Sztereotip tér

Az oldal jelenlegi verzióját még nem ellenőrizték tapasztalt közreműködők, és jelentősen eltérhet a 2020. október 6-án felülvizsgált verziótól ; az ellenőrzéshez 1 szerkesztés szükséges .

A funkcionális analízisben és a matematika kapcsolódó területein a sztereotípiaterek a topológiai vektorterek egy osztálya , amelyet néhány speciális reflexivitási feltétel különböztet meg . Ennek az osztálynak számos figyelemreméltó tulajdonsága van, különösen, hogy nagyon széles (például tartalmazza az összes Fréchet teret , tehát az összes Banach teret ), bizonyos teljességi feltételhez kötött terekből áll, és zárt monoid kategóriát alkot. szabványos analitikai eszközökkel új terek létrehozásához, mint például zárt altérbe való átlépés, hányadostér, projektív és injektív határértékek, operátortér, tenzorszorzatok stb.

A sztereotípia meghatározása és kritériuma

A sztereotípia tér [1] egy topologikus vektortér a komplex számok mezője fölött [2] úgy, hogy a természetes leképezés a második kettős térre $x$ $\mathbb {C}$

i:X\to X^{\star \star },\quad i(x)(f)=f(x),\quad x\in X,\quad f\in X^{\star }

topológiai vektorterek izomorfizmusa (azaz lineáris és homeomorf leképezés). Itt a duális teret úgy definiáljuk, mint az összes lineáris folytonos funkcionális tere, amelyek az egyenletes konvergencia topológiájával vannak felruházva teljesen korlátos halmazokon -ben , a második duális tér pedig az ugyanabban az értelemben duális tér. ${\displaystyle X^{\star ))$ $f:X\to \mathbb {C}$ $x$ ${\displaystyle X^{\star \star ))$ ${\displaystyle X^{\star ))$

A következő kritérium igaz: [1] egy topológiai vektortér akkor és csak akkor sztereotip, ha lokálisan konvex, és teljesíti a következő két feltételt: $x$

pszeudoteljesség : minden teljesen behatárolt Cauchy-irányosság konvergál, $x$
pszeudozaturáció : bármely zárt konvex kiegyensúlyozott kapacitású [3] , amely be van állítva , a 0 in környéke . $D$ $x$ $x$

A pszeudoteljesség a teljesség szokásos tulajdonságának gyengülése, a pszeudosaturáció pedig a topológiai vektortér hordós tulajdonságának gyengülése.

Példák

Minden pszeudoteljes hordós tér (különösen minden Banach-tér és minden Fréchet-tér) sztereotip. Egy metrizálható lokálisan konvex tér akkor és csak akkor sztereotip, ha teljes. Ha egy normált tér, és a duális tér funkcionálisai által generált gyenge topológia a -n, akkor a tér akkor és csak akkor sztereotip a topológiához képest, ha véges dimenziós. Vannak sztereotip terek, amelyek nem Mackey terek . $x$ $x$ $x$ $\sigma$ $x$ ${\displaystyle X^{\star ))$ $\sigma$ $x$

A sztereotípia tér tulajdonságai és kettős tere közötti legegyszerűbb összefüggéseket a következő törvényszerűségek listája fejezi ki [1] [4] : $x$ ${\displaystyle X^{\star ))$

$x$ normálható - Banach tér - Smith tér ; $\Hosszú bal jobb nyíl$ $x$ $\Hosszú bal jobb nyíl$ ${\displaystyle X^{\star ))$

$x$ metrizálható - Fréchet tér - Brauner tér ; $\Hosszú bal jobb nyíl$ $x$ $\Hosszú bal jobb nyíl$ ${\displaystyle X^{\star ))$

$x$ hordó rendelkezik a Heine-Borel tulajdonsággal; $\Hosszú bal jobb nyíl$ ${\displaystyle X^{\star ))$

$x$ kvázi -hordó bármely hordó által elnyelt részhalmazba teljesen be van határolva; $\Hosszú bal jobb nyíl$ ${\displaystyle X^{\star ))$ $T$

