Weierstrass-tétel egy függvényről egy kompakton
Az oldal jelenlegi verzióját még nem ellenőrizték tapasztalt közreműködők, és jelentősen eltérhet a 2021. november 2-án felülvizsgált verziótól ; az ellenőrzéshez 1 szerkesztés szükséges .A Weierstrass-tétel a matematikai elemzés és az általános topológia tétele , amely kimondja, hogy egy kompakt halmazon folytonos függvény korlátos, és eléri a legnagyobb felső és alsó határát [1] .
Néha (a képzéseken) két állítást (a határok korlátairól és elérhetőségéről) két Weierstrass-tételre osztanak – az elsőre, illetve a másodikra. [egy]
tétel állítása
A Weierstrass-tétel egy adott metrikus térből a valós számok halmazába ható folytonos függvényekre van megfogalmazva .
Weierstrass-tétel folytonos függvényekre
A matematikai elemzés során azokat a számtereket veszik figyelembe, amelyekre tetszőleges zárt és korlátos halmazok kompaktak . A valós vonalon az összekapcsolt kompakt halmazok szegmensek, majd a Weierstrass-tétel szegmensekre van megfogalmazva:
Ha a függvény folytonos a szegmensen , akkor korlátos rá, és ráadásul eléri a minimális és maximális értékét, azaz vannak olyanok , amelyek mindenre .
![[a,b]](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/9c4b788fc5c637e26ee98b45f89a5c08c85f7935)
![{\displaystyle x_{m},x_{M}\in [a,b]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/78455ff5f059d98636eded07450952eb2a1e13fe)
![{\displaystyle x\in[a,b]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/026357b404ee584c475579fb2302a4e9881b8cce)
Weierstrass-tétel félfolytonos függvényekre
- Legyen a függvény korlátos és felső félfolytonos . Akkor és
- Legyen a függvény korlátos és alsó félfolyamatos. Akkor és
![f\colon[a,\;b]\to\R](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c0c5b2882644a9a7afb4b3f0b886c07770b2948e)
![{\displaystyle M=\sup \limits _{x\in [a,\;b]}f(x)<\left\vert \infty \right\vert }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/620a6c1622441e58a7368b98a3e56de2aa088f96)
![\exists x_M\in[a,\;b]\colon f(x_M)=M.](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4f64d190025a62c810308d2f46621dd7843f1ce6)
![m=\inf\limits_{x\in[a,\;b]}f(x)>-\infty](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/590267a18e801ef49fe298f7327f322b89485f93)
![\exists x_m\in[a,\;b]\colon f(x_m)=m.](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/8de6115a67707d986e390064385a2599a25c959f)
Bizonyítás
A tétel bizonyítása folytonos függvényekre
A valós számok teljessége miatt van egy (véges vagy végtelen) legkisebb felső korlát . Mivel a legkisebb felső korlát, létezik olyan sorozat , hogy . A Bolzano-Weierstrass tétel szerint a konvergens részsorozat megkülönböztethető egy korlátos sorozattól , amelynek határa (nevezzük ) szintén az intervallumhoz tartozik . A függvény folytonossága miatt megvan , de másrészt . Így a legnagyobb felső korlát véges, és a pontban érhető el .
![M=\sup _{{x\in [a,b]}}f(x)](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/1c2a394149edc7e2b38d1d331fe8ef0fdfaee003)
Az alsó korlát esetében a bizonyítás hasonló.
A tétel bizonyítása általános esetben
Legyen kompakt és a függvény folytonos -on . Tekintsük a halmazok gyűjteményét , ahol egy nyitott intervallum. Ezek a halmazok nyitottak (egy nyitott halmaz teljes előképei folyamatos leképezés alatt), és nyilvánvalóan borítót alkotnak . A kompaktum definíciója szerint ebből a borítóból kiemelhetünk egy véges részborítót , ahonnan van , és a korlát bizonyítást nyer. Könnyű ellentmondással igazolni a maximum és minimum elérését, ha figyelembe vesszük a , , függvényeket és alkalmazzuk rájuk az imént bizonyított állítást.
![[f(x)-\sup f(A)]^{{-1}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/7500bdc25ee85c53844e8763b9c0f37835e69090)
![[f(x)-\inf f(A)]^{{-1}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f50e67c276c462ff41d598c30bb2112ee89e3288)
Jegyzetek
A tétel feltételezései szerint egy szegmens nem helyettesíthető nyílt intervallummal . Például az érintőfüggvény
folytonos a definíciós tartomány minden pontján , de nem korlátozott.