Topológiai K-elmélet

A matematikában a topológiai K-elmélet az algebrai topológia egy részhalmaza . Létezésének korai szakaszában alkalmazták a vektorkötegek tanulmányozására topológiai tereken , olyan ötletekkel, amelyeket ma már az Alexander Grothendieck által bevezetett (általános) K-elmélet részeként ismernek fel . A topológiai K-elmélet korai munkáját Michael Atiyah és Friedrich Hirzebruch készítette .

Definíciók

Legyen X egy kompakt Hausdorff-tér és vagy . Ezután véges dimenziós vektorkötegekből álló kommutatív monoid Grothendieck-csoportja X felett Whitney-összeggel . A kötegek tenzorszorzata határozza meg a kommutatív gyűrű szerkezetét a K-elméletben . Index nélkül általában a komplex K -elméletet jelöli , míg a valódi K - elméletet néha úgy jelölik . Ezután megvizsgáljuk a komplex K -elméletet. $k=\mathbb {R}$ $\mathbb {C}$ $K_{k}(X)$ $k$ $K(X)$ $KO(X)$

Első példaként vegye figyelembe, hogy egy pont K -elmélete az egész számok. Ez annak a ténynek köszönhető, hogy egy pont feletti összes vektorköteg triviális, ezért rangjuk szerint osztályozzák őket, míg a természetes számok Grothendieck-csoportja egy egész szám.

Létezik a K elmélet redukált változata , amely X , kompakt terekre van definiálva, megkülönböztetett ponttal (vö. redukált homológia ). A megadott elmélet intuitív módon K ( X ) modulo triviális kötegként fogható fel . Ez a kötegek stabil ekvivalencia osztályainak csoportja. Két E és F köteget stabilan izomorfnak mondunk , ha léteznek triviális kötegek és úgy, hogy . Ez az ekvivalencia reláció egy csoportstruktúrát definiál a vektorkötegek halmazán, mivel minden vektorköteg triviális köteggé tehető, ha összeadjuk a vektorkötegeivel. ortogonális komplementer. Másrészt definiálható az x 0 alappont X-be való beágyazásával előidézett leképezés magjaként . ${\widetilde {K}}(X)$ $\varepszilon_{1}$ $\varepsilon _{2}$ ${\displaystyle E\oplus \varepsilon _{1}\cong F\oplus \varepsilon _{2))$ ${\widetilde {K}}(X)$ $K(X)\to K(x_{0})\cong \mathbb {Z}$

A K -elmélet egy multiplikatív (általánosított) kohomológiai elmélet. Szóközök rövid pontos sorozata megkülönböztetett ponttal ( X , A )

{\widetilde {K}}(X/A)\to {\widetilde {K}}(X)\to {\widetilde {K}}(A)

Folytatja a hosszú pontos sorozatot

\cdots \to {\widetilde {K}}(SX)\to {\widetilde {K}}(SA)\to {\widetilde {K}}(X/A)\to {\widetilde {K }} }}(X)\to {\widetilde {K}}(A).

Legyen S n a tér n- edik redukált felfüggesztése . Ezután meghatározzuk:

{\widetilde {K}}^{-n}(X):={\widetilde {K}}(S^{n}X),\qquad n\geq 0.

A negatív indexeket úgy választjuk meg, hogy a társhatárleképezés növelje a dimenziót.

Gyakran célszerű megfontolni e csoportok nem szűkített változatát, amely a következőképpen definiálható:

K^{-n}(X)={\widetilde {K}}^{-n}(X_{+}).

Ahol ez egy külön kiemelt ponttal van megjelölve "+" jellel. [egy] ${\displaystyle X_{+))$ $x$

Végül az alábbiakban megfogalmazott Bott periodicitási tétele pozitív indexű elméleteket ad nekünk.

Tulajdonságok

A K n , illetvea terek homotópiás kategóriájától (megkülönböztetett ponttal) a kommutatív gyűrűk kategóriájáig kontravariáns funktorok . Ezért például az összehúzható terekre vonatkozó K - elméletaz ${\widetilde {K}}^{n}$ $\mathbb {Z} .$

A K -elmélet spektruma (diszkrét topológiával -on ), i.e. ahol [, ] a címkézett terek leképezési osztályait jelöli a homotópiáig, a BU pedig az egységes csoportok osztályozó tereinek kolimitja : Hasonlóképpen, $BU\times \mathbb {Z}$ $\mathbb {Z}$ $K(X)\cong \left[X^{+},\mathbb {Z} \times BU\right],$ $BU(n)\cong \operatorname {Gr} \left(n,\mathbb {C} ^{\infty }\right).$

{\widetilde {K}}(X)\cong [X,\mathbb {Z} \times BU].

