Schwartz háromszög

A Schwartz-háromszög egy gömb alakú háromszög , amely egy gömb tesszellálására használható , esetleg átfedve, úgy, hogy a háromszöget az oldalai körül tükrözi. A háromszögeket Karl Schwartz német matematikus egy 1873 -as munkája osztályozza [1] .

A Schwartz-háromszögek általánosabban definiálhatók gömb, euklideszi vagy hiperbolikus síkon lévő csempeként. Minden Schwartz-háromszög a gömbön egy véges csoportot , míg az euklideszi síkon végtelen csoportokat határoz meg.

A Schwartz-háromszöget három racionális szám ( p q r ) ábrázolja, amelyek mindegyike egy-egy szöget határoz meg a csúcsban. Az n/d érték azt jelenti, hogy a háromszög csúcsánál bezárt szög egyenlő az egyenes szög d / n értékével. A 2 derékszögű háromszöget jelent. Ha ezek a számok egész számok, akkor a háromszöget Möbius-háromszögnek nevezzük , és ez egy átfedések nélküli csempézésnek felel meg , a szimmetriacsoportot pedig háromszögcsoportnak nevezzük . A gömbön 3 Möbius háromszög és még egy egyparaméteres család található. A síkon három Möbius-háromszög található, a hiperbolikus térben pedig három paraméterű Möbius-háromszögek családja, kivételes objektumok nélkül .

Megoldás tér

Egy háromszög alakú alapterület ( p q r ) különböző terekben létezhet, ezeknek az egész számoknak a reciprok összegétől függően:

Szféra Euklideszi sík hiperbolikus sík

Egyszerűen fogalmazva: egy háromszög szögeinek összege az euklideszi síkban π, míg a gömbön a szögek összege nagyobb, mint π, a hiperbolikus síkon pedig kisebb, mint π.

Grafikus ábrázolás

A Schwartz-háromszöget grafikusan háromszög gráfként ábrázoljuk . Minden csúcs a Schwartz-háromszög egy oldalának (tükrének) felel meg. Minden él egy racionális értékkel van ellátva, amely megfelel a tükrözési sorrendnek, amely egyenlő π/ külső szöggel .


Schwarz-háromszög ( p q r ) a gömbön
Schwarz-háromszög gráf

A 2-es sorrendű élek merőleges tükröket jelölnek, amelyek ezen a diagramon elhagyhatók. A Coxeter-Dynkin diagram ezeket a háromszög gráfokat ábrázolja 2-es rendű élek nélkül.

Használhatjuk a Coxeter csoportot az egyszerűbb jelöléshez, mint például a ciklikus gráfokhoz ( p q r ), derékszögű háromszögekhez p q 2) = [ p , q ] és ( p 2 2) = [ p ]×[].

Schwartz-háromszögek listája

Möbius háromszögek a gömbön


(2 2 2) vagy [2,2]
(3 2 2) vagy [3,2] 		...

(3 3 2) vagy [3,3]
(4 3 2) vagy [4,3]
(5 3 2) vagy [5,3]

Az egész számokat tartalmazó Schwarz-háromszögek, más néven Möbius-háromszögek , magukban foglalják az egyparaméteres családot és három kivételes esetet:

  1. [ p ,2] vagy ( p 2 2) - diéderszimmetria ,CDel node.pngCDel p.pngCDel node.pngCDel 2.pngCDel node.png
  2. [3,3] vagy (3 3 2) – Tetraéder szimmetria ,CDel node.pngCDel 3.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel node.png
  3. [4,3] vagy (4 3 2) – Oktaéder szimmetria ,CDel node.pngCDel 4.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel node.png
  4. [5,3] vagy (5 3 2) - Ikozaéder szimmetria ,CDel node.pngCDel 5.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel node.png

Schwartz-háromszögek egy gömbön, sűrűség szerint csoportosítva

Schwartz-háromszögek ( p q r ), sűrűség szerint csoportosítva :

