Pontos felső és alsó határok

Az oldal jelenlegi verzióját még nem ellenőrizték tapasztalt közreműködők, és jelentősen eltérhet a 2021. október 1-jén felülvizsgált verziótól ; az ellenőrzések 9 szerkesztést igényelnek .

A pontos felső korlát (felső korlát) és a pontos alsó korlát (alsó korlát) egy halmaz maximuma, illetve minimuma fogalmának általánosítása.

Egy halmaz pontos felső és alsó határát általában (olvasva supremum x ), illetve (olvasva infimum x ) jelöljük. $x$ $\sup X$ $\inf X$

Használt definíciók

A numerikus halmaz majoránsa vagy felső határa (határa) olyan szám, amelyre. $x$ $a$ $\forall x\in X\Rightarrow x\leqslant a$

Egy numerikus halmaz minoránsa vagy alsó határa (határa) olyan szám , amelyre . $x$ $b$ $\forall x\in X\Rightarrow x\geqslant b$

Hasonló fogalmakat vezetünk be egy nem numerikus, részben rendezett halmaz egy részhalmazára is . Az alábbiakban ezeket a fogalmakat használjuk.

Definíciók

Egy részlegesen rendezett halmaz (vagy osztály ) részhalmazának pontos felső korlátja (legkisebb felső korlát) vagy supremum ( latin supremum - a legmagasabb) a legkisebb elem , amely egyenlő vagy nagyobb, mint a halmaz összes eleme . Más szóval, a supremum a legkisebb az összes felső lap közül. Kijelölve . $x$ $M$ $M$ $x$ $\sup X$

Formálisabban:

S_{X}=\{y\in M\mid \forall x\in X\!:x\leqslant y\}

- felső lapok halmaza , azaz olyan elemek, amelyek egyenlők vagy nagyobbak az összes elemnél ;

x

M

x

s=\sup(X)\iff S_{X}\ni s\;|\;\forall y\in S_{X}\!:s\leqslant y.

Egy részlegesen rendezett halmaz (vagy osztály ) pontos alsó korlátja (legnagyobb alsó korlát) vagy infimum ( lat. infimum - a legalacsonyabb) részhalmaza a legnagyobb elem , amely egyenlő vagy kisebb a halmaz összes elemével . Más szavakkal, az infimum az összes alsó határ közül a legnagyobb. Kijelölve . $x$ $M$ $M$ $x$ $\inf X$

Jegyzetek

Ezek a definíciók semmit sem mondanak arról, hogy a halmazhoz tartozik-e vagy sem: $\sup X$ $\inf X$ $x$

ebben az esetben mondjuk, hogy ez a maximum , azaz ;

s=\sup X\in X

s

x

s=\max X

abban az esetben, ha azt mondják, hogy a minimum , azaz .

i=\inf X\in X

én

x

i=\min X

A fenti definíciók nem predikatív jellegűek (magukra vonatkoznak), mivel a definiált fogalom mindegyikben egy eleme annak a halmaznak, amelyen keresztül meghatározásra kerül. A konstruktivizmus hívei a matematikában ellenzik az ilyen definíciók használatát, amelyek különféle módszerekkel megakadályozzák vagy kiiktatják az „ ördögi kör ” elemeit elméleteiken belül.
Az ismeretlen konstansok becslésénél a "felső korlát" és az "alsó korlát" kifejezéseket használjuk, míg a felső korlát valamilyen ismert halmaz alsó korlátja, az alsó korlát pedig a felső korlát . Az angol nyelvből a "felső korlát" kifejezést "felső korlátnak" és "felső korlátnak" is lehet fordítani, ami néha zavart okoz. Hasonló a helyzet az "alacsony határ" kifejezéssel is.

Példák

Az ötnél nagyobb racionális számok halmazán nincs minimum , de van egy infimum. egy ilyen halmaz öttel egyenlő. Az infimum nem minimum, hiszen öt nem tartozik ebbe a halmazba. Ha azonban definiáljuk az összes ötnél nagyobb természetes szám halmazát, akkor egy ilyen halmaznak van minimuma, és ez egyenlő hattal. Általánosságban elmondható, hogy a természetes számok halmazának bármely nem üres részhalmazának van minimuma. $\inf$
Egy szetthez ${\displaystyle S=\left\{{\frac {1}{k}}\mid k\in \mathbb {N} \right\}=\left\{1,\;{\frac {1}{2 )),\;{\frac {1}{3)),\;\lpontok \jobbra\))$

\sup S=1

; .

