Helmholtz dekompozíciós tétel

A Helmholtz -féle dekompozíciós tétel egy tetszőleges differenciálható vektormező két komponensre való felosztására vonatkozó állítás:

Ha egy vektormező divergenciáját és görbületét a tér véges nyitott tartományának minden pontjában definiáljuk, akkor V-ben mindenhol a függvény egy irrotációs tér és egy szolenoid tér összegeként ábrázolható : ${\mathbf {F}}({\mathbf {r}})$ ${\mathbf {F}}_{1}({\mathbf {r}})$ ${\mathbf {F}}_{2}({\mathbf {r}})$

{\mathbf {F}}({\mathbf {r}})={\mathbf {F}}_{1}({\mathbf {r}})+{\mathbf {F}}_{2}( {\mathbf {r)))

ahol

\operátornév {rot}\;{\mathbf {F}}_{1}({\mathbf {r}})=0,

\operátornév {div}\,{\mathbf {F}}_{2}({\mathbf {r}})=0

az V. régió összes pontjára . $\mathbf {r}$

A teljes térre vonatkozó népszerűbb megfogalmazásban Helmholtz tétele ezt mondja:

Bármely vektormező , egyértékű, folytonos és a térben korlátos, felbontható potenciális és szolenoid vektormezők összegére, és a következőképpen ábrázolható: $\mathbf {F}$

\mathbf {F} =-\nabla \Phi +\nabla \times \mathbf {A}

ahol $\nabla \cdot \mathbf {A} =0$

A skalárfüggvényt skalárpotenciálnak, a vektorfüggvényt vektorpotenciálnak nevezzük. [1] . $\Phi$ $\mathbf {A}$

tétel állítása

Legyen F vektormező R ³-ban, és legyen kétszer folytonosan differenciálható , és korlátlan tartomány esetén 1/ r - nél gyorsabban csökken a végtelenben . [2] Ekkor az F mező egy irrotációs mező (amelynek forgórésze nulla) és egy szolenoidmező (amelynek divergenciája nulla) összegeként ábrázolható.

Az F vektormező egyik lehetséges ábrázolása ebben a formában két explicit módon kiszámítható függvény gradiensének és görbületének összege, az alábbiak szerint:

{\mathbf {F}}=-\nabla \,({\mathcal {G}}(\nabla \cdot {\mathbf {F}})))+\nabla \times ({\mathcal {G}}( \ nabla \times {\mathbf {F))))

ahol a newtoni operátor (ha olyan vektormezőre hat, mint ∇ × F , akkor annak minden komponensére hat). ${\mathcal {G}}$

Ha F nulla divergenciájú , ∇ F = 0, akkor F -et szolenoidálisnak vagy divergenciamentesnek mondjuk , és az F tér Helmholtz-kiterjesztése redukálódik

{\mathbf {F}}=\nabla \times {\mathcal {G}}(\nabla \times {\mathbf {F}})=\nabla \times {\mathbf {A}}.

Az A mező ilyen ábrázolása esetén az F mező vektorpotenciáljának nevezzük . Mágneses térhez (vagyis nulla divergenciájú mezőhöz) mindig meg lehet alkotni egy vektorfüggvényt (vektorpotenciált), amelynek ez a mező a forgórésze. Egy adott mágnesmező vektorpotenciálja jelentős szabadságfokkal van meghatározva. Konkrétan az általánosság elvesztése nélkül ráírható a Coulomb-mérő (vagy normalizálás) feltétel ∇· A = 0 (a divergenciamentes vektorpotenciál speciális esete; lásd még a vektorfüggvény göndörítésből történő visszaállításának problémáját alább pedig eltérés). A vektorpotenciálhoz tetszőleges skalárfüggvény gradiensét tetszőlegesen felveheti - ez nem változtatja meg a görbületét, vagyis az általa meghatározott szolenoid mezőt (és ha a jelzett skalárfüggvény kielégíti a Laplace-egyenletet, akkor a Coulomb-kalibráció feltétele akkor sem változik, ha a vektorpotenciál kielégíti).

