Véletlenszerű kompakt készlet

Az oldal jelenlegi verzióját még nem ellenőrizték tapasztalt közreműködők, és jelentősen eltérhet a 2021. március 7-én felülvizsgált verziótól ; az ellenőrzések 4 szerkesztést igényelnek .

A véletlenszerű kompakt halmaz egy valószínűségi változó , amelynek értékei kompakt halmazokban vannak . A véletlenszerű kompakt halmazokat véletlenszerű dinamikus rendszerek attraktorainak vizsgálatára használják .

Definíció

Legyen az összes kompakt részhalmaz halmaza . Meghatározható a Hausdorff - metrika : $\mathcal{K}$ $\mathbb {R} ^{2}$ $\mathcal{K}$ $h$

h(K_{1},K_{2})=\inf \left\{\varepsilon >0:K_{1}\subseteq K_{2}\bigoplus B(0,\varepsilon ),K_{2 }\subseteq K_{1}\bigoplus B(0,\varepsilon )\right\}.

Egy ilyen mérőszámmal a halmaz egy teljes szétválasztható metrikus térré válik . A megfelelő nyitott részhalmazok generálják a halmaz Borel - algebráját . $h$ $\mathcal{K}$ $\sigma$ ${\mathfrak {B}}_{K}$ $\mathcal{K}$

Ekkor egy véletlenszerű kompakt halmaz egy mérhető függvény valamilyen valószínűségi térből egy mérhető térbe . A véletlenszerű kompakt halmazok ebben az értelemben megegyeznek Matheron véletlenszerű zárt halmazaival [1] . Ezért eloszlásukat a valószínűségek adják meg $(\Omega ,{\mathcal {F)),{\mathbf {P)))$ $({\mathcal {K}),{\mathfrak {B}}_{K})$

\mathbf {P} (X\cap K=\emptyset ),\ \ \ K\in {\mathcal {K)).

Egy véletlenszerű kompakt konvex halmaz eloszlását is megadja az összes befogadási valószínűség rendszere $\mathbf {P} (X\Subset K).$

Kapcsolódó definíciók

esetén definiáljuk azt a valószínűséget, amely kielégíti a relációt. Ezután a lefedettségi függvény a képlettel adható meg A lefedettségi függvény és közötti értékeket vesz fel , és az indikátorfüggvény elvárásaként értelmezhető $K=\{x\}$ $\mathbf {P} (x\in X)$ $\mathbf {P} (x\in X)=1-\mathbf {P} (x\not \in X).$ $p_{X}$ $p_{X}(x)=\mathbf {P} (x\in X),\;x\in \mathbb {R} ^{2}.$ $0$ $egy$ $\mathbf {1} _{X}(x):$ $p_{X}(x)=\mathbf {E} \mathbf {1} _{X}(x).$

Az összes c halmazát alapnak nevezzük $b_{X}$ ${\displaystyle x\in \mathbb {R} ^{2))$ $p_{X}(x)>0$ $X.$

Az összes - val halmazát magnak , fixpontok halmazának vagy lényeges minimumnak nevezzük . Ha független, azonos eloszlású véletlenszerű kompakt halmazok sorozata, akkor szinte biztosan és majdnem biztosan konvergál $k_{X}$ ${\displaystyle x\in \mathbb {R} ^{2))$ $p_{X}(x)=1$ $e(X)$ $X_{1},X_{2},\ldots$ $\bigcap _{i=1}^{\infty }X_{i}=e(X)$ ${\displaystyle \bigcap _{i=1}^{\infty }X_{i))$ $e(X).$

Jegyzetek

↑ Matheron, J. (1978) Véletlenhalmazok és integrálgeometria, ford. angolból, M.: Mir.

Irodalom

Matheron, J. (1978) Véletlenhalmazok és integrálgeometria, ford. angolból, M.: Mir.
Stoyan D. és H. Stoyan (1994): Fractals, Random Shapes and Point Fields. John Wiley & Sons, Chichester, New York.