\inf S=0

A pozitív racionális számok halmazának nem a legkisebb felső korlátja van , hanem egy pontos infimuma . $\mathbb {Q} _{+}=\{x\in \mathbb {Q} \mid x>0\}$ $\mathbb {Q}$ $\inf \mathbb {Q} _{+}=0$
A racionális számok halmazának, amelynek négyzete kisebb kettőnél, nincs pontos felső és alsó határa -ben , de ha a valós számok halmazának részhalmazának tekintjük , akkor ${\displaystyle X=\{x\in \mathbb {Q} \mid x^{2}<2\))$ $\mathbb {Q}$

\sup X={\sqrt {2}}

és .

\inf X=-{\sqrt {2}}

Éltétel

Megfogalmazás

A valós számok egy nem üres részhalmazának , amely fent korlátos , van egy legkisebb felső korlátja; az analóg , alulról korlátos, az infimum. Vagyis vannak ilyenek : $A$ $B$ ${\bár {a}}$ ${\aláhúzás {b))$

{\bar {a))=\sup A:{\begin{cases}\forall a\in A\Rightarrow a\leqslant {\bar {a)),\\\forall {\bar {a} }'<{\bar {a}}\,\,\exists a\in A:a>{\bar {a}}';\end{cases}}\ \ \ \ (1)

{\underline {b}}=\inf B:{\begin{cases}\forall b\in B\Rightarrow b\geqslant {\underline {b)),\\\forall {\underline {b} }'>{\aláhúzás {b}}\,\,\létezik b\in B:b<{\aláhúzás {b}}';\end{cases}}\ \ \ \ (2)

Bizonyítás

Felülről határolt, nem üres halmazhoz . Alulról korlátos halmaz esetén az argumentumok végrehajtása hasonló módon történik. $x$

Jelentsük meg az összes számot végtelen tizedes törtek formájában : , ahol egy számjegy. $x\X-ben$ $x={\overline {x_{0},x_{1}\dots x_{m}\dots ))$ ${\displaystyle x_{0}\in \mathbb {N} \cup \{0\};\;\forall i\in \mathbb {N} ,\,x_{i))$

A halmaz nem üres és definíció szerint felülről határolt . Mivel és felülről korlátos, véges számú elem van nagyobb, mint néhány (különben az indukció elve felülről korlátlanságot jelentene ). Válasszunk ezek közül . $X_{0}=\{x_{0}\mid \forall {\overline {x_{0},x_{1}\ldots x_{m}\ldots }}\in X\}$ $x$ ${\displaystyle X_{0}\subset \mathbb {N} \cup \{0\))$ $X_{0}$ ${\tilde {x}}_{0}\in X_{0}$ $X_{0}$ ${\displaystyle a_{0}=\max X_{0))$

A halmaz nem üres, és legfeljebb tíz elemből áll, tehát létezik . $X_{1}=\{{\overline {a_{0},x_{1}}}\mid \forall {\overline {a_{0},x_{1}\ldots x_{m}\ldots }}\X-ben\}$ $a_{1}=\max X_{1}$

Tegyük fel, hogy valamilyen számra egy decimális számot állítunk össze úgy, hogy , és (az eredeti halmaz bármely elemének decimális reprezentációja a -edik tizedesjegyig nem haladja meg a -t, és van legalább 1 olyan elem, amelynek decimális jelölése -vel kezdődik ). $m$ ${\displaystyle {\overline {a_{0},a_{1}\dots a_{m))))$ $\exists x\in X:x={\overline {a_{0},a_{1}\ldots a_{m}\ldots ))$ ${\displaystyle \forall x\in X:x={\overline {x_{0},x_{1}\ldots x_{m}\ldots }}\Jobbra {\overline {x_{0},x_{1} \ldots x_{m))}\leqslant {\overline {a_{0},a_{1}\ldots a_{m))))$ $m$ ${\displaystyle {\overline {a_{0},a_{1}\dots a_{m))))$ ${\displaystyle a_{0},a_{1}\dots a_{m))$

