Sünifésülés tétel

Az oldal jelenlegi verzióját még nem ellenőrizték tapasztalt közreműködők, és jelentősen eltérhet a 2020. augusztus 9-én felülvizsgált verziótól ; az ellenőrzések 4 szerkesztést igényelnek .

A sündisznó fésülési tétele kimondja, hogy egy gömbön nem lehet minden pontban olyan érintő irányt választani, amely a gömb minden pontjában meghatározott és a ponttól folyamatosan függ. Informálisan szólva nem lehet úgy összegömbölyödött sündisznót fésülni, hogy egy tű se szúrjon ki belőle - innen a tétel címében a sündisznó említése.

A sündisznó fésülési tétel [1] segítségével igazolható az 1912-ben Brouwer által [2] kapott fixpont tétel .

Megfogalmazás

A gömbön nincs olyan folytonos érintővektormező , amely sehova ne tűnik el [3] .

Jegyzetek

Más szóval, ha egy olyan folytonos függvény, amely a gömb minden pontjában érintő vektort definiál, akkor van legalább egy olyan pont , amelyre . $f$ $p$ $f(p)=0$

A "sün-tétel" egy másik változata így néz ki: Legyen egy nem nulla folytonos vektormező a gömbön. Aztán van egy pont, ahol a mező merőleges a gömbre. ${\mathbf {f))$

Következmények és alkalmazások

Egy gömb önmagára vonatkozó folytonos leképezése vagy fix ponttal rendelkezik, vagy leképez egy pontot a vele átlósan ellentétesre. Ez világossá válik, ha a leképezést a következő módon alakítjuk át folytonos vektormezővé. Legyen a gömb leképezése önmagára, és legyen a szükséges vektormező. Bármely pontra megszerkesztjük a pont sztereografikus vetületét a pont érintősíkra . Ekkor a vetületi eltolási vektor a -hoz képest . A sündisznó fésülési tétele szerint létezik olyan pont , hogy , tehát .

s

v

p

s(p)

p

v(p)

p

p

v(p)=0

s(p)=p

A bizonyítás csak akkor kudarcot vall, ha egy pontban ellentétes , mivel ebben az esetben lehetetlen megszerkeszteni a sztereografikus vetületét a pont érintősíkra .

p

s(p)

p

p

Biztos van egy ciklon a Földön. Ennek a tételnek egy érdekes meteorológiai alkalmazását kapjuk, ha a szelet folytonos vektormezőnek tekintjük a bolygó felszínén. Tekintsünk egy idealizált esetet, amelyben a felületre merőleges mezőkomponens elhanyagolhatóan kicsi. A sündisznó fésülési tétele kimondja, hogy a bolygó felszínén mindig lesz olyan pont, ahol nincs szél (az érintővektormező nulla). Egy ilyen pont egy ciklon vagy anticiklon középpontja lesz: a szél e pont körül forog (nem irányítható ebbe a pontba vagy onnan ki). Így a sündisznó fésülési tétele szerint, ha legalább némi szél fúj a Földön, akkor valahol ciklonnak kell lennie . Egy virtuális kamera esetében nincs egyedileg meghatározott folyamatos „felső” vektor. -ban nincs folytonos függvény , amely minden vektorra merőlegest generál. A számítógépes grafikában a kamera hagyományos helyzete , amely az A pontból néz a B objektumra, a következő: egy bizonyos irány („felső”) van kiválasztva, és a kívánt vektor („keret teteje”) az ortogonális komponense . a felső irány az AB vektorhoz. Természetesen, ha a kamerának egyenesen felfelé vagy lefelé kell néznie, ez a vektor nulla. A tétel azt mondja, hogy még a térben is, ahol nincs „fel” és „le”, lehetetlen ilyen leképezést készíteni úgy, hogy az egyértelmű legyen és ne legyen ilyen speciális irány.

\mathbb {R} ^{3}

Változatok és általánosítások

Általánosabban kimutatható, hogy egy érintővektormező nulláinak bizonyos összege egyenlő 2-vel, a kétdimenziós gömb Euler-karakterisztikájával , tehát legalább egy nullának kell lennie. Ez a Poincaré vektormező tétel következménye . Egy kétdimenziós tórusz esetében az Euler-karakterisztika 0, tehát "fésülhető". Általában minden folytonos érintővektor mezőben egy kompakt , szabályos 2 - sokatón nem nulla Euler-karakterisztikával legalább egy nulla van.

Az Euler-karakterisztikával való kapcsolat helyes általánosításra utal: a -dimenziós gömbön sehol nincs nullától eltérő folytonos vektormező ( ). A páros és páratlan dimenziók között az a különbség, hogy a -dimenziós gömb -dimenziós Betti-számai a és kivételével mindegyikre 0 , így váltakozó összegük párosnál 2 , páratlannál 0. $\chi$ $2n$ $n\geqslant 1$ $k$ $m$ $k$ $k=0$ $k=m$ $\chi$ $m$

Az algebrai topológiából egy nagyon szoros állítás a Lefschetz fixpont tételen alapul . Mivel a kétdimenziós gömb Betti-számai egyenlőek 1, 0, 1, 0, 0, …, akkor az azonos leképezés Lefschetz-száma (teljes nyomkövetés a homológián ) egyenlő 2- vel . A vektormezőt integrálva (legalábbis a 0 kis környezetében) egy egyparaméteres difeomorfizmus -csoportot kapunk a gömbön, amelyben minden térkép homotopikus az azonossághoz. Következésképpen mindegyiknek 2-es Lefschetz-száma is van, és ezért fix pontjaik vannak (mivel a Lefschetz-számuk nem nulla). Bebizonyítható, hogy ezek a pontok valóban a vektormező nullai lesznek. Ez az általánosabb Poincaré-vektormező-tétel megfogalmazására késztet .

Lásd még

Poincaré vektormező tétele

Jegyzetek

↑ "Csak 1912-ben bizonyította az általános esetet LEJBrouwer holland matematikus" Archiválva : 2022. május 10., a Wayback Machine / The Hairy Ball Theorem. Mark Joppolo. AfterMath Issue 5, 2008, University of Western Australia
↑ L.E.J. Brouwer. Über Abbildung von Mannigfaltigkeiten / Mathematische Annalen (1912) 71. kötet, 97-115. oldal; ISSN: 0025-5831; 1432-1807/e Archivált 2020. július 17-én a Wayback Machine -nél , teljes szöveg Archivált : 2020. július 17-én a Wayback Machine -nél (német)
↑ Hairy Ball tétel – a Wolfram MathWorld-től . Letöltve: 2020. május 20. Az eredetiből archiválva : 2020. január 10. (határozatlan)

Irodalom

Murray Eisenberg, Robert Guy. A szőrös labda tétel bizonyítása . — Az amerikai matematikai havilap. — Vol. 86- Nem. 7 (1979. augusztus-szept.). - pp. 571–574.