Síkszimmetria-csoportok listája

A cikk összefoglalja az euklideszi sík diszkrét szimmetriacsoportjainak osztályait . Az itt megadott szimmetriacsoportokat három elnevezési séma szerint nevezzük el: nemzetközi jelölés , orbifold jelölés és Coxeter jelölés . A síkban háromféle szimmetriacsoport található:

• 2 végtelen pontcsoport -család
• 7 szegélycsoport - 2D élcsoportok
• 17 háttérképcsoport - 2D tércsoportok .

Pontszimmetria csoportok

A síkon van egy pont, amely invariáns minden transzformáció alatt. A diszkrét kétdimenziós pontcsoportoknak két végtelen családja van. A csoportokat az n paraméter határozza meg , amely megegyezik a forgatási alcsoport sorrendjével. Ezenkívül az n paraméter egyenlő a csoportindexszel.

Család	Int. ( orbifold )	Schoenflies	Geom. [1] Coxeter	Rendelés	Példák
Ciklikus csoportok	n (n•)	C n	n [n] +	n	C 1 , [ ] + (•)	C 2 , [2] + (2•)	C 3 , [3] + (3•)	C 4 , [4] + (4•)	C 5 , [5] + (5•)	C 6 , [6] + (6•)
Diédercsoportok	nm (*n• )	D n	n [n]	2n _	D 1 , [ ] (*•)	D 2 , [2] (*2•)	D 3 , [3] (*3•)	D 4 , [4] (*4•)	D 5 , [5] (*5•)	D 6 , [6] (*6•)

Határcsoport

A síkban van egy egyenes, amely minden transzformáció során önmagává alakul. Ebben az esetben ennek a vonalnak az egyes pontjai nem maradhatnak mozdulatlanok.

7 szegélycsoport , kétdimenziós élcsoportok . A Schoenflies szimbólumok 7 diédercsoport végtelen határértékeiként vannak megadva. A sárga területek minden határ végtelen alapterületét jelentik.

IUC ( orbifold )	Geom.	Schoenflies	Coxeter	alapvető terület	Példa
p1 (∞•)	p1 _	C∞_ _	[1,∞] +
p1m1 (*∞•)	p1	C∞v _	[1,∞]

IUC (Orbifold)	Geom.	Schoenflies	koxéter	alapvető terület	Példa
p11g (∞×)	p. g 1	S 2∞	[2 + ,∞ + ]
p11m (∞*)	p. egy	C∞h _	[2,∞ + ]

IUC (Orbifold)	Geom.	Schoenflies	koxéter	alapvető terület	Példa
p2 (22∞)	p2 _	D∞ _	[2,∞] +
p2mg (2*∞)	p2 g	D∞d _	[2 + ,∞]
p2mm (*22∞)	p2	D∞h_ _	[2,∞]

Háttérkép csoportok

17 tapétacsoport véges alapterülettel, nemzetközi jelöléssel , orbifold jelöléssel és Coxeter jelöléssel rendezve, és 5 Bravais-rács szerint osztályozva a síkon: négyzet , ferde (párhuzamos), hatszögletű (60 fokos szögű rombusz) , téglalap és rombusz alakú.

A tükörszimmetriájú p1 és p2 csoport minden osztályban előfordul. A hozzá tartozó tiszta Coxeter reflexiók csoportja minden osztályra adott, kivéve a ferde osztályokat.

Négyzet [4,4], IUC ( Orb. ) Geom. Coxeter alapvető terület p1 (°) p 1 p2 ( 2222) p2 [4,1 + ,4] + [1 + ,4,4,1 + ] + pgg (22×) p g 2 g [4 + ,4 + ] pmm (*2222) p2 [4,1 + ,4] [1 + ,4,4,1 + ] cmm (2*22) c2 [(4,4,2 + )] p4 ( 442) p4 [4,4] + p4g (4*2) p g 4 [4 + ,4] p4m (*442) p4 [4,4]