Ha F -nek nulla rotorja van, ∇× F = 0, akkor F -et irrotációs vagy lokális potenciálú mezőnek nevezzük , és F kiterjesztése a következő alakot ölti

{\mathbf {F}}=-\nabla \,{\mathcal {G}}(\nabla \cdot {\mathbf {F}})=-\nabla \phi .

A φ mező ilyen ábrázolása esetén az F mező skaláris potenciáljának nevezzük . Irrotációs térhez (vagyis nulla rotorú mezőhöz) mindig lehet skalárfüggvényt (skalárpotenciál) szerkeszteni, amelynek gradiense ez a mező. Egy adott irrotációs mező skaláris potenciálját egy additív állandóig határozzuk meg.

Általános esetben F az összeggel ábrázolható

{\mathbf {F}}=-\nabla \phi +\nabla \times {\mathbf {A}}

ahol a skalárpotenciál negatív gradiense a tér irrotációs komponense, a vektorpotenciál forgórésze pedig a szolenoid komponens. F ábrázolása egy irrotációs tér és egy szolenoid tér összegeként nem egyedi, mivel φ-hez mindig hozzá lehet adni egy tetszőleges ψ függvényt, amely kielégíti a Laplace-egyenletet, és A -hoz egy H vektorfüggvényt, amely konzisztens ψ -vel , ami a ∇· H = 0, ∇× H = ∇ψ egyenletek szerinti vektorfüggvény rotorból és divergenciából (lásd alább) való visszanyerésének az eredménye . Egy ilyen helyettesítés nemcsak a Helmholtz-tágulásban szerepet játszó skaláris és vektorpotenciálokat változtatja meg, hanem jelentősen megváltoztatja a -∇(φ+ψ) irrotációs mezőt és a ∇× (A+H) szolenoid mezőt is, amelyek összegébe a mező F lebomlik .

Curl és divergencia által meghatározott mezők

Helmholtz tételéhez szorosan kapcsolódik a vektormező divergenciából és görbületből való rekonstrukciójának problémája, amelyet néha Helmholtz -problémának is neveznek .

Adjunk meg egy skaláris mezőt és egy vektormezőt , amelyek kellően simaak és vagy adottak egy korlátos tartományban, vagy a végtelenben 1/r²-nél gyorsabban csökkennek . Olyan vektormezőt kell találni , amely ${\mathbf {d}}(x,y,z)$ ${\mathbf {C}}(x,y,z)$ ${\mathbf {F}}(x,y,z)$

\nabla \cdot {\mathbf {F}}={\mathbf {d}}

és

\nabla \times {\mathbf {F}}={\mathbf {C}}.

A problémamegoldás létezésének és egyediségének elemzésekor különbséget kell tenni a következők között:

belső probléma (a rotort, a divergenciát és magát a vektorfüggvényt egy kellően sima határral határolt területen belül tekintjük),
külső probléma (a rotort, a divergenciát és magát a vektorfüggvényt az R ³ térhez egy „lyukkal” kell figyelembe venni, amelynek határa meglehetősen sima),
probléma a teljes R ³ térre.

A belső probléma (feltéve, hogy megoldható) egyedi megoldást kínál, ha a vektorfüggvény normál vetülete a tartomány határa mentén van megadva . $({\mathbf {n}}\cdot {\mathbf {F}})|_{{S}}={\mathbf {g}}({\mathbf {S}})$ $\mathbf {F}$

A külső probléma (megoldhatósága feltétele mellett) egyedi megoldást kínál, ha a vektorfüggvény normál vetülete a tartomány határa mentén van megadva , és a vektorfüggvényre támasztják azt a követelményt, hogy az a végtelenben legalább annyival csökkenjen . $({\mathbf {n}}\cdot {\mathbf {F}})|_{{S}}={\mathbf {g}}({\mathbf {S}})$ $\mathbf {F}$ $\mathbf {F}$ ${\mathbf {1/r}}^{{2+\varepsilon }}$

Az R ³ teljes térre vonatkozó feladatnak (a megoldhatósága feltétele mellett) egyedi megoldása van, ha a vektorfüggvényre azt a követelményt támasztjuk, hogy az a végtelenben legalább annyival csökkenjen . $\mathbf {F}$ ${\mathbf {1/r}}^{{2+\varepsilon }}$

Mindezekben az esetekben a Helmholtz-probléma megoldása egyedi , ha az adott bemeneti adatokra létezik.

