Összehasonlítható mennyiségek

Az összemérhető mennyiségek egy történelmi kifejezés, amely olyan mennyiségeket jelöl, amelyekre közös mérték van . A mennyiségek elterjedt mértéke az a mennyiség, amely mindegyikben szereplő egész szám [1] . Ha ilyen mérték nem létezik, akkor az ilyen mennyiségeket összemérhetetlennek nevezzük .

Tegyük fel, hogy a közös mértéket az a és b m , illetve n -szeres mennyiség tartalmazza. Az m / n számot ezen összehasonlítható mennyiségek arányának nevezzük . Két összemérhető mennyiség arányát racionális számmal fejezzük ki, az összemérhetetlen- irracionálist pedig . Ezért azt is mondjuk, hogy az a szám a b szám racionális többszöröse .

Összehasonlíthatatlan mennyiségekre példa a négyzet átlója és oldala, mivel ezek aránya ( ) egyetlen racionális számmal sem ábrázolható pontosan.

A racionális számok bármely párja (és bármely véges halmaza) összemérhető. Az irracionális számok lehetnek összemérhetőek (például és , amelyek aránya 3), de lehetnek összemérhetetlenek is.

Történelem

A pitagoreusok (Kr. e. 6. század) biztosak voltak abban, hogy „a számok elemei minden dolognak… és hogy az egész világ harmónia és szám ” [2] . Ugyanakkor csak a természetes számokat ismerték fel számnak ; és a törtszámokat természetes számok arányának ( arányoknak ) tekintették, és nem vették figyelembe a számokat, mivel az egységet oszthatatlannak tekintették.

A Pythagore-féle világmodell első repedése az irracionalitás saját bizonyítéka volt , amelyet geometriailag úgy fogalmaztak meg, mint egy négyzet átlójának az oldalával való összemérhetetlenségét (Kr. e. 5. század). Az, hogy egy szakasz hosszát nem lehet természetes számmal vagy természetes számok arányával kifejezni, megkérdőjelezte a pitagoreizmus fő elvét. Még Arisztotelész is, aki nem osztotta nézeteiket, csodálkozását fejezte ki amiatt, hogy vannak dolgok, amelyeket „a legkisebb mértékkel sem lehet mérni” [3] .

A tehetséges Pythagoreus Theaetetus megpróbálta menteni a helyzetet . Ő (és később Eudoxus ) a "geometriai mennyiség" új fogalmát javasolta, amelyet immár geometriai nyelven fogalmaztak meg, és nem merült fel az összemérhetőség problémája. Eudoxus elméletét Eukleidész Elemek V. könyve tartalmazza . A négyzet átlójának az oldalával való összemérhetetlensége mellett Eukleidész számos más mennyiségpár összemérhetetlenségét is megállapította:

• szabályos ötszög oldalai és a körülírt kör sugara;
• szabályos tízszög oldalai és a körülírt kör sugara;
• szabályos poliéder élei ( tetraéder , kocka , oktaéder , ikozaéder , dodekaéder ) és az e poliéder körül leírt gömb sugara [4] .

Az ókori tudósok követői – indiai és iszlám matematikusok – elvetették a pitagoraszai előítéleteket, és minden mérhető mennyiséget számnak tekintettek. Európában ezt a megközelítést Newton hirdette meg az " Univerzális aritmetikában " (1707):

Számon nem annyira egységek halmazát értjük, mint inkább egy mennyiségnek egy másik, azonos típusú, egységnek vett mennyiséghez való absztrakt kapcsolatát.

Ez a megközelítés teljesen kiegyenlíti az összemérhető és összemérhetetlen mennyiségek (vagyis a racionális és irracionális számok ) jogait.

Lásd még

• Arkhimédész axiómája
• Euklidész algoritmusa
• Méret nélküli szám
• Geometriai konstrukció

Jegyzetek

1. ↑ Összehasonlíthatatlan és összemérhetetlen mennyiségek // Mathematical Encyclopedia (5 kötetben). - M .: Szovjet Enciklopédia , 1985. - T. 5. - S. 73.
2. ↑ Arisztotelész . Metafizika. A. V. Kubitsky fordítása és jegyzetei. M.-L., 1934, 26-27.
3. ↑ Arisztotelész . Metafizika. A. V. Kubitsky fordítása és jegyzetei. M.-L., 1934, 22. o.
4. ↑ Andronov I. K. Valós és komplex számok matematikája. - Felvilágosodás, 1975. - S. 9-10. — 158 p.