Téglalap alakú [∞ h ,2,∞ v ], IUC (Orb.) Geom. koxéter alapvető terület p1 (°) p 1 [∞ + ,2, ∞ + ] p2 ( 2222) p2 [∞,2,∞] + pg(h) (××) p g 1 h: [∞ + ,(2,∞) + ] pg(v) (××) p g 1 v: [(∞,2) + ,∞ + ] pgm (22*) p g 2 h: [(∞,2) + ,∞] pmg (22*) p g 2 v: [∞,(2,∞) + ] pm(h) (**) p1 h: [∞ + ,2,∞] pm(v) (**) p1 v: [∞,2,∞ + ] pmm (*2222) p2 [∞,2,∞]

rombuszos [∞ h ,2 + ,∞ v ], IUC (Orb.) Geom. koxéter alapvető terület p1 (°) p 1 [∞ + ,2 + ,∞ + ] p2 ( 2222) p2 [∞,2 + ,∞] + cm(h) (*×) c1 h: [∞ + ,2 + ,∞] cm(v) (*×) c1 v: [∞,2 + ,∞ + ] pgg (22×) p g 2 g [((∞,2) + ) [2] ] cmm (2*22) c2 [∞,2 + ,∞] Párhuzamos (ferde) p1 (°) p 1 p2 ( 2222) p2

Hatszögletű / háromszög alakú [6,3],/ [3 [3] ], p1 (°) p 1 p2 ( 2222) p2 [6,3 ] cmm (2*22) c2 [6.3] ⅄ p3 ( 333) p3 [1 + ,6,3 + ] [3 [3] ] + p3m1 (*333) p3 [1 + ,6,3] [3 [3] ] p31m (3*3) h3 [ 6,3+ ] p6 ( 632) p6 [6,3] + p6m (*632) p6 [6,3]

A háttérkép alcsoportjainak kapcsolata

Az alábbi táblázatban a csoportnak megfelelő sor és a csoportnak megfelelő oszlop metszéspontjában található a -vel izomorf részcsoport minimális indexe . Az átló egy megfelelő alcsoport minimális indexét tartalmazza, amely izomorf a környezeti csoporthoz.

Lásd még

• A gömbszimmetria-csoportok listája
• Hiperbolikus sík – Hiperbolikus szimmetriacsoportok

Jegyzetek

1. ↑ Hestenes, Holt, 2007 .
2. ↑ H.S.M. Coxeter, W.O.J. Moser.  Generátorok és kapcsolatok diszkrét csoportokhoz. Berlin: Springer, 1972. 4.6. §, 4. táblázat

Irodalom

• D. Hestenes , J. Holt. A kristályos tércsoportok a geometriai algebrában // Journal of Mathematical Physics .. - 2007. -T. 48, 023514.
• John H. Conway, Heidi Burgiel, Chaim Goodman-Strass. A dolgok szimmetriája. - A. K. Peters, 2008. - ISBN 978-1-56881-220-5 . (Orbifold jelölés a poliéderekhez, euklideszi és hiperbolikus burkolólapokhoz)

• John H. Conway, Derek A. Smith. A kvaterniókról és oktonokról: geometriájuk, aritmetikájuk és szimmetriájuk. - Natick, MA: A.K. Peters, Ltd., 2003. - ISBN 978-1-56881-134-5 .
• Kaleidoscopes: Selected Writings of HSM Coxeter , szerkesztette: F. Arthur Sherk, Peter McMullen, Anthony C. Thompson, Asia Ivic Weiss, Wiley-Interscience Publication, 1995, ISBN 978-0-471-01003-6 [1]
  • (22. cikk) HSM Coxeter, Regular and Semi Regular Polytopes I , [Math. Zeit. 46 (1940) 380–407, MR 2.10]
  • (23. cikk) HSM Coxeter, Regular and Semi-Regular Polytopes II , [Math. Zeit. 188 (1985) 559-591]
  • (24. cikk) HSM Coxeter, Regular and Semi-Regular Polytopes III , [Math. Zeit. 200 (1988) 3–45]
• Coxeter, HSM és Moser, WOJ generátorok és kapcsolatok diszkrét csoportokhoz. - New York: Springer-Verlag, 1980. - ISBN 0-387-09212-9 .
• NW Johnson . 11. fejezet: Véges szimmetriacsoportok // Geometriák és transzformációk. — 2015.

Linkek

• "Conway kézirata" Orbifold jelöléssel (a jelölés megváltozott az eredetihez képest, az x -et most a nyílt pont helyett, az o-t pedig a zárt pont helyett)
• A 17 háttérképcsoport