A gömbszimmetria-csoportok listája

Pontcsoport a 3D térben

Politóp csoportok , [n,3], (*n32)
Involúciós szimmetriák C s , (*) [ ] =	Ciklikus szimmetria C nv , (*nn) [n] =	Diéder szimmetria D nh , (*n22) [n,2] =
Tetraéder szimmetria T d , (*332) [3,3] =	Oktaéder szimmetria O h , (*432) [4,3] =	Ikozaéder szimmetria I h , (*532) [5,3] =

A gömbszimmetria -csoportokat háromdimenziós térben pontcsoportoknak is nevezik , ez a cikk azonban csak véges szimmetriákkal foglalkozik. A háromszög alaptartományoknak öt alapvető szimmetriaosztálya van: kétéderes , ciklikus , tetraéderes , oktaéderes és ikozaéderes .

A cikk a csoportokat Schoenflies szimbólumok , Coxeter jelölés [1] , orbifold jelölés [2] és sorrend szerint sorolja fel. Conway a Schoenflies-jelölés egy változatát használta, amely a kvaterniócsoport algebrai struktúráján alapul , egy vagy két nagybetűvel és egy teljes alsó indexkészlettel. A csoportsorrendet az index jelzi, hacsak nincs megduplázva plusz/mínusz jellel ("±"), ami központi szimmetriát jelent [3] .

A Herman-Mogen szimbolikája (nemzetközi rekord) is adott. Az összesen 32 krisztallográfiai csoportok 2., 3., 4. és 6. rendű elemekkel rendelkező részhalmazok [4] .

Szimmetriák-involúciók

Négy olyan szimmetria létezik, amelyek önmagukkal inverzek, azaz. involúciók : azonosságtranszformáció (C 1 ), tükörszimmetria (C s ), forgásszimmetria (C 2 ) és centrális szimmetria (C i ).

Int.	Geom. [5]	Gömb.	Schönf.	Conway	Koksz.	Mivel.	Alap. vidék
egy	egy	tizenegy	C1_ _	C1_ _	][ [ ] +	egy
2	2	22	D1 = C2_ _	D2 = C2_ _	[2] +	2

Int.	Geom.	Orib.	Schönf.	Conway	Koksz.	Mivel.	Alap. vidék
egy	22	×	C i \u003d S 2	CC2 _	[2 + ,2 + ]	2
2 = m	egy	*	Cs = C1v = C1h _	±C 1 = CD 2	[ ]	2

Ciklikus szimmetria

Négy végtelen ciklikus szimmetriacsaládja van, ahol n = 2 vagy nagyobb. (n egyenlő lehet 1-gyel, mint a szimmetria hiányának speciális esete )

Int.	Geo	Gömb.	Schönf.	Conway.	Koksz.	Mivel.
2	2	22	C2 = D1_ _	C2 = D2_ _	[2] + [2,1] +	2
mm2	2	*22	C 2v = D 1h	CD 4 = DD 4	[2] [2,1]	négy
négy	42	2×	S4_ _	CC4 _	[2 + ,4 + ]	négy
2/m	2 2	2*	C 2h = D 1d	±C2 = ± D2	[2,2 + ] [2 + ,2]	négy

Int.	Geom.	Gömb.	Schönf.	Conway	Koksz.	Mivel.
3 4 5 6 n	3 4 5 6 n	33 44 55 66 nn	C 3 C 4 C 5 C 6 Cn _	C 3 C 4 C 5 C 6 Cn _	[3] + [4] + [5] + [6] + [n] +	3 4 5 6 n
3m 4mm 5m 6mm -	3 4 5 6 n	33 44 55 66 *nn	C 3v C 4v C 5v C 6v C nv	CD 6 CD 8 CD 10 CD 12 CD 2n	[3] [4] [5] [6] [n]	6 8 10 12 2n
3 8 5 12 -	62 82 10,2 12,2 2n.2	3 × 4 × 5 × 6 × n ×	S 6 S 8 S 10 S 12 S 2n	±C 3 CC 8 ±C 5 CC 12 CC 2n / ± C n	[2 + ,6 + ] [2 + ,8 + ] [2 + ,10 + ] [2 + ,12 + ] [2 + ,2n + ]	6 8 10 12 2n
3/m= 6 4/m 5/m= 10 6/m n/m	3 2 4 2 5 2 6 2 n 2	3* 4* 5* 6* n*	C 3h C 4h C 5h C 6h C nh	CC 6 ±C 4 CC 10 ±C 6 ±C n / CC 2n	[2,3 + ] [2,4 + ] [2,5 + ] [2,6 + ] [2,n + ]	6 8 10 12 2n

Kétszögű szimmetria

Három végtelen család létezik olyan diéderszimmetriával , ahol n egyenlő vagy nagyobb, mint 2. ( n speciális esetként egyenlő lehet 1-gyel)

