Point Farm

Az oldal jelenlegi verzióját még nem ellenőrizték tapasztalt közreműködők, és jelentősen eltérhet a 2021. szeptember 26-án felülvizsgált verziótól ; az ellenőrzéshez 1 szerkesztés szükséges .

A Fermat -pont egy olyan pont a síkban, amelytől a háromszög csúcsaitól mért távolságok összege minimális. Fermat pontját néha Torricelli pontnak vagy Fermat-Torricelli pontnak is nevezik . A Fermat-pont megoldást ad a Steiner -problémára a háromszög csúcsaira. Az angol irodalomban Fermat-pontot X(13) izogonikus középpontnak is nevezik.

Történelem

Fermat álláspontját először Fermat javasolta : "Datis tribus punctis, quartum reperire, a quo si ducantur tres rectæ ad data puncta, summa trium harum rectarum sit minimum quantitas". P. de Fermat, "Œuvres de Fermat", 1679, Livre I, Paris. (lat. "Három adott ponthoz keresse meg a negyediket úgy, hogy ha egyenes vonalakat húz belőle ezekhez a pontokhoz, akkor a távolságok összege lesz a legkisebb." P. Fermat ).

Tulajdonságok

Lester tétele . Bármely léptékű háromszögben két Fermat-pont, a kilenc pont közepe és a körülírt kör középpontja ugyanazon a körön (Leicester körén ) található.

Épület

Tétel ( E. Torricelli , B. Cavalieri , T. Simpson , F. Heinen, J. Bertrand ). Szerkesszünk egy tetszőleges háromszög oldalain a külső egyenlő oldalú háromszögeket , , . Ezután hat görbe - három kör van körülírva e szabályos háromszögek köré, és a , , vonalak egy pontban metszik egymást . Ha a háromszög összes szöge nem haladja meg a -t , akkor a háromszögben fekszik és Fermat-pont . Ebben az esetben a , és szakaszok közötti szögek egyenlőek egymással, és ezért egyenlők . Sőt, a , és a Simpson - vonalaknak nevezett szakaszok hossza is egyenlő egymással, és egyenlő . Ha a háromszög egyik szöge nagyobb, mint , akkor a háromszögön kívül esik , és a Fermat-pont egybeesik a tompaszög csúcsával . $ABC$ $ABC'$ $BCA'$ $CAB'$ $AA'$ $BB'$ $CC'$ $x$ $ABC$ $120^{\circ }$ $x$ $ABC$ $S$ $AS$ $BS$ $CS$ $120^{\circ }$ $AA'$ $BB'$ $CC'$ $AS+BS+CS$ $ABC$ $120^{\circ }$ $x$ $ABC$ $S$

A tétel egy algoritmust ad a Fermat-pont megszerkesztésére iránytű és egyenes él segítségével. A nem triviális esetben, amikor a háromszög minden szöge kisebb, mint , a Fermat-pont a tételben leírt hat görbe közül bármelyik kettő metszéspontjaként található. $120^{\circ }$

Fizikailag ez a pont a következőképpen szerkeszthető: egy sík, sima vízszintes felületen kijelöljük a pontokat , és a megjelölt helyeken átfúrjuk a lyukakat; három szálat kötünk, és szabad végeiket felülről átvezetjük a lyukakon; azonos tömegű terheket kötni a szabad végekhez; Amikor a rendszer egyensúlyba kerül, a csomópont a háromszög Fermat-pontjában lesz . $A$ $B$ $C$ $ABC$

Megjegyzés

Egyébként a jobb oldali első ábrán a három egyenlő oldalú háromszög középpontjai maguk is egy új egyenlő oldalú háromszög csúcsai ( Napóleon tétele ). Ezen kívül, . $AA'=BB'=CC'$

A Fermat-pont megtalálása. Lagrange-szorzók

Létezik egy megközelítés a háromszögön belüli olyan pont megtalálására, amelynél a háromszög csúcsaihoz mért távolságok összege minimális, a matematika egyik optimalizálási módszere. Különösen a Lagrange-szorzók módszere és a koszinusztétel.

A háromszög belsejében lévő pontból vonalakat húzunk annak csúcsaiba, és X -nek , Y -nek és Z -nek nevezzük őket . Legyen ezeknek a vonalaknak a hossza rendre x, y és z. Legyen X és Y közötti szög α, Y és Z - β. Ekkor az X és Z közötti szög (2π - α - β). A Lagrange-szorzó módszerével meg kell találnunk a Lagrange L minimumát , amelyet a következőképpen fejezünk ki:

L = x + y + z + λ 1 ( x 2 + y 2 − 2 xy cos( α ) − a 2 ) + λ 2 ( y 2 + z 2 − 2 yz cos(β) − b 2 ) + λ 3 ( z 2 + x 2 - 2 zx cos( α + β ) - c 2 )

ahol a , b és c a háromszög oldalainak hossza.

Az öt parciális derivált δ L / δx, δ L / δy, δ L / δz, δ L / δα, δ L / δβ mindegyikét nullával egyenlővé téve, és kizárva a λ 1 , λ 2 , λ 3 -t , végül megkapjuk a sin (α ). ) = sin(β) és sin(α + β) = - sin(β) tehát α = β = 120°. A számítások azonban hosszúak és fárasztóak, és a végeredmény csak a 2. esetre vonatkozik, amikor egyik szög sem ≥ 120°.

Point Torricelli

A Torricelli -pont egy háromszög azon pontja , amelyből minden oldala látható szögben . Csak olyan háromszögekben létezik, amelyek szöge kisebb, mint , miközben egyedi, ezért egybeesik a Fermat-ponttal. $120^{\circ }$ $120^{\circ }$

Lásd még

Jegyzetek

Irodalom

Enciklopédia gyerekeknek / Fejezet. szerk. M. D. Aksjonova. - M . : Avanta +, 2001. - T. 11. Matematika. — 688 p.
A. O. Ivanov, A. A. Tuzhilin. Az extremális hálózatok elmélete. - Moszkva-Izhevsk: Számítógépes Kutatóintézet, 2003. - ISBN 5-93972-292-X .