A megoldás meglétéhez szükséges feltételek

A problémára nem mindenkinek van megoldása , és : ${\mathbf {d}}(x,y,z)$ ${\mathbf {C}}(x,y,z)$ ${\mathbf {g(S)))$

Az azonosságból az következik, hogy a feltételnek teljesülnie kell , azaz a vektor divergenciájának nullával kell egyenlőnek lennie. $\nabla \cdot \nabla \times {\mathbf {F}}\equiv 0$ $\nabla \cdot {\mathbf {C}}=0$ ${\mathbf {C}}(x,y,z)$
A belső probléma esetében az azonosságból az következik , hogy a peremfeltétel integráljának a határoló felület felett egyenlőnek kell lennie a tartomány térfogata feletti függvény integráljával. $\iiiint _{{V}}(\nabla \cdot {\mathbf {F}})\,dV=\iint _{{S}}({\mathbf {n}}\cdot {\mathbf {F}} ) )\,dS$ $\iiiint _{{V}}{\mathbf {d(x,y,z)}}\,dV=\iint _{{S}}{\mathbf {g(S)))\,dS$ ${\mathbf {g(S)))$ $\mathbf {S}$ ${\mathbf {d}}(x,y,z)$
Külső probléma és az R ³ teljes térre adott feladat esetén a és függvényeknek a végtelenben viszonylag gyorsan nullára kell mutatniuk magával a függvénnyel együtt. $\mathbf{d}$ ${\mathbf {C}}$

Elegendő feltételek egy megoldás létezéséhez és egyediségéhez

A. Belső feladat : ha

$\nabla \cdot {\mathbf {C(x,y,z)}}=0$ és
$\iiiint _{{V}}{\mathbf {d(x,y,z)}}\,dV=\iint _{{S}}{\mathbf {g(S)))\,dS$ ,

akkor létezik és egyedülálló a megoldás arra a problémára, hogy helyreállítsuk a mezőt a görbületből , az eltérésből és a peremfeltételből .

{\mathbf {F}}(x,y,z)

{\mathbf {C}}(x,y,z)

{\mathbf {d}}(x,y,z)

{\mathbf {g(S)))

B. Külső feladat : ha

$\nabla \cdot {\mathbf {C(x,y,z)}}=0$ és
az és integrálok konvergálnak, ha egy végtelen térfogatban integráljuk, és a végtelenben csökkennek legalább annyi ideig , $\iiiint _{{V}}{\frac {{\mathbf {d}}(x',y',z')}{|{\mathbf {r}}-{\mathbf {r'}}|} }\,dV'$ $\iiiint _{{V}}{\frac {{\mathbf {C}}(x',y',z')}{|{\mathbf {r}}-{\mathbf {r'}}|} }\,dV'$ ${\mathbf {r}}\to \infty$ ${\mathbf {1/r}}^{{1+\varepsilon }}$

akkor a megoldás arra a problémára, hogy a mezőt a forgórészből , divergencia , peremfeltétel és a végtelenbe eső feltétel legalább mint , létezik és egyedi.

