Legendre tétele (gömbi trigonometria)

Legendre tétele a gömbi trigonometriában lehetővé teszi egy gömbháromszög megoldásának egyszerűsítését , ha tudjuk, hogy oldalai elég kicsik ahhoz a gömbhöz képest , amelyen található.

Megfogalmazás

Adjunk meg egy gömb alakú háromszöget, amelynek oldalai kicsik a gömb sugarához , szögeihez és körszögéhez képest . Építsünk a síkon egy olyan háromszöget , amelynek oldalai egyenlők az adott gömbháromszög megfelelő oldalaival, vagyis mivel a gömbháromszög oldalainak szögmértéke van, és radiánban vannak kifejezve, akkor . Jelöljük egy ilyen háromszög szögeit (radiánban kifejezve) így . Legendre tétele kimondja, hogy a következő összefüggések igazak [1] :

Így, ha egy gömbháromszög oldalai kicsik a gömb sugarához képest, akkor helyettesíthetjük egy lapos háromszöggel, amelynek oldalai azonos hosszúságúak, és a körszögek egyharmada kisebb, és kiszámíthatjuk egy lapos háromszög elemeit.

Történelem

Ezt a tételt A. M. Legendre fogalmazta meg 1787-ben [2] , és 1798-ban bizonyította [3] . Egyes források szerint azonban már 1740-ben is ismerték, amikor Sh.M. de la Condamine a perui expedíció fokmérésének feldolgozásakor használta [4] .

Jegyzetek

1. ↑ Stepanov N. N. 55. §. Legendre tétele // Szférikus trigonometria. - M. - L .: OGIZ , 1948. - S. 141-143. — 154 p.
2. ↑ Legendre AM: Mémoire sur les opérations trigonométriques, dont les résultats dépendent de la figure de la Terre. Histoire de l'Académie royale de sciences, Párizs 1787; 352-383.
3. ↑ Legendre AM: Méthode pour déterminer la longueur Excate du quart du méridien d'après les Observations faites pour la mesure de l'arc compris entre Dunkerque et Barcelone, Note III: Résolution des trianges sphériques dont des côpetit a rapeysnt de la gömb. JB Delembre: Méthodes analytiques pour la détermination d'un arc du méridien, Paris 1798; 12-14
4. ↑ Zbynek Nadenik. Legendre tétel gömbháromszögekről . Az eredetiből archiválva : 2014. január 16.