$x$ — a Mackey tér bármely -gyengén kompakt készletbe kompakt; $\Hosszú bal jobb nyíl$ ${\displaystyle X^{\star ))$ $x$

$x$ – a Montel tér hordós, és rendelkezik a Heine-Borel tulajdonsággal – a Montel tér; $\Hosszú bal jobb nyíl$ $x$ $\Hosszú bal jobb nyíl$ ${\displaystyle X^{\star ))$

$x$ — a gyenge topológiájú tér bármely kompakt térben végesdimenziós ; $\Hosszú bal jobb nyíl$ ${\displaystyle X^{\star ))$ $T$

$x$ elválasztható abban, hogy véges kóddimenziójú zárt alterek sorozata triviális metszésponttal: . $\Hosszú bal jobb nyíl$ ${\displaystyle X^{\star ))$ $L_{n}$ ${\displaystyle \bigcap _{n=1}^{\infty }L_{n}=\{0\))$

$x$ rendelkezik a (klasszikus) közelítési tulajdonsággal rendelkezik a (klasszikus) közelítési tulajdonsággal; $\Hosszú bal jobb nyíl$ ${\displaystyle X^{\star ))$

$x$ teljesen teljes [5] telített [6] ; $\Hosszú bal jobb nyíl$ ${\displaystyle X^{\star ))$ $\Hosszú bal jobb nyíl$ ${\displaystyle X^{\star ))$

$x$ — a Ptak tér [7] bármely altérbe , amely zárt nyomot hagy minden kompakt beillesztéskor , automatikusan bezárul; $\Hosszú bal jobb nyíl$ ${\displaystyle X^{\star ))$ $L$ $L\cap K$ $K$ ${\displaystyle X^{\star ))$

$x$ — egy hiperkomplett tér [8] bármely konvex kiegyensúlyozott halmazba , amely minden kompakt halmazon zárt nyomot hagy , automatikusan bezárul. $\Hosszú bal jobb nyíl$ ${\displaystyle X^{\star ))$ $B$ $B\cap K$ $K$ ${\displaystyle X^{\star ))$

Történelem

A topológiai vektorterek ilyen típusú reflexivitását leíró első eredményeket M. F. Smith [9] szerezte 1952-ben. A további kutatásokat ezen a területen B. S. Brudovsky, [10] W. S. Waterhouse, [11] K. Browner, [12] S. S. Akbarov, [1] [4] [13] [14] és E. T. Shavgulidze végezte . [15] A "sztereotip tér" kifejezést S. S. Akbarov vezette be 1995-ben [16] . A sztereotip terek kategóriájának főbb tulajdonságait S. S. Akbarov írta le egy 1995-2017 közötti műsorozatban.

Álbefejezés és áltelítettség

Bármely lokálisan konvex teret sztereotípiává alakíthatunk a következő propozíciók által leírt szabványos műveletek segítségével. [egy] $x$

1. Minden lokálisan konvex tér hozzárendelhető egy lineáris folytonos leképezéshez valamilyen pszeudoteljes lokálisan konvex térbe , amelyet térbeli pszeudokiegészítésnek neveznek , oly módon, hogy a következő feltételek teljesülnek: $x$ $\triangledown _{X}:X\to X^{\triangledown }$ $X^{\triangledown }$ $x$

$x$ akkor és csak akkor pszeudoteljes, ha izomorfizmus; $\triangledown _{X}:X\to X^{\triangledown }$
lokálisan konvex terek bármely lineáris folytonos leképezéséhez létezik olyan egyedi lineáris folytonos leképezés , hogy . $\varphi :X\to Y$ $\varphi ^{\triangledown }:X^{\triangledown }\to Y^{\triangledown }$ $\triangledown _{Y}\circ \varphi =\varphi ^{\triangledown }\circ \triangledown _{X}$

Intuitív módon a pszeudo-teljes tér a "külsőhöz legközelebb eső" pszeudo-teljes, lokálisan konvex térnek tekinthető, így a művelet hozzáad néhány elemet a topológiához, de nem változtatja meg a topológiát (hasonlóan a szokásos befejezési művelethez). $x$ $x$ ${\displaystyle X\mapsto X^{\triangledown ))$ $x$ $x$

