Abel tétele az egyenletek gyökökben való megoldhatatlanságáról

Az Abel-Ruffini tétel kimondja, hogy az általános algebrai fokszámegyenlet gyökökben megoldhatatlan [1] . $n\geqslant 5$

Részletek

A Galois-elmélet a polinomok gyökeinek permutációs csoportját írja le . A tétel modern bizonyítása a következő két tényen alapul:

Ha a polinom fokszáma nagyobb vagy egyenlő, mint 5 , a polinom Galois-csoportja a permutációs csoport [2] . $n$ $S_{n}$
Amikor a permutációs csoport nem megoldható [3] . $n\geqslant 5$ $S_{n}$

Könnyen belátható, hogy a bizonyítás jelentős része „rejtett” a Galois-elméletben.

Az Abel-Ruffini tétel nem állítja , hogy az at-edik fokú általános egyenletnek nincs megoldása. Ha komplex megoldások megengedettek , akkor az algebra alaptétele garantálja a megoldások létezését. Az Abel-Ruffini tétel lényege abban rejlik, hogy a negyediknél nagyobb fokú tetszőleges egyenletekre lehetetlen megadni a megoldásokra explicit formulát , vagyis olyan formulát, amely minden lehetséges megoldást definiál, és csak aritmetikai műveleteket tartalmaz. tetszőleges fokozatú gyökerek . $n$ $n\geqslant 5$

Az ilyen egyenletek megoldása tetszőleges pontossággal megadható numerikus módszerekkel , például Newton módszerével .

Ezenkívül egyes magasabb fokú egyenletek gyökerei gyökökben is kifejezhetők. Például az egyenletnek van gyöke . $x^{5}-5x^{4}-10x^{3}-10x^{2}-5x-1=0$ $x=1+{\sqrt[{5}]{2}}+{\sqrt[{5}]{4}}+{\sqrt[{5}]{8}}+{\sqrt[ {5}]{16}}$

Bár egy kvintikus egyenlet nem oldható meg gyökökben, vannak képletek a gyökére, amely théta függvényeket használ .

Explicit képletek 5-nél kisebb hatványokhoz

Az ötödiknél kisebb fokkal rendelkező egyenleteknél megadhat egy explicit megoldási képletet. Ez a tény a „második résznek” vagy „inverz” Abel-Ruffini tételnek tekinthető. Ez az állítás ugyan nem következik az Abel-Ruffini tételből, de igaz: lásd Cardano (harmadik fokú egyenletekhez) és Ferrari (negyedik) képleteit [4] .

Történelem

A tétel első bizonyítását 1799 -ben tette közzé Ruffini . A bizonyításban több pontatlanság is volt. 1824- ben Ábel egy teljes bizonyítékot publikált .

Bizonyításaik Lagrange egyenlet gyökereinek megváltoztatására vonatkozó elképzeléseire támaszkodtak. Később ezeket az elképzeléseket a Galois-elmélet fejlesztette ki , amely lehetővé tette a modern bizonyítási állítások megfogalmazását, és kiindulópontként szolgált az absztrakt algebra fejlesztésében .

Megoldható egyenlettípusok

Bár a tétel kimondja, hogy az egyenleteknek nincs általános képlete a megoldásra, bizonyos típusú nagyfokú egyenletek pontos megoldásokat engednek meg. Közöttük:

Lásd még

Galois elmélet
Bringa Root
A Lily-módszer egy grafikus módszer tetszőleges fokozatú polinomok valódi gyökereinek megtalálására.
Algebrai egyenlet feloldója
A hatodik fokozat egyenlete

Jegyzetek

↑ Alekszejev, 2001 , p. 112.
↑ Alekszejev, 2001 , p. 187.
↑ Alekszejev, 2001 , p. ötven.
↑ Alekszejev, 2001 , p. 9-12.

Irodalom

Alekseev, V. B. Abel tétele a problémákban és megoldásokban. -M.: MTSNMO, 2001. - 192 p. -ISBN 5-900916-86-3. (Orosz)
Tabachnikov, S. L. , Fuchs, D. B. Mathematical divertissement. 5. előadás. - MTSNMO, 2011. - 512 p. -ISBN 978-5-94057-731-7. (Orosz)
Bosch, S. Algebra (német) . — 6. Auflage. - Springer , 2006. - ISBN 3-540-29880-0 .
Dehn, E. Algebrai egyenletek: Bevezetés Lagrange és Galois elméletébe (angol) . – New York: Columbia University Press , 1930.
Fraleigh, JB Azabsztrakt algebra első kurzusa . — Hetedik kiadás. - Pearson Education Limited, 2014. - ISBN 1-292-02496-8 .
Stewart , I. Galois elmélet . - Második kiadás. -Chapman & Hall, 1989. -ISBN 978-94-010-6864-2.

Linkek

Weisstein, Eric W. Abel lehetetlenségi tétele (angolul) a Wolfram MathWorld weboldalán .
Weisstein, Eric W. Galois tétele (angolul) a Wolfram MathWorld weboldalán .
David Terr és Eric W. Weisstein. Galois Group (angol) a Wolfram MathWorld weboldalán .
Weisstein, Eric W. Solvable Group (angolul) a Wolfram MathWorld weboldalán .