{\mathbf {F}}(x,y,z)

{\mathbf {C}}(x,y,z)

{\mathbf {d}}(x,y,z)

{\mathbf {g(S)))

{\mathbf {F}}(x,y,z)

{\mathbf {1/r}}^{{2+\varepsilon }}

B. Feladat a teljes térre R ³ : ha

$\nabla \cdot {\mathbf {C(x,y,z)}}=0$ és
az és integrálok konvergálnak, ha egy végtelen térfogatban integráljuk, és a végtelenben csökkennek legalább annyi ideig , $\iiiint _{{V}}{\frac {{\mathbf {d}}(x',y',z')}{|{\mathbf {r}}-{\mathbf {r'}}|} }\,dV'$ $\iiiint _{{V}}{\frac {{\mathbf {C}}(x',y',z')}{|{\mathbf {r}}-{\mathbf {r'}}|} }\,dV'$ ${\mathbf {r}}\to \infty$ ${\mathbf {1/r}}^{{1+\varepsilon }}$

akkor a megoldás arra a problémára, hogy helyreállítsa a mezőt a göndörödésből , a divergenciából és a végtelenbe eső állapotból, legalább mint , létezik és egyedi.

{\mathbf {F}}(x,y,z)

{\mathbf {C}}(x,y,z)

{\mathbf {d}}(x,y,z)

{\mathbf {F}}(x,y,z)

{\mathbf {1/r}}^{{2+\varepsilon }}

A Helmholtz-probléma megoldásának megoldhatósága és egyedisége szorosan összefügg a Neumann-probléma megoldásának megoldhatóságával és egyediségével a Laplace-egyenletre ugyanabban a tartományban (lásd alább a Helmholtz-probléma megoldásának megalkotására szolgáló algoritmust).

Egy vektormező felbontása irrotációs mező és szolenoid mező összegére

A vektorfüggvény görbületből és divergenciából való visszaállításának problémáját felhasználva a vektormező kiterjesztése irrotációs mező és szolenoid mező összegére a következőképpen hajtható végre: ${\mathbf {F}}(x,y,z)$

Adott vektorfüggvényre a következőket számítjuk ki: függvényfüggvény , peremfeltétel , ha a vektorfüggvény a tér határos részterületére adott . $\mathbf {F}$ ${\mathbf {C}}=\nabla \times {\mathbf {F}}$ ${\mathbf {d}}=\nabla \cdot {\mathbf {F}}$ ${\mathbf {g}}({\mathbf {S}})=({\mathbf {n}}\cdot {\mathbf {F}})|_{{S}}$ $\mathbf {F}$ $\mathbb {R} ^{3}$ $S$
Ha a belső feladatról van szó, akkor az azonosságból a kompatibilitási feltétel következik . Ezért a probléma bemeneti adatainak a peremfeltétellel való kompatibilitásának minden feltétele teljesül , a probléma megoldható és egyedi megoldása van. Az eredményül kapott vektorfüggvény egy irrotációs mező. $\iiiint _{{V}}(\nabla \cdot {\mathbf {F}})\,dV\equiv \iint _{{S}}({\mathbf {n}}\cdot {\mathbf {F} })\,dS$ $\iiiint _{{V}}{\mathbf {d}}(x,y,z)\,dV=\iint _{{S}}{\mathbf {g(S)))\,dS$ $\nabla \cdot {\mathbf {F_{1}}}={\mathbf {d}}$ $\nabla \times {\mathbf {F_{1))}=0$ ${\mathbf {g}}({\mathbf {S}})$ ${\mathbf {F_{1))}$
Mivel a probléma bemeneti adataira vonatkozó kompatibilitási feltételek nulla peremfeltétel mellett teljesülnek, a probléma megoldható és egyedi megoldása van . A kapott vektorfüggvény szolenoidmező. $\nabla \cdot {\mathbf {C}}=\nabla \cdot \nabla \times {\mathbf {F}}\equiv 0$ $\nabla \cdot \mathbf {F} _{2}=0$ $\nabla \times \mathbf {F} _{2}=\mathbf {C}$ ${\mathbf {F_{2))}$
Tekintsük a problémát a peremfeltétellel . A bemeneti adatok kompatibilitási feltételei teljesülnek, a probléma megoldható és egyedi megoldással rendelkezik. Ebben az esetben egyrészt a probléma megoldása maga a függvény , másrészt ugyanennek a problémának a megoldása a függvény . Így létrejött a kívánt térábrázolás egy irrotációs tér és egy szolenoid mező összegeként. $\nabla \cdot \mathbf {F} _{3}=\mathbf {d}$ $\nabla \times \mathbf {F} _{3}=\mathbf {C}$ ${\mathbf {g}}({\mathbf {S}})$ $\mathbf {F}$ $\mathbf {F} _{1}+\mathbf {F} _{2}$ ${\displaystyle \mathbf {F} \equiv \mathbf {F} _{1}+\mathbf {F} _{2))$ $\mathbf {F}$