2. Bármely lokálisan konvex tér társítható lineáris folytonos leképezéssel valamilyen pszeudotelített lokálisan konvex térből , amelyet tér pszeudo -telítettségnek neveznek , oly módon, hogy a következő feltételek teljesülnek: $x$ $\vartriangle _{X}:X^{\vartriangle }\to X$ ${\displaystyle X^{\vartriangle ))$ $x$

$x$ akkor és csak akkor áltelített, ha izomorfizmus; $\vartriangle _{X}:X^{\vartriangle }\to X$
lokálisan konvex terek bármely lineáris folytonos leképezéséhez létezik olyan egyedi lineáris folytonos leképezés , hogy . $\varphi :X\to Y$ ${\displaystyle \varphi ^{\vartriangle }:X^{\vartriangle }\to Y^{\vartriangle ))$ $\varphi \circ \vartriangle _{X}=\vartriangle _{Y}\circ \varphi ^{\vartriangle }$

Egy tér pszeudotelítettsége intuitív módon úgy is felfogható, mint a "legközelebbi belső" pszeudotelített, lokálisan konvex tér, így a művelet megerősíti a topológiát , de nem változtatja meg annak elemeit. $x$ $x$ $X\mapsto X^{\vartriangle }$ $x$

Ha egy pszeudoteljes lokálisan konvex tér, akkor pszeudosaturációja sztereotip. Duálisan, ha pszeudotelített lokálisan konvex tér, akkor pszeudo- kiegészülése sztereotip. Egy tetszőleges lokálisan konvex tér esetén a és terek sztereotipikusak [17] . $x$ ${\displaystyle X^{\vartriangle ))$ $x$ $X^{\triangledown }$ $x$ ${\displaystyle X^{\vartriangle \triangledown ))$ $X^{\triangledown \vartriangle }$

A sztereotip terek kategóriája

A sztereotip terek Ste osztálya egy kategóriát alkot lineáris folytonos leképezésekkel, mint morfizmusokkal, és a következő tulajdonságokkal rendelkezik: [1] [13]

Ste egy pre-Abeli kategória;
Ste - teljes és társteljes kategória;
A Ste egy önduális kategória a kettős térbe való átmenet függvényében; $X\mapsto X^{\star }$
A Ste egy csomóponti dekompozíciós kategória : minden morfizmusnak van dekompozíciója , ahol szigorú epimorfizmus, bimorfizmus és szigorú monomorfizmus. $\varphi :X\to Y$ $\varphi =\sigma \circ \beta \circ \pi$ $\pi$ $\beta$ $\sigma$

Bármely két sztereotípia teret és a tól- ig operátorok sztereotípiaterét úgy definiáljuk, mint az összes lineáris folytonos leképezés terének pszeudoszturációját, amely az egyenletes konvergencia topológiájával van felruházva teljesen korlátos halmazokon. A tér sztereotip. Két természetes tenzortermék meghatározására szolgál a Ste -ben : $x$ $Y$ $Y\oslash X$ $x$ $Y$ ${\text{L}}(X,Y)$ $\varphi :X\to Y$ $Y\oslash X$

X\circledast Y:=(Y^{\star }\oslash X)^{\star },

X\odot Y:=Y\oslash X^{\star }.

Tétel. A következő természetes identitások szerepelnek a Ste kategóriában : [1] [14] :

\mathbb {C} \circledast X\cong X\cong X\circledast \mathbb {C} ,

\mathbb {C} \odot X\cong X\cong X\odot \mathbb {C} ,

X\circledast Y\cong Y\circledast X,

X\odot Y\cong Y\odot X,

(X\circledast Y)\circledast Z\cong X\circledast (Y\circledast Z),

(X\odot Y)\odot Z\cong X\odot (Y\odot Z),

(X\circledast Y)^{\star }\cong Y^{\star }\odot X^{\star },

(X\odot Y)^{\star }\cong Y^{\star }\circledast X^{\star },

X\oslash Y\cong Y^{\star }\oslash X^{\star },

X\oslash (Y\circledast Z)\cong (X\oslash Y)\oslash Z,

(X\odot Y)\oslash Z\cong X\odot (Y\oslash Z)

