Spin-pálya kölcsönhatás

Spin-pálya kölcsönhatás - a kvantumfizikában egy mozgó részecske és saját mágneses momentuma közötti kölcsönhatás a részecske spinje miatt . Az ilyen kölcsönhatás leggyakoribb példája az atom egyik pályáján elhelyezkedő elektron kölcsönhatása saját spinével. Egy ilyen kölcsönhatás különösen az elektron energiaspektrumának úgynevezett finomszerkezetének megjelenéséhez és az atom spektroszkópiai vonalainak felhasadásához vezet .

A spin-pálya Hamilton-féle származtatása

A spin-pálya kölcsönhatás egy relativisztikus hatás , ezért a Hamilton -féle kölcsönhatásnak megfelelő részének levezetéséhez a Dirac-egyenletből kell kiindulni a Hamilton-féle A vektorpotenciál mellett figyelembe vett külső elektromágneses tér hozzájárulásával és a φ skalárpotenciál , amelyre a Dirac-egyenletben a Lagrange-formalizmus [1] szerint be kell cserélni

{\mathbf {p}}\rightarrow {\mathbf {p}}-(e/c){\mathbf {A}}

és

E\jobbra nyíl E+e\varphi

Ennek eredményeként a Dirac-egyenlet a következő alakot ölti:

i\hbar {{\frac {\partial \psi }{\partial t}}}=[c{\boldsymbol \alpha }({\mathbf p}-{{\frac {e}{c}}}{\ mathbf A})+\beta mc^{2}+e\varphi ]\psi

ahol $\beta ={\begin{pmatrix}{\mathbf 1}&0\\0&-{\mathbf 1}\\\end{pmatrix)),\quad {\boldsymbol \alpha }={\begin{pmatrix}0&{ \boldsymbol \sigma }\\{\boldsymbol \sigma }&0\\\end{pmatrix}}$

$\sigma _{i}$ a Pauli-mátrixok

\sigma _{x}={\begin{pmatrix}0&1\\1&0\\\end{pmatrix)),\quad \sigma _{y}={\begin{pmatrix}0&-i\\i&0\\\ end{pmatrix)),\quad \sigma _{z}={\begin{pmatrix}1&0\\0&-1\\\end{pmatrix)),\quad \ {\mathbf 1}={\begin{pmatrix }1&0\\0&1\\\end{pmátrix}}.

Ebből a Hamilton-féleségből látható, hogy a ψ hullámfüggvénynek négykomponensűnek kell lennie, és ismert, hogy két komponense pozitív, kettő pedig negatív energiájú megoldásnak felel meg. A negatív energiájú megoldások szerepe csekély a mágneses jelenségekkel kapcsolatos kérdések mérlegelésekor, mivel a negatív energia spektrumában lévő lyukak a pozitronoknak felelnek meg , amelyek kialakulásához egy nagyságrendű energia , amely sokkal nagyobb, mint a mágneses jelenségekre van szükség. A fentiekkel kapcsolatban célszerű a kanonikus Foldy és Wouthuizen transzformáció [2] alkalmazása, amely a Dirac-egyenletet kétkomponensű egyenletpárra bontja. Az egyik negatív energiájú, a másik pozitív energiájú megoldásokat ír le, és a Hamilton-féle alakja a következő: $mc^{2}$

{\mathcal H}=\left[mc^{2}+{\frac {1}{2m}}\left(({\mathbf p}}-{\frac {e}{c}}{{\mathbf A}}\jobbra)^{2}-{\frac {p^{4}}{8m^{3}c^{2}}}\jobbra]+{e\varphi }-{\frac {e\ hbar }{2mc)){{\boldsymbol \sigma }}\cdot {{\mathbf H}}+\left\{-i({\frac {e\hbar ^{2}}{8m^{2}c ^{2)))){{\boldsymbol \sigma }}\cdot {\nabla }\times {{\mathbf E}}-{{\frac {e\hbar }{4m^{2}c^{2 }}}}{{\boldsymbol \sigma }}\cdot {{\mathbf E}}\times {{\mathbf p}}\right\}-{\frac {e\hbar ^{2}}{8m^ {2}c^{2}}}{\nabla }\cdot {{\mathbf E}}.

A göndör zárójelbe tett kifejezések a spin-pálya kölcsönhatást jellemzik. Konkrétan, ha az elektromos tér centrálisan szimmetrikus, akkor , és a spin-pálya kölcsönhatás Hamilton-rendszere a következő alakot ölti: $\nabla \times {\mathbf E}=0$

{\mathcal H}_{{so}}=-{{\frac {e\hbar }{4m^{2}c^{2}}}}{{\boldsymbol \sigma }}\cdot {{\mathbf E}}\times {{\mathbf p}}={{\frac {\hbar }{4m^{2}c^{2}}}}{{\frac {1}{r}}{\frac { \partial V}{\partial r}}}{{\boldsymbol \sigma }}\cdot {{\mathbf r}}\times {{\mathbf p}}={{\frac {\hbar }{4m^{ 2}c^{2)))){{\frac {1}{r}}{\frac {\partial V}{\partial r}}}{{\boldsymbol \sigma }}\cdot {{\mathbf L}},

ahol az elektron szögimpulzusának operátora . ${\mathbf L}={\mathbf r}\times {\mathbf p}$

Ez az eredmény összhangban van a klasszikus kifejezéssel, amely leírja az elektron spin és a mező kölcsönhatását az elektron keringési mozgása miatt. Magyarázzuk el ezt.

