A hiperbolikus függvények integráljainak listája

\int \operátornév {sh}cx\,dx={\frac {1}{c}}\operátornév {ch}cx

\int \operátornév {ch}cx\,dx={\frac {1}{c}}\operátornév {sh}cx

\int \operátornév {sh}^{2}cx\,dx={\frac {1}{4c}}\operátornév {sh}2cx-{\frac {x}{2}}

\int \operátornév {ch}^{2}cx\,dx={\frac {1}{4c}}\operátornév {sh}2cx+{\frac {x}{2}}

\int \operátornév {sh}^{n}cx\,dx={\frac {1}{cn}}\operátornév {sh}^{{n-1}}cx\operátornév {ch}cx-{\frac {n-1}{n}}\int \operátornév {sh}^{{n-2}}cx\,dx\qquad {\mbox{( }}n>0{\mbox{)))

is:

\int \operátornév {sh}^{n}cx\,dx={\frac {1}{c(n+1)}}\operátornév {sh}^{{n+1}}cx\operátornév {ch} cx-{\frac {n+2}{n+1}}\int \operátornév {sh}^{{n+2}}cx\,dx\qquad {\mbox{( }}n<0{\mbox {, }}n\neq -1{\mbox{)))

\int \operátornév {ch}^{n}cx\,dx={\frac {1}{cn}}\operátornév {sh}cx\operátornév {ch}^{{n-1}}cx+{\frac { n-1}{n}}\int \operátornév {ch}^{{n-2}}cx\,dx\qquad {\mbox{( }}n>0{\mbox{)))

is:

\int \operátornév {ch}^{n}cx\,dx=-{\frac {1}{c(n+1)}}\operátornév {sh}cx\operátornév {ch}^{{n+1} }cx-{\frac {n+2}{n+1}}\int \operátornév {ch}^{{n+2}}cx\,dx\qquad {\mbox{(}}n<0{\) mbox{, }}n\neq -1{\mbox{)))

\int {\frac {dx}{\operatorname {sh}cx}}={\frac {1}{c}}\ln \left|\operatorname {th}{\frac {cx}{2}}\right |={\frac {1}{c}}\ln \left|{\frac {\operatorname {ch}cx-1}{\operatorname {sh}cx}}\right|={\frac {1}{ c}}\ln \left|{\frac {\operatorname {sh}cx}{\operatorname {ch}cx+1}}\right|={\frac {1}{c}}\ln \left|{ \frac {\operátornév {ch}cx-1}{\operátornév {ch}cx+1}}\right|

\int {\frac {dx}{\operatorname {sh}^{2}cx}}=-{\frac {1}{c}}\operatorname {cth}cx

\int {\frac {dx}{\operatorname {ch}cx}}={\frac {2}{c}}\operátornév {arctg}e^{{cx}}

\int {\frac {dx}{\operatorname {ch}^{2}cx}}={\frac {1}{c}}\operatorname {th}cx

\int {\frac {dx}{\operatorname {sh}^{n}cx}}={\frac {\operátornév {ch}cx}{c(n-1)\operátornév {sh}^{{n- 1}}cx}}-{\frac {n-2}{n-1}}\int {\frac {dx}{\operátornév {sh}^{{n-2}}cx}}\qquad {\ mbox{( }}n\neq 1{\mbox{)))

\int {\frac {dx}{\operatorname {ch}^{n}cx}}={\frac {\operátornév {sh}cx}{c(n-1)\operátornév {ch}^{{n- 1}}cx}}+{\frac {n-2}{n-1}}\int {\frac {dx}{\operátornév {ch}^{{n-2}}cx}}\qquad {\ mbox{( }}n\neq 1{\mbox{)))

\int {\frac {\operatorname {ch}^{n}cx}{\operatorname {sh}^{m}cx}}dx={\frac {\operatorname {ch}^{{n-1}}cx }{c(nm)\operátornév {sh}^{{m-1}}cx}}+{\frac {n-1}{nm}}\int {\frac {\operátornév {ch}^{{n -2}}cx}{\operátornév {sh}^{m}cx}}dx\qquad {\mbox{( }}m\neq n{\mbox{)))

is:

\int {\frac {\operatorname {ch}^{n}cx}{\operatorname {sh}^{m}cx}}dx=-{\frac {\operatorname {ch}^{{n+1}} cx}{c(m-1)\operátornév {sh}^{{m-1}}cx}}+{\frac {n-m+2}{m-1}}\int {\frac {\operátornév {ch}^{n}cx}{\operátornév {sh}^{{m-2}}cx}}dx\qquad {\mbox{( }}m\neq 1{\mbox{)))

is:

\int {\frac {\operatorname {ch}^{n}cx}{\operatorname {sh}^{m}cx}}dx=-{\frac {\operatorname {ch}^{{n-1}} cx}{c(m-1)\operátornév {sh}^{{m-1}}cx}}+{\frac {n-1}{m-1}}\int {\frac {\operátornév {ch }^{{n-2}}cx}{\operátornév {sh}^{{m-2}}cx}}dx\qquad {\mbox{( }}m\neq 1{\mbox{)))

\int {\frac {\operatorname {sh}^{m}cx}{\operatorname {ch}^{n}cx}}dx={\frac {\operatorname {sh}^{{m-1}}cx }{c(mn)\operátornév {ch}^{{n-1}}cx}}+{\frac {m-1}{mn}}\int {\frac {\operátornév {sh}^{{m -2}}cx}{\operátornév {ch}^{n}cx}}dx\qquad {\mbox{( }}m\neq n{\mbox{)))

is:

\int {\frac {\operatorname {sh}^{m}cx}{\operatorname {ch}^{n}cx}}dx={\frac {\operatorname {sh}^{{m+1}}cx }{c(n-1)\operátornév {ch}^{{n-1}}cx}}+{\frac {m-n+2}{n-1}}\int {\frac {\operátornév { sh}^{m}cx}{\operátornév {ch}^{{n-2}}cx}}dx\qquad {\mbox{( }}n\neq 1{\mbox{)))

is:

\int {\frac {\operatorname {sh}^{m}cx}{\operatorname {ch}^{n}cx}}dx=-{\frac {\operatorname {sh}^{{m-1}} cx}{c(n-1)\operátornév {ch}^{{n-1}}cx}}+{\frac {m-1}{n-1}}\int {\frac {\operátornév {sh }^{{m-2}}cx}{\operátornév {ch}^{{n-2}}cx}}dx\qquad {\mbox{( }}n\neq 1{\mbox{)))

\int x\operátornév {sh}cx\,dx={\frac {1}{c}}x\operátornév {ch}cx-{\frac {1}{c^{2}}}\operátornév {sh} cx

\int x\operátornév {ch}cx\,dx={\frac {1}{c}}x\operátornév {sh}cx-{\frac {1}{c^{2}}}\operátornév {ch} cx

\int \operátornév {th}cx\,dx={\frac {1}{c}}\ln |\operátornév {ch}cx|

\int \operátornév {cth}cx\,dx={\frac {1}{c}}\ln |\operátornév {sh}cx|

\int \operátornév {th}^{2}cx\,dx=x-{\frac {1}{c}}\operátornév {th}cx

\int \operátornév {cth}^{2}cx\,dx=x-{\frac {1}{c}}\operátornév {cth}cx

\int \operátornév {th}^{n}cx\,dx=-{\frac {1}{c(n-1)}}\operátornév {th}^{{n-1}}cx+\int \operátornév {th}^{{n-2}}cx\,dx\qquad {\mbox{( }}n\neq 1{\mbox{ )))

\int \operátornév {cth}^{n}cx\,dx=-{\frac {1}{c(n-1)}}\operátornév {cth}^{{n-1}}cx+\int \operátornév {cth}^{{n-2}}cx\,dx\qquad {\mbox{( }}n\neq 1{\mbox{)))

\int \operátornév {sh}bx\operátornév {sh}cx\,dx={\frac {1}{b^{2}-c^{2))}(b\operátornév {sh}cx\operátornév {ch }bx-c\operátornév {ch}cx\operátornév {sh}bx)\qquad {\mbox{( }}b^{2}\neq c^{2}{\mbox{)))

\int \operátornév {ch}bx\operátornév {ch}cx\,dx={\frac {1}{b^{2}-c^{2}}}(b\operátornév {sh}bx\operátornév {ch }cx-c\operátornév {sh}cx\operátornév {ch}bx)\qquad {\mbox{( }}b^{2}\neq c^{2}{\mbox{)))

\int \operátornév {ch}bx\operátornév {sh}cx\,dx={\frac {1}{b^{2}-c^{2}}}(b\operátornév {sh}bx\operátornév {sh }cx-c\operátornév {ch}bx\operátornév {ch}cx)\qquad {\mbox{( }}b^{2}\neq c^{2}{\mbox{)))

\int \operátornév {sh}(ax+b)\sin(cx+d)\,dx={\frac {a}{a^{2}+c^{2}}}\operátornév {ch}(ax +b)\sin(cx+d)-{\frac {c}{a^{2}+c^{2}}}\operátornév {sh}(ax+b)\cos(cx+d)

\int \operátornév {sh}(ax+b)\cos(cx+d)\,dx={\frac {a}{a^{2}+c^{2}}}\operátornév {ch}(ax +b)\cos(cx+d)+{\frac {c}{a^{2}+c^{2))}\operátornév {sh}(ax+b)\sin(cx+d)

\int \operátornév {ch}(ax+b)\sin(cx+d)\,dx={\frac {a}{a^{2}+c^{2}}}\operátornév {sh}(ax +b)\sin(cx+d)-{\frac {c}{a^{2}+c^{2))}\operátornév {ch}(ax+b)\cos(cx+d)

\int \operátornév {ch}(ax+b)\cos(cx+d)\,dx={\frac {a}{a^{2}+c^{2))}\operátornév {sh}(ax +b)\cos(cx+d)+{\frac {c}{a^{2}+c^{2}}}\operátornév {ch}(ax+b)\sin(cx+d)

Bibliográfia

Könyvek

Gradshtein I. S., Ryzhik I. M. Integrálok, összegek, sorozatok és termékek táblázatai. - 4. kiadás - M .: Nauka, 1963. - ISBN 0-12-294757-6 // EqWorld
Dvait G. B. Integráltáblázatok Szentpétervár: A JSC VNIIG im. kiadója és nyomdája. B. V. Vedeneeva, 1995. - 176 p. — ISBN 5-85529-029-8 . // EqWorld
D. Zwillinger. CRC szabványos matematikai táblázatok és képletek , 31. kiadás, 2002. ISBN 1-58488-291-3 .
M. Abramowitz és I. A. Stegun, szerk. Matematikai függvények kézikönyve képletekkel, grafikonokkal és matematikai táblázatokkal , 1964. ISBN 0-486-61272-4
Korn G. A., Korn T. M. Matematika kézikönyv tudósok és mérnökök számára . - M . : " Nauka ", 1974.

Integrálok táblázatai

Integrálok számítása

Integrálok listája függvénytípusok szerint
Alapvető racionális irracionális trigonometrikus fordított hiperbolikus fordított exponenciális logaritmikus függvények