Konkrétan a Ste szimmetrikus monoid kategória a bifunktor tekintetében , szimmetrikus zárt monoid kategória a bifunktor és a belső hom függvény tekintetében, valamint egy *-autonóm kategória :

\odot

\circledast

\oslash

X^{\star }\oslash (Y\circledast Z)\cong (X\circledast Y)^{\star }\oslash Z,

Kernel és cokernel a Ste kategóriában

Mivel a Ste egy pre-Abeli kategória, minden morfizmusnak van kernelje , kokernelje, képe és képanyaga. Ezek az objektumok a következő természetes identitásoknak felelnek meg: [1] $\varphi :X\to Y$

({\text{ker}}\varphi )^{\star }={\text{coker}}(\varphi ^{\star }),\qquad ({\text{coker}}\varphi ) ^{\star }={\text{ker}}(\varphi ^{\star }),

({\text{im}}\varphi )^{\star }={\text{coim}}(\varphi ^{\star }),\qquad ({\text{coim}}\varphi ) ^{\star }={\text{im}}(\varphi ^{\star }),

({\text{Ker}}\varphi )^{\perp \vartriangle }={\text{Im}}(\varphi ^{\star }),\qquad ({\text{Im}}\ varphi )^{\perp \vartriangle }={\text{Ker}}(\varphi ^{\star }),

{\text{Ker}}\varphi =({\text{Im}}(\varphi ^{\star }))^{\perp \vartriangle },\qquad {\text{Im}}\varphi =({\text{Ker}}(\varphi ^{\star }))^{\perp \vartriangle }.

Közvetlen és inverz határértékek a Ste kategóriában

A következő természetes identitások érvényesek: [1] [14]

{\Big (}\bigoplus _{i\in I}X_{i}{\Big )}^{\star }\cong \prod _{i\in I}X_{i}^{\star }

{\Big (}\prod _{i\in I}X_{i}{\Big )}^{\star }\cong \bigoplus _{i\in I}X_{i}^{\star }

Y\oslash {\Big (}\bigoplus _{i\in I}X_{i}{\Big )}\cong \prod _{i\in I}(Y\oslash X_{i})

{\Big (}\prod _{j\in J}Y_{j}{\Big )}\oslash X\cong \prod _{j\in J}(Y_{j}\oslash X)

{\Big (}\bigoplus _{i\in I}X_{i}{\Big )}\circledast {\Big (}\bigoplus _{j\in J}Y_{j}{\Big ) }\cong \bigoplus _{i\in I,j\in J}(X_{i}\circledast Y_{j})

{\Big (}\prod _{i\in I}X_{i}{\Big )}\odot {\Big (}\prod _{j\in J}Y_{j}{\Big ) }\cong \prod _{i\in I,j\in J}(X_{i}\odot Y_{j})

{\Big (}\lim _{i\to \infty }X_{i}{\Big )}^{\star }\cong \lim _{\infty \gets i}X_{i}^{ \csillag}

{\Big (}\lim _{\infty \gets i}X_{i}{\Big )}^{\star }\cong \lim _{i\to \infty }X_{i}^{ \csillag}

Y\oslash {\Big (}\lim _{i\to \infty }X_{i}{\Big )}\cong \lim _{\infty \gets i}(Y\oslash X_{i} )

{\Big (}\lim _{\infty \gets j}Y_{j}{\Big )}\oslash X\cong \lim _{\infty \gets j}(Y_{j}\oslash X )

{\Big (}\lim _{i\to \infty }X_{i}{\Big )}\circledast {\Big (}\lim _{j\to \infty }Y_{j}{\ Nagy )}\cong \lim _{i,j\to \infty }(X_{i}\circledast Y_{j})

{\Big (}\lim _{\infty \gets i}X_{i}{\Big )}\odot {\Big (}\lim _{\infty \gets j}Y_{j}{\ Nagy )}\cong \lim _{\infty \gets i,j}(X_{i}\odot Y_{j})