Egy vektormező két mező összegeként konstruált ábrázolása nem egyedi. Vannak olyan vektormezők, amelyek egyszerre irrotációsak (a rotor nulla) és szolenoidálisak (a divergencia nulla). Ezek a mezők skaláris függvények gradiensei, amelyek kielégítik a Laplace-egyenletet (és csak azokat). Bármely ilyen mezőt hozzáadva az első taghoz, és kivonva a második tagból, a vektormező új partícióját kapjuk egy irrotációs és szolenoid mező összegére.

A vektorfüggvény visszaállítása a rotorról és a divergenciáról

A függvény görbületből, divergenciából és peremfeltételből történő visszaállításának problémájára a következőképpen lehet megoldást készíteni:

1) Adott függvényre a függvényt számítjuk ki , ahol a skaláris potenciált a képlettel számítjuk ki

{\mathbf {d}}(x,y,z)

{\mathbf {F_{1}}}(x,y,z)=\nabla {\mathbf {U}}

{\mathbf {U}}(x,y,z)

{\mathbf {U}}(x,y,z)=-{\frac {1}{4\pi }}\iiiint _{V}{\frac {{\mathbf {d}}(x',y ',z')}{{\sqrt {(xx')^{2}+(yy')^{2}+(zz')^{2))))}dx'dy'dz'

. Az eredmény egy függvény , amelyre és ;

{\mathbf {F_{1))}(x,y,z)

\nabla \cdot {\mathbf {F_{1}}}(x,y,z)={\mathbf {d}}(x,y,z)

\nabla \times {\mathbf {F_{1}}}(x,y,z)=0

2) Adott függvényre a függvényt számítjuk ki , ahol a vektorpotenciált a képlettel számítjuk ki

{\mathbf {C}}(x,y,z)

{\mathbf {F_{2}}}(x,y,z)=\nabla \times {\mathbf {A}}

{\mathbf {A}}(x,y,z)

{\mathbf {A}}(x,y,z)=+{\frac {1}{4\pi }}\iiiint _{V}{\frac {{\mathbf {C}}(x',y ',z')}{{\sqrt {(xx')^{2}+(yy')^{2}+(zz')^{2))))}dx'dy'dz'

. Az eredmény egy függvény , amelyre és ;

{\mathbf {F_{2))}(x,y,z)

\nabla \cdot {\mathbf {F_{2}}}(x,y,z)=0

\nabla \times {\mathbf {F_{2}}}(x,y,z)={\mathbf {C}}(x,y,z)

3) Olyan függvényt keresünk, amelyre , , és a tartomány határára vonatkozó normálvetületet úgy választjuk meg, hogy az teljesítse a peremfeltételt .

{\mathbf {F_{3))}(x,y,z)

\nabla \cdot {\mathbf {F_{3))}(x,y,z)=0

\nabla \times {\mathbf {F_{3}}}(x,y,z)=0

({\mathbf {n}}\cdot {\mathbf {F_{3}}})|_{{S}}

{\mathbf {F}}={\mathbf {F_{1}}}+{\mathbf {F_{2}}}+{\mathbf {F_{3}}}

({\mathbf {n}}\cdot {\mathbf {F}})|_{{S}}={\mathbf {g}}({\mathbf {S}})

Egy ilyen függvény megtalálásához behelyettesítést kell végrehajtani , ahol a skaláris potenciálnak ki kell elégítenie a Laplace-egyenletet . A függvényre megkapjuk a Neumann-peremfeltételt , és könnyen ellenőrizhető, hogy a Neumann-probléma megoldhatósági kritériuma teljesül-e. Ezért a függvény mindig létezik, egyedileg van definiálva a külső feladathoz, és egy additív állandóig a belső feladathoz. Ennek eredményeként a funkció, amelyre szükségünk van, mindig létezik és egyedi.

