Tenzorelemzés

A tenzoranalízis a vektoranalízis általánosítása , a tenzorszámítás egy része , amely egy differenciálható sokaság tenzormezőinek algebrájára ható differenciáloperátorokat vizsgál . Figyelembe vesszük azokat az operátorokat is, amelyek általánosabb geometriai objektumokra hatnak, mint a tenzormezőkre: tenzorsűrűségek, differenciálformák értékekkel egy vektorkötegben. $D(M)$ $M$

A legérdekesebbek azok az operátorok, amelyek tevékenysége nem vezet az algebrán kívülre , köztük a kovariáns derivált , a Lie derivált , a külső derivált , egy nem degenerált, kétszeresen kovariáns tenzor görbületi tenzora. . $D(M)$

Kovariáns derivált

A vektormező mentén a kovariáns derivált a sokaság vektormezőinek terének lineáris leképezése , a vektormezőtől függően, és teljesíti a feltételeket: $x$ $\nabla _{X}$ $D^{1}(M)$ $M$ $x$

\nabla _{f}X+{}_{{gV}}Z=f\nabla _{X}Z,

\nabla _{X}(fZ)=f\nabla _{X}Z+(Xf)Y,

ahol a , , , , a sima függvények a . Az ezzel az operátorral definiált kapcsolat és párhuzamos fordítás lehetővé teszi, hogy a kovariáns derivált hatását kiterjesztsük az algebra önmagára való lineáris leképezésére; ráadásul a leképezés differenciálás, megőrzi a tenzormező típusát, és permutál a konvolúcióval. $x$ $Y$ $Z\in D'(M)$ $f$ $g$ $M$ $\Gamma$ $D(M)$ $\nabla X$

A lokális koordinátákban a tenzor vektorhoz viszonyított komponenseinek kovariáns deriváltja a következőképpen definiálható: $u^{1},\;u^{2},\;\ldots ,\;u^{n}$ $T\left(T_{{j_{1}\ldots {j_{m}}}}^{{i_{1}\ldots {i_{l}}}}\right)$ $X=\xi ^{i}{\frac {\partial }{\partial u^{i))}$

\nabla _{X}T=\xi ^{s}\left({\frac {\partial T_{{j_{1}\ldots m}}^{{i_{1}\ldots i_{l}}} }{\partial u^{s}}}+\Gamma _{{k_{s}}}^{{i_{1}}}T_{{j_{1}\ldots j_{m}}}^{{ k\ldots i_{l}}}+\ldots -\Gamma _{{j_{{i,s}}}}^{k}T_{{k\ldots j_{m}}}^{{i_{1 }\ldots i_{l}}}}\jobbra),

\Gamma _{{ks}}^{i}

egy kapcsolódási objektum .

\Gamma

Hazugság származéka

A Lie derivált a vektormező mentén a képlettel meghatározott tér leképezése , ahol a vektormezők kommutátora , . Ez az operátor egyedülálló módon kiterjeszti a differenciálást is , megőrzi a tenzorok típusát, és konvolúcióval ingázik . A lokális koordinátákban a Lie tenzor deriváltja a következőképpen van kifejezve: $x$ $L_{X}$ $D'(M)$ $L_{X}:Y\–[X,\;Y]$ $[X,\;Y]$ $x$ $Y$ $D(M)$ $T\left(T_{{j_{1}\ldots {j_{m}}}}^{{i_{1}\ldots {i_{l}}}}\right)$

L_{X}T=\xi ^{k}{\frac {\partial T_{{j_{1}\ldots j_{m))}^{{i_{1}\ldots i_{l)))){ \partial u^{k))}+T_{{k\ldots j_{m))}^{{i_{1}\ldots i_{l))}{\frac {\partial \xi ^{k)) {\partial u^{i))}+\ldots -T_{{j_{1}\ldots j_{m))}^{{k\lponts i_{l))}{\frac {\partial \xi ^ {{i_{1}}}}{\részleges u^{k}}}-\lpontok

Külső származék

A külső differenciál (külső derivált) egy olyan lineáris operátor , amely egy külső differenciálformát (ferde-szimmetrikus kovariáns tenzort) egy fokozathoz társít egy ugyanolyan típusú és fokozatú alakhoz , amely megfelel a feltételeknek: $d$ $p$ $p+1$

d(\omega _{1}\wedge \omega _{2})=d\omega _{1}\wedge \omega _{2}+(-1)^{r}\omega _{1}\wedge d\omega _{2},\quad d(d\omega )=0,

ahol a külső termék szimbóluma , a mértéke . A helyi koordinátákban a tenzor külső deriváltja a következőképpen fejeződik ki: $\ék$ $r$ $\omega_{1}$ $\omega \langle \omega _{{i_{1}\ldots i_{p}}}\rangle$

d\omega =\sum _{{n=0}}^{\infty }(-1)^{k}{\frac {\partial \omega _{{i_{1}\ldots {\hat i}_ {k}\ldots i_{{p+1}}}}}{\partial u^{{i_{k}}}}}.

Az operátor az operátor általánosítása . $d$ ${\mathrm {rot}}$

Görbülettenzor

Egy szimmetrikus, nem degenerált, kétszeresen kovariáns tenzor görbületi tenzora valamilyen nemlineáris operátor hatása : $g_{{if}}$ $R$

g_{if}\to R_{mlk}^{s}={\frac {\partial \Gamma _{km}^{s)){\partial u^{l))}-{\frac { \partial \Gamma _{kl}^{s}}{\partial u^{m}}}+\sum _{p}\left(\Gamma _{lp}^{s}\Gamma _{km}^ {p}-\Gamma _{mp}^{s}\Gamma _{kl}^{p}\jobbra)

ahol

\Gamma _{jk}^{i}={\frac {1}{2}}g^{is}\left({\frac {\partial g_{js}}{\partial u^{k ))}+{\frac {\partial g_{ks}}{\partial u^{j}}}-{\frac {\partial g_{jk}}{\partial u^{s}}}\right)

Irodalom

Sokolnikov I. S. Tenzor elemzés. — M .: Nauka, 1971. — 374 p.
Shouten Ya. A. Tenzorelemzés fizikusoknak. - M. : A "Nauka" kiadó fizikai és matematikai szakirodalmának főkiadása, 1965. - 456 p.
Shirokov P. A. Tenzorszámítás. - M. - L .: Gostekhizdat, 1934. - 464 p.