Sűrűség Schwartz háromszög
egy (2 3 3), (2 3 4), (2 3 5), (2 2 n )
d ( 22n / d )
2 (3/2 3 3), (3/2 4 4), (3/2 5 5), (5/2 3 3)
3 (2 3/2 3), (2 5/2 5)
négy (3 4/3 4), (3 5/3 5)
5 (2 3/2 3/2), (2 3/2 4)
6 (3/2 3/2 3/2), (5/2 5/2 5/2), (3/2 3 5), (5/4 5 5)
7 (2 3 4/3), (2 3 5/2)
nyolc (3/2 5/2 5)
9 (2 5/3 5)
tíz (3 5/3 5/2), (3 5/4 5)
tizenegy (2 3/2 4/3), (2 3/2 5)
13 (2 3 5/3)
tizennégy (3/2 4/3 4/3), (3/2 5/2 5/2), (3 3 5/4)
16 (3 5/4 5/2)
17 (2 3/2 5/2)
tizennyolc (3/2 3 5/3), (5/3 5/3 5/2)
19 (2 3 5/4)
21 (2 5/4 5/2)
22 (3/2 3/2 5/2)
23 (2 3/2 5/3)
26 (3/2 5/3 5/3)
27 (2 5/4 5/3)
29 (2 3/2 5/4)
32 (3/2 5/45/3)
34 (3/2 3/2 5/4)
38 (3/2 5/4 5/4)
42 (5/4 5/4 5/4)

Háromszögek az euklideszi síkban


(3 3 3)
(4 4 2)
(6 3 2)

1. sűrűség:

  1. (3 3 3) - 60-60-60 ( egyenlő oldalú )
  2. (4 4 2) - 45-45-90 (egyenlő szárú téglalap)
  3. (6 3 2) - 30-60-90
  4. (2 2 ∞) - 90-90-0 "háromszög"

2. sűrűség:

  1. (6 6 3/2) - 120-30-30 háromszög

Sűrűség ∞:

  1. (4 4/3∞)
  2. (3 3/2∞)
  3. (6 6/5∞)

Háromszögek a hiperbolikus síkban


(7 3 2)
(8 3 2)
(5 4 2)

(4 3 3)
(4 4 3)
(∞∞∞)
A háromszögek alapterületei ( p q r )

1. sűrűség:

2. sűrűség:

3. sűrűség:

4. sűrűség:

6. sűrűség:

10-es sűrűség:

A Schwartz-háromszög (2 3 7) a legkisebb hiperbolikus Schwartz-háromszög, és különösen érdekes. Ennek háromszögcsoportja (pontosabban a 2-es indexű orientációmegőrző izometriák von Dyck-csoportja ) a (2,3,7) háromszögcsoport , amely az összes Hurwitz -csoport univerzális csoportja — a Riemann felületek maximális izometria csoportjai . Minden Hurwitz-csoport a háromszögcsoport faktorcsoportja (2,3,7), és minden Hurwitz-felületet Schwartz-háromszögek (2,3,7) burkolása borít. A legkisebb Hurwitz-csoport egy 168-as rendű egyszerű csoport, a második legkisebb nem Abel-féle egyszerű csoport , amely izomorf a PSL(2,7) -vel, és a 3. nemzetségbe tartozó Hurwitz-felülethez kapcsolódik, a Klein-kvartikus .

A háromszög (2 3 8) a Boltz-felületet , a 2. nemzetség rendkívül szimmetrikus (de nem Hurwitz-felületét) tesselálja.

A fent felsorolt, egy nem egész szögű háromszögeket először Anthony W. Knapp osztályozta egy 1968 - as  cikkében [2] . A több nem egész szögű háromszögek listáját Klimenko és Sakum [3] 1998-as írása tartalmazza .

Lásd még

Jegyzetek

  1. ↑ Schwarz, 1873 .
  2. ↑ Knapp, 1968 , p. 289-304.
  3. ↑ Klimenko, Sakuma, 1998 , p. 247-282.

Irodalom

Linkek