A valódi K elmélethez a BO teret használjuk .

A Steenrod-műveletek analógjai a K- elméletben az Adams-műveletek . Használhatók jellemző osztályok meghatározására a topológiai K - elméletben.

A topológiai K -elmélet felosztási elve lehetővé teszi, hogy a tetszőleges vektorkötegekre vonatkozó állításokat egydimenziós kötegek összegére vonatkozó állításokra redukáljuk.

A Thom-izomorfizmus a topológiai K - elméletben:

K(X)\cong {\widetilde {K}}(T(E)),

ahol T ( E ) az X feletti E vektorköteg Thom tere . Ez akkor igaz, ha E egy spin köteg.

Az Atiyah-Hirzebruch spektrális szekvencia lehetővé teszi a K -csoportok kiszámítását a szokásos kohomológiai csoportokból.

A topológiai K -elmélet általánosítható egy C* -algebrák függvényére .

Bott periodicitása

A Raoul Bottáról elnevezett periodicitás a következőképpen fogalmazható meg:

$K(X\times \mathbb {S} ^{2})=K(X)\otimes K(\mathbb {S} ^{2}),$ és ahol H a tautologikus köteg osztálya, azaz a Riemann-gömbön . ${\displaystyle K(\mathbb {S} ^{2})=\mathbb {Z} [H]/(H-1)^{2))$ $\mathbb {S} ^{2}=\mathbb {P} ^{1}(\mathbb {C} ),$

${\widetilde {K}}^{n+2}(X)={\widetilde {K}}^{n}(X).$

$\Omega ^{2}BU\cong BU\times \mathbb {Z} .$

A valódi K -elméletben hasonló periodicitás van, csak modulo 8.

Alkalmazások

A topológiai K -elmélet két leghíresebb alkalmazása Frank Adamsnek köszönhető . Először a Hopf invariáns azonosságának problémáját Adams-műveletek segítségével végzett számításokkal oldotta meg . Ezután bebizonyította a gömbökön lévő lineárisan független vektormezők számának felső korlátját.

Zhen karaktere

Michael Atiyah és Friedrich Hirzebruch bebizonyítottak egy tételt, amely a CW-komplexum topológiai K-elméletét a racionális kohomológiájával hozza összefüggésbe. Különösen azt mutatták ki, hogy van homomorfizmus $x$

ch:K_{\text{top}}^{*}(X)\otimes \mathbb {Q} \to H^{*}(X;\mathbb {Q} )

oly módon, hogy

{\begin{aligned}K_{\text{top}}^{0}(X)\otimes \mathbb {Q} &\cong \bigoplus _{k}H^{2k}(X;\mathbb {Q} )\\K_{\text{top}}^{1}(X)\otimes \mathbb {Q} &\cong \bigoplus _{k}H^{2k+1}(X;\mathbb { Q} )\end{igazított}}

Van egy algebrai analóg, amely összeköti a Grothendieck koherens tárcsák csoportját és egy sima projektív változat Chow gyűrűjét . $x$

Lásd még

Atiyah-Singer index tétel

Linkek

↑ [1] . Archiválva : 2018. április 17. a Wayback Machine -nál

Irodalom

Atiyah, Michael Francis. K-elmélet. — 2. - Addison-Wesley , 1989. - (Advanced Book Classics). - ISBN 978-0-201-09394-0 .
K-elmélet kézikönyve. - Springer-Verlag , 2005. - ISBN 978-3-540-30436-4 .
Karoubi, Max. K-elmélet: bevezetés. - Springer-Verlag , 1978. - ISBN 0-387-08090-2 .
Keltető. Vektoros csomagok és K-elmélet . (határozatlan)
Stykow. A K-elmélet összefüggései a geometriával és a topológiával . (határozatlan)
Karoubi, Max (2006), K-elmélet. Egy elemi bevezetés, arΧiv : math/0602082 .