Apollonius tétele

A planimetriában Apollonius tétele egy képlet , amely egy háromszög mediánjának hosszát az oldalaival fejezi ki. Különösen, ha valamelyik ABC háromszögben a medián AD , akkor

AB^{2}+AC^{2}=2(AD^{2}+BD^{2}).

Ez a Stewart-tétel egy speciális esete . Egyenlőszárú háromszög esetén a tétel Pitagorasz-tételre redukálódik . Abból, hogy egy paralelogramma átlói felezik egymást, bebizonyítható, hogy a tétel ekvivalens a paralelogramma azonosságával .

A tétel nevét Pergai Apollónioszról kapta .

Bizonyítás

A tétel a Stewart-tétel speciális eseteként vagy vektorok felhasználásával bizonyítható (lásd paralelogramma-azonosság ). A következő egy független bizonyítást a koszinusztétel [1] segítségével .

Legyen az a , b , c háromszög oldalai és a d medián a háromszög a oldalára húzva . Legyen m a medián által alkotott a szakaszok hossza , azaz m a fele . Legyenek az a és d közötti szögek θ és θ′, ahol θ tartalmazza b , θ′ pedig c -t . Ekkor θ′ a θ-val szomszédos szög és cos θ′ = −cos θ. A θ és θ′ koszinusztétele ezt mondja:

{\begin{aligned}b^{2}&=m^{2}+d^{2}-2dm\cos \theta \\c^{2}&=m^{2}+d^{2} -2dm\cos \theta '=\\&=m^{2}+d^{2}+2dm\cos \theta .\,\end{aligned}}

Ezeket az egyenleteket összeadva azt kapjuk

b^{2}+c^{2}=2m^{2}+2d^{2}

szükség szerint.

Lásd még

Jegyzetek

↑ Godfrey & Siddons szerint , 1908

Források

Charles Godfrey, Arthur Warry Siddons. Modern geometria . - Egyetemi Kiadó, 1908. - 20. o.
Apollonius-tétel (angolul) a PlanetMath weboldalon .