(itt --- közvetlen határérték és --- inverz határérték a Ste kategóriában ). $\lim _{i\to \infty }$ ${\displaystyle \lim _{\infty \gets i))$

Grothendieck transzformáció

Ha és sztereotip terek, akkor bármely elemre és a képletre $x$ $Y$ $x\X-ben$ $y\-ban Y$

(x\circledast y)(\varphi )=\varphi (y)(x),\qquad \varphi \in X^{\star }\oslash Y

elemi tenzort definiál és a képletet $x\circledast y\in X\circledast Y=(X^{\star }\oslash Y)^{\star }$

(x\odot y)(f)=f(x)\cdot y,\qquad f\in X^{\star }

--- elemi tenzor $x\odot y\in X\odot Y=Y\oslash X^{\star }$

Tétel. [1] Bármilyen sztereotip terekhez , és létezik egy egyedi lineáris folyamatos leképezés , amely az elemi tenzorokat elemi tenzorokra képezi le

x

Y

\Gamma _{X,Y}:X\circledast Y\to X\odot Y

x\circledast y

x\odot y

\Gamma _{X,Y}(x\circledast y)=x\odot y,\qquad x\in X,\ y\in Y.

A leképezési család meghatározza a bifunktor természetes átalakulását bifunktorrá

\Gamma _{X,Y}:X\circledast Y\to X\odot Y

\circledast

\odot

A leképezést Grothendieck transzformációnak hívják . $\Gamma _{X,Y}$

A sztereotípia közelítés tulajdonsága

Egy sztereotípia térről azt mondjuk, hogy rendelkezik a sztereotípia közelítés tulajdonságával , ha minden lineáris folytonos térkép közelíthető az operátorok sztereotípiaterében véges dimenziós lineáris folytonos térképekkel. Ez a feltétel gyengébb, mint a Schauder-bázis létezése ben , de formálisan erősebb, mint a klasszikus közelítési tulajdonság (az azonban még nem ismert (2013), hogy a sztereotípia közelítés egybeesik-e a klasszikussal). $x$ $\varphi :X\to Y$ $X\oslash X$ $x$

Tétel. [1] Egy sztereotípia tér esetében a következő feltételek egyenértékűek:

x

(i) rendelkezik sztereotípia-közelítő tulajdonsággal;

x

(ii) a Grothendieck-transzformáció egy monomorfizmus (a Ste kategóriában );

\Gamma _{X,X^{\star }}:X\circledast X^{\star }\to X\odot X^{\star }

(iii) a Grothendieck-transzformáció egy epimorfizmus (a Ste kategóriában );

\Gamma _{X,X^{\star }}:X\circledast X^{\star }\to X\odot X^{\star }

(iv) minden sztereotípia térre a Grothendieck-transzformáció monomorfizmus (a Ste kategóriában );

Y

\Gamma _{X,Y}:X\circledast Y\to X\odot Y

(v) bármely sztereotípia tér esetében a Grothendieck-transzformáció epimorfizmus (a Ste kategóriában ).

Y

\Gamma _{X,Y}:X\circledast Y\to X\odot Y

Tétel. [1] Ha két és sztereotípia térnek van sztereotípia közelítési tulajdonsága, akkor a , és tereknek is megvan a sztereotípia közelítési tulajdonsága.

x

Y

X\oslash Y

X\circledast Y

X\odot Y

Különösen, ha rendelkezik a sztereotípia közelítési tulajdonsággal, akkor ugyanez igaz a és -ra is . $x$ ${\displaystyle X^{\star ))$ $X\oslash X$