{\mathbf {F_{3))}(x,y,z)

{\mathbf {F_{3}}}(x,y,z)=\nabla {\mathbf {H}}

{\mathbf {H}}(x,y,z)

\Delta {\mathbf {H}}=0

{\mathbf {H}}(x,y,z)

\left.{\frac {\partial {\mathbf {H}}}{\partial {\mathbf {n}}}}\right|_{{S}}={\mathbf {g(S)))- ({\mathbf {n}}\cdot ({\mathbf {F_{1}+F_{2}}}))

{\mathbf {H}}(x,y,z)

{\mathbf {F_{3))}(x,y,z)

A funkció a feladat megoldása, és az egyetlen. Ha a peremfeltétel nincs megadva, a probléma megoldása az összes lehetséges függvény a formájú , ahol , bármely olyan függvény gradiense, amely kielégíti a Laplace-egyenletet. Ha a probléma a teljes R ³ térben felvetődik, akkor az (egyedi) megoldás egy olyan függvény lesz , amely a végtelenben a kívánt viselkedéssel rendelkezik. ${\mathbf {F}}(x,y,z)={\mathbf {F_{1}}}(x,y,z)+{\mathbf {F_{2}}}(x,y,z) +{\mathbf {F_{3}}}(x,y,z)$ ${\mathbf {F}}(x,y,z)={\mathbf {F_{1}}}(x,y,z)+{\mathbf {F_{2}}}(x,y,z) +{\mathbf {F_{3}}}(x,y,z)$ ${\mathbf {F_{3))}(x,y,z)$ ${\mathbf {F}}(x,y,z)={\mathbf {F_{1}}}(x,y,z)+{\mathbf {F_{2}}}(x,y,z)$

Helmholtz-tétel alternatív megfogalmazása

Ennek eredményeként a Helmholtz-tétel a következő feltételekkel újrafogalmazható. Legyen C egy szolenoid vektormező ( div C=0 ), és d egy skaláris mező R ³-ben, amelyek kellően simaak és vagy adottak egy korlátos tartományban, vagy a végtelenben 1/ r ²-nél gyorsabban csökkennek. Ekkor van egy F vektormező olyan, hogy

\nabla \cdot {\mathbf {F}}=d

és

\nabla \times {\mathbf {F}}={\mathbf {C}}.

Ha ezen felül az F vektormezőt a teljes R ³ térben figyelembe vesszük, és r → ∞- ként eltűnik , akkor F egyedi. [2] Általános esetben a megoldást egy additív adalékig határozzák meg - egy tetszőleges függvény gradienséig, amely kielégíti a Laplace-egyenletet.

Más szóval, bizonyos feltételek mellett a görbületéből és divergenciájából vektormező szerkeszthető, és ha a probléma a teljes R ³ térben definiálva van, akkor a megoldás egyedi (azzal a priori feltételezéssel, hogy a mező tisztességesen eltűnik a végtelenben gyorsan). Ennek a tételnek nagy jelentősége van az elektrosztatikában ; például a Maxwell-egyenletek statikus esetben éppen ilyen típusú mezőket írnak le [2] . Mint fentebb említettük, az egyik lehetséges megoldás:

{\mathbf {F}}=-\nabla \,({\mathcal {G}}(d))+\nabla \times ({\mathcal {G}}({\mathbf {C}})).

Lásd még

Jegyzetek

↑ Lee, 1965 , p. ötven.
↑ 1 2 3 David J. Griffiths, Bevezetés az elektrodinamikába , Prentice-Hall, 1989, p. 56.

Irodalom

Kochin N. E. — A vektorszámítás és a tenzoranalízis kezdetei
Korn G. A., Korn T. M. Matematika kézikönyv tudósok és mérnökök számára . - M . : " Nauka ", 1974. - S. 177.
Li Tsung-dao . Matematikai módszerek a fizikában. - M . : Mir, 1965. - 296 p.