Az atomi elektron spin-pálya kölcsönhatási energiájának klasszikus kifejezése

Hagyja, hogy egy elektron egyenletesen és egyenes vonalúan mozogjon v sebességgel az 1 koordinátarendszer origójában elhelyezett atommag területén, amely Coulomb-teret hoz létre . A 2. keretben, amely a mozgó elektronhoz kapcsolódik, a megfigyelő egy mozgó atommagot fog látni, amely elektromos és mágneses teret is hoz létre, E' és H' erősséggel . A relativitáselméletből következően az E' és H' a következő összefüggésekkel kapcsolódik E -hez : $e{\mathbf E}=-{{\frac {{\mathbf r}}{r}}{\frac {\partial V}{\partial r}}}$

{\mathbf E}'={\mathbf E},\quad {\mathbf H}'\approx -{\frac {1}{c)){\mathbf v}\times {\mathbf E}=-{\ frac {1}{mc)){\mathbf p}\times {\mathbf E}.

Ahol a rendelési feltételeket elvetik $v^{2}/c^{2}.$

Ekkor az impulzus forgási impulzusának változásának egyenlete (amely az Uhlenbeck-Goudsmit hipotézis szerint a giromágneses viszonyhoz kapcsolódik az as mágneses nyomatékhoz ) a 2. koordinátarendszerben a következő lesz: ${\mathbf S}={\frac {\hbar }{2}}{\boldsymbol \sigma }{}$ ${\boldsymbol \mu }$ ${\frac {|{\boldsymbol \mu }|}{|{\mathbf S}|}}={\frac {|e|}{mc}}{}$

{\frac {d{\mathbf S}}{dt}}=\mu \times {\mathbf H}'=-{\frac {e\hbar }{2m^{2}c^{2}}}{ \boldsymbol \sigma }\times \left[{\mathbf p}\times {\mathbf E}\right].

Ez az egyenlet megfelel az elektron spin és az elektromágneses tér kölcsönhatásának, amelyet a Hamilton-féle a következő formában ír le:

{\mathcal H}'_{{so}}={\frac {e\hbar }{2m^{2}c^{2}}}{\boldsymbol \sigma }\cdot {\mathbf p}\times { \mathbf E}.

Vegyük észre, hogy a Hamilton-féle alakja 1/2-es tényezőig egybeesik a Dirac-egyenletből a Foldy- és Wouthuysen-transzformáció segítségével kapott Hamiltoni spin-pályarész alakjával. Ennek a tényezőnek a hiánya abból adódik, hogy az elektron mágneses momentumát megváltoztató egyenlet csak akkor lesz igaz, ha a 2. rendszer nem forog, ellenkező esetben ennek az egyenletnek a Thomas precesszió miatt így kell kinéznie.

{\frac {d{\mathbf S}}{dt}}={\frac {e\hbar }{2mc}}{\boldsymbol \sigma }\times {\mathbf H}'-\omega _{{T} }\times {\mathbf S},

hol van a tomosi forgási szögsebesség . $\omega _{{T}}$

Az atomban lévő elektront egy árnyékolt Coulomb-tér gyorsítja, ezért a Tomos-szögsebességet az összefüggés írja le

\omega _{{T))\approx {\frac {1}{2m^{2}c^{2))}({\frac {1}{r)){\frac {\partial V}{\ részleges r))}[{\mathbf r}\times {\mathbf p}]

Így a spin-pálya kölcsönhatás Hamilton-féle alakja a következő lesz:

{\mathcal H}_{{so}}={\frac {\hbar }{2m^{2}c^{2}}}{\frac {1}{r}}{\frac {dV}{dr )){\boldsymbol \sigma }\cdot {\mathbf r}\times {\mathbf p}-{\frac {\hbar }{4m^{2}c^{2))}{{\frac {1} {r}}{\frac {\partial V}{\partial r}}}{\boldsymbol \sigma }\cdot {\mathbf r}\times {\mathbf p}={\frac {\hbar }{4m^ {2}c^{2))}{{\frac {1}{r)){\frac {\partial V}{\partial r))}{\boldsymbol \sigma }\cdot {\mathbf r}\ alkalommal {\mathbf p},

Ami pontosan ugyanaz, mint az előző eredmény.

Lásd még

Rashba hatás

Jegyzetek

↑ Landau L. D. , Lifshitz E. M. Field theory. - 7. kiadás, átdolgozott. — M .: Nauka , 1988. — 512 p. - (" Elméleti fizika ", II. kötet). — ISBN 5-02-014420-7 .
↑ LLFoldy, SAWouthuysen. A spin 1/2 részecskék Dirac-elméletéről és nem relativisztikus határértékéről // Phys.Rev . : magazin. - 1950. - 1. évf. 78 . — P. 29-36 . - doi : 10.1103/PhysRev.78.29 .

Irodalom

Stepanov N. F. Kvantummechanika és kvantumkémia. -M.:Mir, 2001. - S. 391-398. — 519 p. -5000 példány. -ISBN 5-03-003414-5.
White R. A mágnesesség kvantumelmélete / Per. angolról. — 2. kiadás, javítva. és. add hozzá. — M.: Mir , 1985. — 304 p.
Björken JD , Drell S.D. Relativisztikus kvantumelmélet. 2. kötet - IO NFMI, 2000. - 296 p.
Jackson J. Klasszikus elektrodinamika. — M.: Mir , 1965. — 703 p.