Alkalmazások

Mivel egy szimmetrikus monoid kategória, Ste generálja a sztereotípia algebra (mint monoid Ste ) és egy sztereotípia modul (mint modul Ste -ben egy ilyen monoid felett). Bármely sztereotípia-algebra esetében a bal és jobb oldali sztereotípiamodulok Ste és Ste kategóriái relatív kategóriák a Ste -hez képest . [1] Ez különbözteti meg a Ste kategóriát a lokálisan konvex terek többi ismert kategóriájától, mivel egészen a közelmúltig csak a Banach - terek kategóriájának és a véges dimenziós terek Fin kategóriájának volt ismert ez a tulajdonsága. Másrészt a Ste kategória olyan tág, és az új terek felépítésére szolgáló eszközök olyan sokrétűek, hogy ez arra utal, hogy a funkcionális elemzés összes eredménye jelentős veszteség nélkül újrafogalmazható a sztereotípia elméleten belül. Ezt az elképzelést követve megkísérelhető a funkcionális elemzésben (és a kapcsolódó területeken) a lokálisan konvex terek kategóriájának teljes helyettesítése a Ste sztereotípiás terek kategóriájával, hogy az így kapott elméleteket összehasonlíthassuk az esetleges leegyszerűsítések keresése érdekében - ezt a programot hirdette meg S. Akbarov 2005-ben [18] , és a következő eredmények igazolják jelentését: $A$ $A$ $A$ $A$

A sztereotípia terek elméletében a közelítési tulajdonságot az operátorterek és a tenzorszorzatok öröklik. Ez lehetővé teszi az ellenpéldák számának csökkentését a Banach-terek elméletéhez képest, ahol, mint ismeretes, az operátorok tere nem örökli a közelítési tulajdonságot. [19]
A sztereotípia algebrák kialakulóban lévő elmélete lehetővé teszi a konstrukciók egyszerűsítését a nem kommutatív csoportok dualitáselméleteiben. Különösen a csoportalgebrák ezekben az elméletekben alakulnak át a szokásos algebrai értelemben vett Hopf-algebrákká . [4] [14] [20]

Jegyzetek

↑ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 S. S. Akbarov, 2003.
↑ ...vagy hasonló definíciójú valós számok mezeje felett . $\mathbb {R}$
↑ Egy halmazt akkor nevezünk kapacitásosnak , ha minden teljesen korlátos halmazhoz létezik olyan véges halmaz , $D\subseteq X$ $A\subseteq X$ $F\subseteq X$ $A\subseteq D+F$
↑ 1 2 3 S. S. Akbarov, 2008.
↑ Egy lokálisan konvex teret koteljesnek nevezünk, ha minden lineáris függvény , amely minden teljesen korlátos halmazon folytonos, mindenen folytonos . $x$ $f:X\to \mathbb {C}$ $S\subseteq X$ $x$
↑ Egy lokálisan konvex teret telítettnek nevezünk , ha abban, hogy a halmaz nulla környéke legyen , elég, ha konvex, kiegyensúlyozott, és minden teljesen korlátos halmazhoz létezik egy zárt nullakörnyezet . hogy . $x$ $B$ $B$ $S\subseteq X$ $U$ $x$ $B\cap S=U$
↑ Egy lokálisan konvex teret Ptak-térnek nevezünk , vagy tökéletesen teljesnek , ha a duális tér bármely altere -gyengén zárt, ha -gyengén zárt nyomot hagy a nulla minden környezetének polárisán . $x$ ${\displaystyle X^{\star ))$ $Q\subseteq X^{\star }$ $x$ $x$ ${\displaystyle U^{\circ ))$ $U\subseteq X$
↑ Egy lokálisan konvex teret hiperteljesnek nevezünk , ha a duális térben bármely abszolút konvex halmaz -gyengén zárt, ha -gyengén zárt nyomot hagy a nulla minden környezetének polárisán . $x$ ${\displaystyle X^{\star ))$ $Q\subseteq X^{\star }$ $x$ $x$ ${\displaystyle U^{\circ ))$ $U\subseteq X$
↑ M. F. Smith, 1952.
↑ BSBrudovski, 1967.
↑ WCWaterhouse, 1968.
↑ K.Brauner, 1973.
↑ 1 2 S. S. Akbarov, 2013.
↑ 1 2 3 4 S. S. Akbarov (2017 ).
↑ SSAkbarov, ETShavgulidze, 2003.
↑ SSAkbarov (1995 ).
↑ A véletlen kérdése nyitott marad (2013). ${\displaystyle X^{\vartriangle \triangledown ))$ $X^{\triangledown \vartriangle }$
↑ SSAkbarov, 2005.
↑ A.Szankowski, 1981.
↑ J. Kuznyecova, 2013

