Gyökérrendszer

A gyökérrendszer ( gyökérrendszer ) a matematikában az euklideszi térben lévő vektorok konfigurációja , amely kielégít bizonyos geometriai tulajdonságokat.

Ez a fogalom alapvető a Lie- csoportok és a Lie-algebrák elméletében . A gyökérrendszerek osztályozásában használt Coxeter-Dynkin diagramok a matematika olyan területein találhatók meg, amelyek nem kapcsolódnak kifejezetten a Lie-csoportokhoz, például a szingularitáselméletben .

Definíció

Legyen véges dimenziós euklideszi tér a szokásos skaláris szorzattal, amelyet jelöl . A gyökérrendszer nullától eltérő vektorok véges halmaza (ezeket gyököknek nevezzük ) , amelyek megfelelnek a következő tulajdonságoknak. $V$ $(\cdot ,\;\cdot )$ $V$ $\Phi$

$V$ a gyökérrendszer lineáris fesztávja .
Ha két gyök kollineáris vektor , akkor vagy ugyanaz, vagy $\alpha \in \Phi$ $\beta \in \Phi$ $\beta =-\alpha .$
Minden gyökér esetén a halmaz zárva van a -ra merőleges hipersíkban való visszaverődéshez képest , azaz bármely két gyökérre és a halmaz tartalmazza a tükrözést $\alpha \in \Phi$ $\Phi$ $\alpha.$ $\alpha$ $\beta$ $\Phi$ $\beta$ $\sigma _{\alpha }(\beta )=\beta -2{\frac {(\alpha ,\;\beta )}{(\alpha ,\;\alpha )))\alpha \in \Phi .$
( Teljes állapotban ). Ha a és gyökerei, akkor a vetület az átmenő egyenesre fél egész szám, többszörös Ez $\alpha$ $\beta$ $\phi ,$ $\beta$ $\alpha,$ $\alpha.$ $\langle \beta ,\;\alpha \rangle =2{\frac {(\alpha ,\;\beta )}{(\alpha ,\;\alpha )))\in \mathbb {Z} .$

Jegyzetek

A 3. tulajdonság szempontjából az integrál feltétel ekvivalens azzal az állítással, hogy a különbség és a tükrözése egyenlő a gyök szorzatával valamilyen egész számmal . $\beta$ $\sigma _{\alpha }(\beta )$ $\alpha$
Operátor $\langle \cdot ,\;\cdot \rangle \colon \Phi \times \Phi \to \mathbb {Z}$ ,

a 4. tulajdonság által meghatározott nem belső szorzat. Általánosságban elmondható, hogy nem szimmetrikus, és csak az első argumentumban lineáris.

A dimenziót a gyökérrendszer rangjának nevezzük. $V$

A gyökérrendszerek osztályozása Dynkin sémái szerint

Példák az 1. és 2. rangú gyökérrendszerekre

Csak egy 1. rangú gyökérrendszer létezik. Ez két nem nulla vektorból áll . Ezt a rendszert ún. $\{\alpha ,\;-\alpha \}.$ $A_{1}.$

A 2. rangban négy lehetőség van, ahol $\sigma _{\alpha }(\beta )=\beta +n\alpha ,$ $n=0,\;1,\;2,\;3.$

2. rangú gyökérrendszer


Gyökérrendszer $A_{1}\szer A_{1}$	Gyökérrendszer $A_{2}$

Gyökérrendszer $B_{2}$	Gyökérrendszer $G_{2}$

Lásd még

E8 (matematika)

Linkek

Dynkin E. B. A félig egyszerű Lie algebrák szerkezete // Uspekhi matematicheskikh nauk . - 1947. - T. 2 , 4. szám (20) . – 59–127 .
Dynkin E. B. Egyszerű hazugságcsoportok osztályozása // Matematikai gyűjtemény . - 1946. - T. 18 (60) , 3. sz . – S. 347–352 .
Humphreys J. Bevezetés a Lie algebrák elméletébe és ábrázolásaikba / Perev. angolról. B. R. Frenkin. — M.: MTsNMO , 2008. — 216. o.
Vinberg E. B., Onishchik A. L. Szeminárium hazugságcsoportokról és algebrai csoportokról - Moszkva: URSS, 1995. - 344 p.
Humphrey J. Lineáris algebrai csoportok / Per. angolból / Szerk. V. P. Platonov. — M.: Nauka, 1980. — 400 p.
Bourbaki N. Hazugságcsoportok és algebrák (2. rész) / Per. franciából / Szerk. A. I. Kostrikin. — M.: Mir, 1972. — 332 p.