1}}\psi _{1}\left (z+{\frac {n}{k}}\jobbra)\;.

Aszimptotikus kiterjesztést is adunk Bernoulli-számok felhasználásával :

\psi _{1}(z+1)={\frac {1}{z}}-{\frac {1}{2z^{2}}}+\sum _{k=1}^ {\infty }{\frac {B_{2k}}{z^{2k+1}}}\;.

Privát értékek

Az alábbiakban a trigamma függvény [1] sajátos értékei láthatók :

\psi _{1}\!\left({\tfrac {1}{4}}\right)=\pi ^{2}+8G\;,

\psi _{1}\!\left({\tfrac {1}{3}}\right)={\tfrac {2}{3}}\pi ^{2}+3{\sqrt { 3}}\;\mathrm {Cl} _{2}\!\left({\tfrac {2}{3}}\pi \right)\;,

\psi _{1}\!\left({\tfrac {1}{2}}\right)={\tfrac {1}{2}}\pi ^{2}\;,

\psi _{1}\!\left({\tfrac {2}{3}}\right)={\tfrac {2}{3}}\pi ^{2}-3{\sqrt { 3}}\;\mathrm {Cl} _{2}\!\left({\tfrac {2}{3}}\pi \right)\;,

\psi _{1}\!\left({\tfrac {3}{4}}\right)=\pi ^{2}-8G\;,

\psi _{1}(1)\;={\tfrac {1}{6}}\pi ^{2}\;,

ahol G a Catalana állandó és a klózfüggvény , amely a dilogaritmus képzeletbeli részéhez kapcsolódik ${\mathrm {Cl}}_{2}(\theta )$

{\mathrm {Cl}}_{2}(\theta )={\mathrm {Im}}\left[{\mathrm {Li}}_{2}\!\left(e^{{{\mathrm { i}}\theta }}\right)\right]\;.

A többszörös argumentum képlet és a komplementer képlet, valamint a Clausen függvénnyel [3] [4] való kapcsolat segítségével a következőt kapjuk: $\psi_{{1}}\!\left({\tfrac 18}\right)$

\psi _{1}\!\left({\tfrac {1}{6}}\right)=2\pi ^{2}+15{\sqrt {3}}\;\mathrm {Cl } _{2}\!\left({\tfrac {2}{3}}\pi \right)\;,

\psi _{1}\!\left({\tfrac {5}{6}}\right)=2\pi ^{2}-15{\sqrt {3}}\;\mathrm {Cl } _{2}\!\left({\tfrac {2}{3}}\pi \right)\;,

\psi _{1}\!\left({\tfrac {1}{8}}\right)=(2+{\sqrt {2}})\pi ^{2}+4(4- {\sqrt {2}})G+16{\sqrt {2}}\;\mathrm {Cl} _{2}\!\left({\tfrac {\pi }{4}}\right)\; ,

\psi _{1}\!\left({\tfrac {3}{8}}\right)=(2-{\sqrt {2}})\pi ^{2}-4(4+ {\sqrt {2}})G+16{\sqrt {2}}\;\mathrm {Cl} _{2}\!\left({\tfrac {\pi }{4}}\right)\; ,

\psi _{1}\!\left({\tfrac {5}{8}}\right)=(2-{\sqrt {2}})\pi ^{2}+4(4+ {\sqrt {2}})G-16{\sqrt {2}}\;\mathrm {Cl} _{2}\!\left({\tfrac {\pi }{4}}\right)\; ,

\psi _{1}\!\left({\tfrac {7}{8}}\right)=(2+{\sqrt {2}})\pi ^{2}-4(4- {\sqrt {2}})G-16{\sqrt {2}}\;\mathrm {Cl} _{2}\!\left({\tfrac {\pi }{4}}\right)\; .

A tartományon kívüli értékek esetén a fenti ismétlődés használható. Például [1] , $0<z\leq 1$

\psi _{1}\!\left({\tfrac {5}{4}}\right)=\pi ^{2}+8G-16\;,

\psi _{1}\!\left({\tfrac {3}{2}}\right)={\tfrac {1}{2}}\pi ^{2}-4\;,

\psi _{1}(2)\;={\tfrac {1}{6}}\pi ^{2}-1\;.

Lásd még

Jegyzetek

↑ 1 2 3 4 Eric W. Weisstein. Trigamma Function (angol) a Wolfram MathWorld webhelyen .
↑ 1 2 3 4 5 Eric W. Weisstein. Polygamma Function (angol) a Wolfram MathWorld webhelyen .
↑ C.C. Grosjean, Formulák a Clausen integrál kiszámítására vonatkozóan ${\mathrm {Cl}}_{2}(\theta )$ , J. Comp. Appl. Math. 11, 331-342 (1984)]
↑ PJ de Doelder, A Clausen integrálról és a kapcsolódó integrálról ${\mathrm {Cl}}_{2}(\theta )$ , J. Comp. Appl. Math. 11, 325-330 (1984).

Linkek

Milton Abramowitz & Irene A. Stegun, Handbook of Mathematical Functions , (1964) Dover Publications, New York. ISBN 0-486-61272-4 . Lásd a 6.4 szakaszt
Eric W. Weisstein, Trigamma-függvény , MathWorld - mathworld.wolfram.com
Eric W. Weisstein, Polygamma függvény , MathWorld - mathworld.wolfram.com