Borel szigma algebra

A Borel-szigma-algebra egy minimális szigma-algebra , amely a topológiai tér összes nyitott részhalmazát tartalmazza (az összes zárt részhalmazt is tartalmazza ). Ezeket a részhalmazokat Borelnek is nevezik.

Hacsak másképp nem jelezzük, a valós vonal topológiai térként működik .

A Borel-szigma-algebra általában véletlenszerű események szigma-algebraként működik egy valószínűségi térben . A Borel szigma-algebra egy vonalon vagy egy szakaszon sok "egyszerű" halmazt tartalmaz: minden intervallumot, félintervallumot, szakaszt és ezek megszámlálható unióit.

Émile Borelről kapta a nevét .

Kapcsolódó fogalmak

A Borel-tér egy Borel-szigma-algebrával ellátott topológiai tér .
A Borel (Borel) függvény egy topológiai térből a másikba történő leképezés (általában mindkettő valós számok tere ), amelyre bármely Borel-halmaz inverz képe egy Borel-halmaz.
A Borel -mérték a topológiai tér összes nyitott (és így minden Borel-) halmazán meghatározott mérték.

Tulajdonságok

Minden intervallumon beállított Borel mérhető a Lebesgue-mértékhez képest , de ennek az ellenkezője nem igaz.

Példa egy Lebesgue mérhető, de nem Borel halmazra

A nulla mértékhalmaz bármely részhalmaza automatikusan Lebesgue mérhető, de egy ilyen részhalmaznak nem kell Borelnek lennie.

Tekintsünk egy függvényt az intervallumon , ahol a Cantor-létra . Ez a függvény monoton és folyamatos, következésképpen mérhető. A vele fordított függvény is mérhető. A Cantor-halmaz képének mértéke , mivel komplementere képének mértéke . Mivel egy Cantor-halmaz képének mértéke nem nulla, lehet találni benne egy mérhetetlen halmazt . Ekkor az inverz képe mérhető lesz (mivel egy Cantor-halmazban van, amelynek a mértéke nulla), de a Borel nem (mert különben mérhető leképezés mellett egy Borel-halmaz inverz képeként mérhető ). $f(x)={\tfrac {1}{2}}(x+c(x))$ $[0,1]$ $c(x)$ ${\tfrac {1}{2))$ ${\tfrac {1}{2))$ $A$ $f^{-1}(A)$ $A$ $f^{-1}(x)$

Irodalom

V. G. Kanovei, V. A. Lyubetsky. Modern halmazelmélet: Borel és projektív halmazok . - MTsNMO, 2010. - 320 p. — ISBN 78-5-94057-683-9.