Int.	Geom.	Gömb.	Schönf.	Conway	Koksz.	Mivel.
222	2 . 2	222	D2_ _	D4_ _	[2,2] +	négy
42 m _	4 2	2*2	D2d _	D.D. 8	[2 + ,4]	nyolc
hmmm	22	*222	D2h _	±D 4	[2,2]	nyolc

Int.	Geom.	Gömb.	Schönf.	Conway	Koksz.	Mivel.
32 422 52 622	3 . 2 4 . 2 5 . 2 6 . 2n . _ 2	223 224 225 226 22n	D 3 D 4 D 5 D 6 Dn _	D 6 D 8 D 10 D 12 D 2n	[2,3] + [2,4] + [2,5] + [2,6] + [2,n] +	6 8 10 12 2n
3 m 8 2 m 5 m 12 , 2 m _ _	6 2 8 2 10. 2 12. 2 n 2	23 24 25 26 2*n	D 3d D 4d D 5d D 6d D nd	±D 6 DD 16 ± D 10 DD 24 DD 4n / ± D 2n	[2 + ,6] [2 + ,8] [2 + ,10] [2 + ,12] [2 + ,2n]	12 16 20 24 4n
6 m2 4/mmm 10 m2 6/mmm	32 42 52 62 n2	223 224 225 226 *22n	D 3h N 4h D 5h D 6h D nh	DD 12 ±D 8 DD 20 ±D 12 ±D 2n / DD 4n	[2,3] [2,4] [2,5] [2,6] [2,n]	12 16 20 24 4n

A poliéderek szimmetriái

Háromféle szimmetria létezik a poliéderekre : a tetraéder szimmetria , az oktaéder szimmetria és az ikozaéder szimmetria , amelyet az ilyen szimmetriákkal rendelkező, szabályos háromszögfelületű poliéderekről neveztek el.

Tetraéder szimmetria

Int.	Geom.	Gömb.	Schönf.	Conway	Koksz.	Mivel.
23	3 . 3	332	T	T	[3,3] + = [4,3 + ] +	12
m 3	4 3	3*2	T h	±T	[ 4,3+ ]	24
43 m _	33	*332	T d	NAK NEK	[3,3] = [1 + ,4,3]	24

Oktaéder szimmetria

Int.	Geom.	Gömb.	Schönf.	Conway	Koksz.	Mivel.	Alap. vidék
432	4 . 3	432	O	O	[4,3] + = [[3,3]] +	24
m 3 m	43	*432	Ó h	±O	[4,3] = [[3,3]]	48

Ikozaéder szimmetria

Int.	Geom.	Gömb.	Schönf.	Conway	Koksz.	Mivel.	Alap. vidék
532	5 . 3	532	én	én	[5,3] +	60
53 2/m	53	*532	én h	± I	[5,3]	120

Lásd még

Kristályos pontszimmetria csoport
háromszög csoport
A síkbeli szimmetriacsoportok listája
Pontcsoportok a kétdimenziós térben

Irodalom

Peter R. Cromwell, Polyhedra (1997), I. függelék
Donald E. Sands. Kristályrendszerek és geometria // Bevezetés a krisztallográfiába . - Mineola, New York: Dover Publications, Inc., 1993. - 165. o . - ISBN 0-486-67839-3 .

John H. Conway, Derek A. Smith. Kvaterniókról és oktávokról = On Quaternions and Octonions. - Moszkva: MTSNMO, 2009. - ISBN 978-5-94057-517-7 .
John H. Conway, Heidi Burgiel, Chaim Goodman-Strass. A dolgok szimmetriája. - New York: A.K. Peters/CRC Press, 2008. - ISBN 978-1-56881-220-5 .
HSM Coxeter . Kaleidoszkópok: HSM Coxeter válogatott írásai / F. Arthur Sherk, Peter McMullen, Anthony C. Thompson, Asia Ivic Weiss,. - Wiley-Interscience Publication, 1995. - ISBN 978-0-471-01003-6 .
- (22. cikk) HSM Coxeter, Regular and Semi Regular Polytopes I , [Math. Zeit. 46 (1940) 380–407, MR 2.10]
- (23. cikk) HSM Coxeter, Regular and Semi-Regular Polytopes II , [Math. Zeit. 188 (1985) 559-591]
- (24. cikk) HSM Coxeter, Regular and Semi-Regular Polytopes III , [Math. Zeit. 200 (1988) 3–45]
Norman Johnson. 11. fejezet: Véges szimmetriacsoportok // Geometriák és transzformációk. — 2015.
D. Hestenes , J. Holt. A kristálytani tércsoportok a geometriai algebrában // Journal of Mathematical Physics. - 2007. -Kiadás. 48, 023514.

Külső linkek

Véges gömbszimmetria-csoportok
Weisstein, Eric W. Schoenflies szimbólum (angolul) a Wolfram MathWorld weboldalán .
Weisstein, Eric W. Kristályos pontcsoportok (angolul) a Wolfram MathWorld weboldalán .
Minden szimmetriatípus legegyszerűbb kanonikus poliéderei , David I. McCooey