Jelölje (a tizedes jelöléssel kezdődő elemek halmaza ). A szám meghatározása szerint a halmaz nem üres. Ez véges, tehát létezik olyan szám , amelynek ugyanazok a tulajdonságai, mint a . $X_{m+1}=\{{\overline {a_{0},\ldots a_{m+1))}\mid \forall {\overline {a_{0},\ldots a_{m+ 1 }\lpontok }}\az X-ben\}$ $x$ ${\displaystyle a_{0},a_{1}\dots a_{m}a_{m+1))$ ${\displaystyle {\overline {a_{0},a_{1}\ldots a_{m))))$ $X_{m+1}$ ${\overline {a_{0},a_{1}\dots a_{m}a_{m+1}}}=\max X_{m+1}$ $a_m$

Így az indukció elve szerint bármelyik számjegynek bizonyul, és ezért egy végtelen tizedes tört egyedileg meghatározható $n$ $a_n$

a\equiv {\overline {a_{0},a_{1}\ldots a_{n}\ldots }}\in \mathbb {R}

Vegyünk egy tetszőleges számot . A szám felépítése szerint bármely számra érvényes és ezért . Mivel az érvelés teljesül , akkor , és a definíció második sora teljesültnek bizonyul a konstrukcióból . $x\in X,x={\overline {x_{0},x_{1}\dots x_{n}\dots }}$ $a$ $n$ ${\displaystyle {\overline {x_{0},x_{1}\dots x_{n))}\leqslant {\overline {a_{0},a_{1}\dots a_{n))))$ $x\leqslant a$ $\forall x\in X$ $a=\sup X$ $a$

Válasszunk . Könnyen belátható, hogy a decimális jelölésben legalább egy számjegy kisebb, mint a jelölésben szereplő megfelelő szám . Tekintsük egy ilyen ábra első számával kapott eredményt . Mivel nem üres, . $a'<a$ $a'$ $a$ $X_{i}$ $\exists x\in X_{i}\subset X:x>a'$

Bizonyítás a teljesség elvével

Felülről határolt nem üres halmaz esetén vegye figyelembe a felső határok nem üres halmazát . Definíció szerint (a halmaz bal oldalán található ). A folytonosság szerint . Definíció szerint minden esetben (egyébként nem a felső határok halmaza, hanem csak annak egy része). Mivel a legkisebb elem , akkor . $x$ ${\overline {X}}$ $x$ ${\overline {x}}\geqslant x,\forall x\in X,\forall {\overline {x}}\in {\overline {X}}$ $x$ ${\overline {X}}$ $\exists c\in \mathbb {R} :\forall x\in X\leqslant c\leqslant \forall {\overline {x}}\in {\overline {X}}$ ${\overline {X}}$ $c\in {\overline {X}}$ ${\overline {X}}$ $c$ ${\overline {X}}$ $c=\sup X$

Ellenőrizzük a definíció második sorát. Válasszunk . Legyen tehát , ami azt jelenti, hogy de , és a legkisebb eleme . Ellentmondás, vagyis . Általánosságban elmondható, hogy az érvelés helyes . $c'<c$ ${\megjelenítési stílus \nem \exists x\in X:x>c'}$ $\forall x\in X:x\leqslant c'$ $c'\in {\overline {X}}$ $c'<c$ $c$ ${\overline {X}}$ $\exists x\in X:x>c'$ $\forall c'$

Alulról korlátos halmaz esetén az argumentumok hasonlóak.

Tulajdonságok

Az éltétel alapján bármely fent határolt részhalmazhoz létezik . $\mathbb {R}$ $\fel$
Az éltétel alapján bármely alatta határolt részhalmazhoz létezik . $\mathbb {R}$ $\inf$
Valós szám akkor és csak akkor, ha: $s$ $\sup X$

s

van felső korlát , azaz minden elemre , ;

x

x\X-ben

x\leqslant s

Bármelyikre létezik , olyan, hogy (vagyis a halmazból tetszőlegesen „közel kerülhet” a -hoz, a -hoz pedig nyilvánvaló, hogy ).

\varepsilon >0

x\X-ben

x+\varepsilon >s

s

x

s\in X

s+\varepsilon >s

Az utolsóhoz hasonló állítás a legkisebb alsó korlátra is igaz.

Változatok és általánosítások

Jelentős szuprémum

Irodalom

Bogdanov Yu. S., Kastritsa OA, Syroid Yu. B. Matematikai elemzés: Tankönyv egyetemeknek. — M.: UNITI-DANA, 2003.- S. 11-14. ISBN 5-238-00500-8
Bogdanov Yu. S. Előadások a matematikai elemzésről. 1. rész - Mn .: BSU Kiadó, 1974. - S. 3-8.
W. Rudin. A matematikai elemzés alapjai. — M .: Mir, 1976. — 320 p.