Irodalom

Schaefer, H. Topológiai vektorterek. - Moszkva: Mir, 1971.
Robertson A.P., Robertson, W.J. Topológiai vektorterek. - Moszkva: Mir, 1967.
Smith, MF A Pontrjagin kettősségtétel lineáris terekben (angol) // Annals of Mathematics : Journal. - 1952. - 1. évf. 56 , sz. 2 . - P. 248-253 .
Brudovski, BS A lokálisan konvex vektorterek k- és c-reflexivitásáról (angol) // Lithuanian Mathematical Journal : Journal. - 1967. - 1. évf. 7 , sz. 1 . - P. 17-21 .
Waterhouse, WC A vektorterek kettős csoportja (angol) // Pac. J Math. : folyóirat. - 1968. - 1. évf. 26 , sz. 1 . - P. 193-196 .
Brauner, K. Frechet-terek kettőse és a Banach-Dieudonne-tétel általánosítása (angol) // Duke Math. Jour. : folyóirat. - 1973. - 1. évf. 40 , sz. 4 . - P. 845-855 .
Akbarov, S.S. Pontrjagin kettősség a topológiai vektorterek elméletében // Matematikai megjegyzések : folyóirat. - 1995. - T. 57 , 3. sz . - S. 463-466 . - doi : 10.1007/BF02303980 . (Orosz)
Akbarov, SS Pontrjagin kettősség a topológiai vektorterek elméletében és a topológiai algebrában (angol) // Journal of Mathematical Sciences : folyóirat. - 2003. - 1. évf. 113. sz . 2 . - 179-349 . (nem elérhető link)
Akbarov, S.S. Exponenciális típusú és dualitású holomorf függvények Stein-csoportokhoz az egység algebrai összefüggő komponensével // Alapvető és alkalmazott matematika: folyóirat. - 2008. - T. 14 , 1. sz . - S. 3-178 . - arXiv : 0806.3205 . (Orosz)
Akbarov, SS Borítékok és finomítások kategóriákban, funkcionális elemzési alkalmazásokkal (angol) // Dissertationes Mathematicae : folyóirat. - 2016. - Kt. 513 . - P. 1 - 188 . - arXiv : 1110.2013 .
Akbarov, S. S.; Shavgulidze, ET A pontrjagin (angol) értelmében reflexív terek két osztályáról // Mat. Sbornik: folyóirat. - 2003. - 1. évf. 194. sz . 10 . - P. 3-26 .
Akbarov, S.S. Topológiai algebrák folyamatos és sima burkológörbéi. 1. rész // Itogi nauki i tekhniki. Ser. Modern mat. és az alkalmazását. Tantárgy. felülvizsgálat : magazin. - 2017. - T. 129 . - S. 3-133 . - doi : 10.1007/s10958-017-3599-6 . - arXiv : 1303.2424v10 . (Orosz)
Akbarov, S.S. Topológiai algebrák folyamatos és sima burkológörbéi. 2. rész // Itogi nauki i tekhniki. Ser. Modern mat. és az alkalmazását. Tantárgy. felülvizsgálat : magazin. - 2017. - T. 130 . - S. 3-112 . - doi : 10.1007/s10958-017-3600-4 . - arXiv : 1303.2424v10 . (Orosz)
Kuznetsova, J. A Moore-csoportok kettőssége // Journal of Operator Theory. - 2013. - T. 69 , 2. sz . - S. 101-130 .
Akbarov, SS Pontryagin dualitás és topológiai algebrák (angol) // Banach Center Publications : Journal. - 2005. - 20. évf. 67 . - 55 - 71. o .
Szankowski, A. B(H) nem rendelkezik a közelítő tulajdonsággal // törvény. Matek.. - 1981. - T. 147 . – S. 147:89-108 .